2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知空間四點(diǎn)A,B,C,D，若AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A.B.C.D.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，則直線EF與平面A1B1CD所成角的正弦值為（）A.B.C.D.3.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為270°，半徑為2的扇形，則該圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑之比為（）A.B.C.D.4.空間中三點(diǎn)A(1,0,2)，B(3,2,1)，C(0,1,3)確定一個(gè)平面，點(diǎn)P(2,1,1)到該平面的距離為（）A.B.C.D.5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱AA1的中點(diǎn)，則直線BC1與平面ADD1B1所成角的正切值為（）A.B.C.D.6.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，則該棱錐的高為（）A.B.C.D.7.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABB1A1所成角的余弦值為（）A.B.C.D.8.一個(gè)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，底面半徑為1，則該圓錐的全面積為（）A.B.C.D.9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，則直線EF與直線A1D所成角的余弦值為（）A.B.C.D.10.已知空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=2，則對(duì)角線BD到平面ABC的距離為（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱AA1的中點(diǎn)，則三棱錐A-BCD的體積為_________。12.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，則四棱錐E-FB1CD1的體積為_________。13.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為240°，半徑為3的扇形，則該圓錐的底面面積為_________。14.空間中三點(diǎn)A(1,0,2)，B(3,2,1)，C(0,1,3)確定一個(gè)平面，點(diǎn)P(2,1,1)到該平面的距離為_________。15.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABB1A1所成角的正切值為_________。三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，求三棱錐E-ABD的體積。17.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，求證：四棱錐E-FB1CD1的體積是正方體體積的六分之一。18.（本小題滿分15分）已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，求該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角以及側(cè)面展開圖與底面所成的二面角。19.（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)，求過A，B，C三點(diǎn)的平面方程，并求點(diǎn)P(0,1,2)到該平面的距離。20.（本小題滿分15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱AA1的中點(diǎn)，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，求四棱錐E-FB1CD1的體積。四、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）21.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，求證：直線EF與直線A1D所成角的余弦值為√3/3。22.（本小題滿分15分）在圓錐中，軸截面是等腰直角三角形，底面半徑為R，求該圓錐的全面積。并求當(dāng)R為何值時(shí)，該圓錐的全面積最小。23.（本小題滿分15分）在空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=2，求對(duì)角線BD到平面ABC的距離。24.（本小題滿分15分）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，A1A=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱DD1的中點(diǎn)，求證：直線EF與平面ABB1A1所成角的正切值為1。25.（本小題滿分15分）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為270°，半徑為2的扇形，求該圓錐的底面半徑和高，并求該圓錐的全面積。五、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）26.（本小題滿分15分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，G是棱DD1的中點(diǎn)，求證：三棱錐E-FBG的體積是正方體體積的八分之一。27.（本小題滿分15分）在圓錐中，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為240°，半徑為3的扇形，求該圓錐的底面半徑和高，并求該圓錐的側(cè)面積和全面積。28.（本小題滿分15分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,0,2)，B(3,2,1)，C(0,1,3)，求過A，B，C三點(diǎn)的平面方程，并求點(diǎn)P(2,1,1)到該平面的距離。29.（本小題滿分15分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱AA1的中點(diǎn)，E是棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC1的中點(diǎn)，求證：四棱錐E-FB1CD1的體積是三棱柱體積的三分之一。30.（本小題滿分15分）在空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=2，求對(duì)角線AC到平面BD的的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：由題意知，點(diǎn)D到平面ABC的距離即為以D為頂點(diǎn)，ABC為底面的四面體的高。由于AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，所以三角形ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，其面積S△ABC=√3/4。四面體體積V=1/3*S△ABC*高。又因?yàn)樗拿骟wABCD的體積也可以用棱長(zhǎng)求出，即V=1/3*√2/2*1*1=√2/6。所以高=V*S△ABC=√2/6*√3/4=√6/24。故選C。2.答案：B解析：取B1C中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G。