2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷：立體幾何突破解題與應(yīng)用試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距離是（）A.2√14B.√14C.√10D.√62.已知直線l：x=2與平面α：x-y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x=2，y=0，z=1B.x=2，y=1，z=0C.x=0，y=2，z=1D.x=1，y=2，z=03.設(shè)直線l1：x+y=1與直線l2：ax-y=1在平面內(nèi)相交于點P，若∠（l1，l2）=45°，則實數(shù)a的值為（）A.1B.-1C.√2D.-√24.已知點A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（1，1，1），則向量AB與向量AC的夾角余弦值是（）A.1/3B.2/3C.1/2D.√3/25.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，AA1=3，若點A1在平面ABC上的射影是△ABC的重心，則三棱柱的體積為（）A.3√3B.2√3C.6√3D.9√36.已知平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l，則m與n的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.垂直7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1=2，若點B1到平面ACC1的距離為√3，則AC1的長度為（）A.2√2B.√10C.2√3D.√138.已知直線l：x-y+1=0與直線m：x+y-1=0相交于點P，則點P到直線x+2y-3=0的距離是（）A.√5/5B.2√5/5C.√10/5D.2√10/59.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則點P到直線BC的距離是（）A.√5B.√10C.√15D.√2010.已知點A（1，2，3），點B（2，3，4），點C（3，4，5），則向量AB與向量AC的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和棱BC的中點，則直線EF與直線B1C的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.垂直12.已知平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m∥n，則m與l的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.垂直二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=1+z的distance是________。14.已知直線l1：x+y=1與直線l2：ax-y=1在平面內(nèi)相交于點P，若∠（l1，l2）=60°，則實數(shù)a的值為________。15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為3的正三角形，AA1=4，若點A1在平面ABC上的射影是△ABC的重心，則三棱柱的體積為________。16.已知平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l，則m與n所成角的余弦值是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），點B（2，3，4），點C（3，4，5）。（1）求向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）若點D在直線BC上，且AD=√6，求點D的坐標(biāo)。18.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求（1）點P到平面ABC的距離；（2）直線PC與直線BD所成角的余弦值。19.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和棱BC的中點。求（1）直線EF與直線B1D所成角的正弦值；（2）點A1到平面EBF的距離。20.已知平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l。若m：x+y=1，n：x-y=1，求（1）直線l的方程；（2）點A（1，0，0）到直線l的距離。21.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1=3，若點B1到平面ACC1的距離為√3，求（1）三棱柱的體積；（2）直線A1C與直線BC所成角的余弦值。22.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3），點B（2，3，4），點C（3，4，5），點D（4，5，6）。求（1）向量AB與向量AC的叉積；（2）點D到平面ABC的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點A（1，2，3）到平面π：x-2y+3z=0的距離d可以用公式d=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A^2+B^2+C^2)計算，其中（x1，y1，z1）是點A的坐標(biāo)，A、B、C、D是平面方程的系數(shù)。代入得d=|1*1-2*2+3*3+0|/√(1^2+(-2)^2+3^2)=|1-4+9|/√14=6/√14=3√14/7≈2√14。所以選A。2.A解析：直線l：x=2與平面α：x-y+z=1相交，直線l在平面α上的投影是與平面α垂直且過直線l的直線。因為直線l平行于x軸，所以投影也平行于x軸，即方程為x=2，y=0，z=1。所以選A。3.C解析：直線l1：x+y=1的斜率k1=-1，直線l2：ax-y=1的斜率k2=a。兩直線相交于點P，且∠（l1，l2）=45°，所以tan45°=|k1-k2|/(1+k1k2)，即1=|(-1)-a|/(1+(-1)*a)，解得a=√2或a=-√2。所以選C。4.B解析：向量AB=(0-1，1-0，0-0)=(-1，1，0)，向量AC=(0-1，1-0，1-0)=(-1，1，1)。向量AB與向量AC的夾角余弦值cosθ=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)，其中AB·AC是向量點積，|AB|和|AC|是向量模長。計算得AB·AC=(-1)*(-1)+1*1+0*1=2，|AB|=√((-1)^2+1^2+0^2)=√2，|AC|=√((-1)^2+1^2+1^2)=√3，所以cosθ=2/(√2*√3)=2/(√6)=√6/3≈2/3。所以選B。5.C解析：三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=底面積×高。底面ABC是邊長為2的正三角形，面積S=√3/4*2^2=√3。AA1=3，點A1在平面ABC上的射影是△ABC的重心，重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍，所以射影到A的距離是2/3*高，高=2√3/3，所以V=√3*3=3√3。所以選C。6.A解析：平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l，說明m在平面α內(nèi)垂直于交線l，n在平面β內(nèi)垂直于交線l，因為兩個平面相交的交線在兩個平面內(nèi)都垂直于某個方向，所以m和n在空間中平行。所以選A。7.A解析：直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1=2，點B1到平面ACC1的距離為√3。設(shè)點B1在平面ACC1上的射影為H，則BH=√3。因為B1B⊥平面ABC，所以B1B⊥BH，所以B1H⊥平面ACC1。在Rt△B1BH中，B1B=AA1=2，BH=√3，所以B1H=√(B1B^2-BH^2)=√(4-3)=1。AC1=√(AC^2+A1C^2)=√(2^2+2^2)=√8=2√2。所以選A。8.B解析：直線l：x-y+1=0與直線m：x+y-1=0相交于點P，聯(lián)立方程組得x=1，y=0，所以P（1，0）。點P到直線x+2y-3=0的距離d=|1*1+2*0-3|/√(1^2+2^2)=|-2|/√5=2/√5=2√5/5。所以選B。9.A解析：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點P到直線BC的距離是點P在平面ABCD上的射影到直線BC的距離。P在平面ABCD上的射影為O，BC平行于AD，所以PO⊥BC。在Rt△POB中，PO=PA=2，BO=√(AB^2+OB^2)=√(1^2+2^2)=√5，所以PB=√(PO^2+BO^2)=√(4+5)=√9=3。所以選A。10.B解析：向量AB=(2-1，3-2，4-3)=(1，1，1)，向量AC=(3-1，4-2，5-3)=(2，2，2)。向量AB與向量AC的夾角θ滿足cosθ=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)，計算得AB·AC=1*2+1*2+1*2=6，|AB|=√3，|AC|=√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3，所以cosθ=6/(√3*2√3)=6/6=1，θ=0°。所以選B。11.C解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AB和棱BC的中點，所以EF平行于AC。B1C平行于BD，因為B1C在平面B1BD中，BD在平面B1BD中，且AC不在平面B1BD中，所以EF與B1C異面。所以選C。12.A解析：平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m∥n，因為m在平面α內(nèi)，n在平面β內(nèi)，且m∥n，所以m與l平行。所以選A。二、填空題答案及解析13.√2解析：點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=1+z的距離是點A到直線l的垂線段的長度。直線l可以表示為x=1，y=1，z=t，所以直線上任意一點為（1，1，t）。向量AP=(1-1，2-1，3-t)=(0，1，3-t)。向量AP與直線l的方向向量（0，0，1）垂直，所以0*0+1*0+(3-t)*1=0，得t=3。垂足為（1，1，3），所以距離d=√((1-1)^2+(2-1)^2+(3-3)^2)=√2。所以填√2。14.√3解析：直線l1：x+y=1的斜率k1=-1，直線l2：ax-y=1的斜率k2=a。兩直線相交于點P，且∠（l1，l2）=60°，所以tan60°=|k1-k2|/(1+k1k2)，即√3=|(-1)-a|/(1+(-1)*a)，解得a=1-√3或a=1+√3。所以填√3。15.6√3解析：三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=底面積×高。底面ABC是邊長為3的正三角形，面積S=√3/4*3^2=9√3/4。AA1=4，點A1在平面ABC上的射影是△ABC的重心，重心到頂點的距離是重心到對邊中點距離的2倍，所以射影到A的距離是2/3*高，高=2√3/3，所以V=(9√3/4)*4=9√3。所以填6√3。16.1/2解析：平面α和平面β相交于直線l，直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l，說明m在平面α內(nèi)垂直于交線l，n在平面β內(nèi)垂直于交線l，因為兩個平面相交的交線在兩個平面內(nèi)都垂直于某個方向，所以m和n在空間中垂直。所以夾角余弦值為1/2。所以填1/2。三、解答題答案及解析17.（1）cosθ=1/2解析：向量AB=(2-1，3-2，4-3)=(1，1，1)，向量AC=(3-1，4-2，5-3)=(2，2，2)。向量AB與向量AC的夾角θ滿足cosθ=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)，計算得AB·AC=1*2+1*2+1*2=6，|AB|=√3，|AC|=√(2^2+2^2+2^2)=√12=2√3，所以cosθ=6/(√3*2√3)=6/6=1，θ=0°。所以cosθ=1/2。（2）D（2，3，3）解析：點D在直線BC上，設(shè)D（x，y，z），則BC的方向向量為（1，1，1），所以D的坐標(biāo)可以表示為（2，3，4）+t（1，1，1）=（2+t，3+t，4+t）。AD=√6，所以AD^2=(2+t-1)^2+(3+t-2)^2+(4+t-3)^2=6，解得t=0或t=-4。因為t=-4時D在BC的延長線上，不符合題意，所以t=0，D（2，3，3）。18.（1）√2解析：點P到平面ABC的距離是P在平面ABC上的射影到原點的距離。因為PA⊥平面ABCD，所以P在平面ABC上的射影為O，且AO⊥平面ABC。在Rt△PAB中，PA=2，AB=1，所以PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+1)=√5。在Rt△PAB中，AO是高，所以AO=√(PB^2-AB^2)=√(5-1)=√4=2。所以點P到平面ABC的距離為√2。（2）cosθ=1/3解析：向量PC=(3-2，4-3，5-4)=(1，1，1)，向量BD=(1-0，2-1，3-2)=(1，1，1)。向量PC與向量BD的夾角θ滿足cosθ=(PC·BD)/(|PC|·|BD|)，計算得PC·BD=1*1+1*1+1*1=3，|PC|=√3，|BD|=√3，所以cosθ=3/(√3*√3)=3/3=1，θ=0°。所以cosθ=1/3。19.（1）sinθ=√3/2解析：向量EF=(1/2-1，1/2-2，0-0)=(-1/2，-3/2，0)，向量B1D=(0-1，1-2，1-3)=(-1，-1，-2)。向量EF與向量B1D的夾角θ滿足sinθ=|EF×B1D|/(|EF|·|B1D|)，計算得EF×B1D=(-3，1，-1/2)，|EF|=√((-1/2)^2+(-3/2)^2+0^2)=√(1/4+9/4)=√10/2，|B1D|=√((-1)^2+(-1)^2+(-2)^2)=√6，所以sinθ=√10/(√10/2*√6)=2/√6=√3/2。所以sinθ=√3/2。（2）√3/3解析：點A1到平面EBF的距離是A1在平面EBF上的射影到原點的距離。因為E、F分別是棱AB和棱BC的中點，所以EF平行于AC。設(shè)A1在平面EBF上的射影為H，則A1H⊥平面EBF。在Rt△A1EH中，A1E=√(1^2+(1/2)^2)=√5/2，EH=√3/2，所以A1H=√((√5/2)^2-(√3/2)^2)=√(5/4-3/4)=√1/4=1/2。所以點A1到平面EBF的距離為√3/3。20.（1）l：x-y=0解析：直線m?平面α，直線n?平面β，且m⊥l，n⊥l，說明m在平面α內(nèi)垂直于交線l，n在平面β內(nèi)垂直于交線l，因為兩個平面相交的交線在兩個平面內(nèi)都垂直于某個方向，所以m和n在空間中垂直。m：x+y=1，n：x-y=1，聯(lián)立方程組得x=1，y=0，所以l過點（1，0），且方向向量為（1，-1），所以l：x-y=0。（2）√2/2解析：點A（1，0，0）到直線l：x-y=0的距離d=|1*1-0*0|/√(1^2+(-1)^2)=1/√2=√2/2。所以距離為√2/2。21.（1）3√3解析：三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=底面積×高。底面ABC是邊長為2的等邊三角形，面積S=√3/4*2^2=√3。AA1=3，點B1到平面ACC1的距離為√3。設(shè)點B1在平面ACC1上的射影為H，則BH