由于E是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EG平行且等于1/2*A1D，F(xiàn)G平行且等于1/2*B1C。因?yàn)锳1D⊥B1C，所以EG⊥FG?！螮FG即為直線EF與平面A1B1CD所成角。在直角三角形EFG中，EF=√(EG^2+FG^2)=√(1/4*2^2+1/4*√2^2)=√(1+1/2)=√3/2。所以sin∠EFG=FG/EF=√2/(√3/2)=√6/3。故選B。3.答案：A解析：圓錐母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖扇形半徑，即l=2。扇形弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)，即2πr=2π*2*2/3=8π/3。所以r=4/3。母線長(zhǎng)與底面半徑之比為l/r=2/(4/3)=3/2。故選A。4.答案：D解析：設(shè)平面ABC的法向量為(n1,n2,n3)，則n1*x1+n2*y1+n3*z1=0，n1*x2+n2*y2+n3*z2=0，n1*x3+n2*y3+n3*z3=0。代入A,B,C坐標(biāo)，解得n1=-1,n2=1,n3=1。所以平面方程為-x+y+z=0。點(diǎn)P到平面距離d=|-1*2+1*1+1*1|/√((-1)^2+1^2+1^2)=0。故選D。5.答案：C解析：取DD1中點(diǎn)H，連接BH。由于D是AA1中點(diǎn)，H是DD1中點(diǎn)，所以BH平行且等于1/2*AD1。又因?yàn)锽C⊥平面ADD1B1，所以∠BCH即為直線BC1與平面ADD1B1所成角。在直角三角形BCH中，BC=2，CH=√2。所以tan∠BCH=BC/CH=2/√2=√2。故選C。6.答案：B解析：設(shè)高為h，底面邊長(zhǎng)為a。側(cè)面與底面二面角為60°，所以側(cè)面等腰三角形底邊高為h*cos60°=h/2。又因?yàn)閭?cè)面等腰三角形腰長(zhǎng)等于母線長(zhǎng)，即l=a。在直角三角形中，a^2=(h/2)^2+h^2。又因?yàn)榈酌媸钦叫危琣=2。解得h=√6/3。故選B。7.答案：A解析：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(2,1,3)，E(2,1,3/2)，F(xiàn)(1,1,3)。向量EF=(-1,0,3/2)，向量AB=(0,1,0)。cosθ=|EF·AB|/(|EF|*|AB|)=0/(√(1+9/4)*1)=0。故選A。8.答案：D解析：圓錐軸截面是等腰直角三角形，所以母線長(zhǎng)等于底面直徑，即l=2R=2。底面半徑R=1。全面積S=πR^2+πRl=π+2π=3π。故選D。9.答案：B解析：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。D(0,0,0)，A1(0,0,3)，D(0,0,0)，E(0,√2,3/2)，F(xiàn)(1,√2,3)。向量EF=(1,0,0)，向量A1D=(0,0,-3)。cosθ=|EF·A1D|/(|EF|*|A1D|)=0/(1*3)=0。故選B。10.答案：C解析：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,-1,1)，D(-1,1,1)。向量BD=(-2,0,0)，向量BC=(0,-2,0)。平面ABC的法向量為n=(2,0,0)。點(diǎn)D到平面ABC距離d=|-2*0+0*0+0*1|/√(4+0+0)=0。故選C。二、填空題答案及解析11.答案：√3/12解析：底面ABC面積S△ABC=√3/4*2^2=√3。三棱錐A-BCD體積V=1/3*S△BCD*高。高為AA1垂直于平面BCD的距離，即AA1=2。所以V=1/3*√3/4*2^2*2=√3/3。故填√3/12。12.答案：1解析：四棱錐體積V=1/3*S底面*高。底面B1CD1是正方形，邊長(zhǎng)為√2。面積S=2。高為E到平面B1CD1的距離，即E到B1的距離，為√2/2。所以V=1/3*2*√2/2=1。故填1。13.答案：9π/4解析：圓錐底面周長(zhǎng)2πr=2π*3*240/360=4π。所以r=2。底面面積S=πr^2=4π。故填9π/4。14.答案：2解析：平面ABC法向量為n=(2,0,0)。點(diǎn)P到平面距離d=|-2*2+0*1+0*1|/√(4+0+0)=2。故填2。15.答案：1解析：平面ABB1A1的法向量為n=(0,0,1)。向量EF=(1,√2,0)。cosθ=|EF·n|/(|EF|*|n|)=0/(√3*1)=0。故填1。三、解答題答案及解析16.解析：取AD中點(diǎn)M，連接EM，BM。由于E是PC中點(diǎn)，M是AD中點(diǎn)，所以EM平行且等于1/2*AC。又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以∠EMB即為三棱錐E-ABD的高。在直角三角形EMB中，EM=√2，BM=√(1^2+1^2)=√2。所以h=√2。三棱錐E-ABD體積V=1/3*S△ABD*h=1/3*1/2*2*2*√2=√2/3。故答案為√2/3。17.解析：取B1C中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G。由于E是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EG平行且等于1/2*A1D，F(xiàn)G平行且等于1/2*B1C。因?yàn)锳1D⊥B1C，所以EG⊥FG?！螮FG即為四棱錐E-FB1CD1的高。在直角三角形EFG中，EF=√(EG^2+FG^2)=√(1/4*2^2+1/4*√2^2)=√(1+1/2)=√3/2。四棱錐E-FB1CD1體積V=1/3*S底面*高=1/3*1/2*2*2*√3/2=√3/2。正方體體積V=2^3=8。所以V/V=√3/2/8=√6/16。故答案為√6/16。18.解析：側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)2πr=2π*3*270/360=9π/2。所以r=3/2。扇形半徑即母線長(zhǎng)l=5。圓心角θ=弧長(zhǎng)/半徑=9π/2/5=9π/10。設(shè)側(cè)面展開圖與底面所成角為α，則cosα=r/l=3/2/5=3/10。故答案為9π/10，arccos(3/10)。19.解析：向量AB=(1,1,1)，向量AC=(2,2,2)。設(shè)平面法向量為n=(x,y,z)。則n·AB=x+y+z=0，n·AC=2x+2y+2z=0。解得x=-y，z=0。取n=(1,-1,0)。平面方程x-y=0。點(diǎn)P到平面距離d=|-2|/√(1+1)=1。故答案為x-y=0，1。20.解析：取BC中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G。由于E是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EG平行且等于1/2*AC，F(xiàn)G平行且等于1/2*AB。因?yàn)锳C⊥AB，所以EG⊥FG?！螮FG即為四棱錐E-FB1CD1的高。在直角三角形EFG中，EF=√(EG^2+FG^2)=√(1/4*2^2+1/4*2^2)=√2。四棱錐E-FB1CD1體積V=1/3*S底面*高=1/3*1/2*2*2*√2=√2/3。故答案為√2/3。四、解答題答案及解析21.解析：取B1C中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G。由于E是BB1中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1中點(diǎn)，所以EG平行且等于1/2*A1D，F(xiàn)G平行且等于1/2*B1C。因?yàn)锳1D⊥B1C，所以EG⊥FG?！螮FG即為直線EF與直線A1D所成角。在直角三角形EFG中，EF=√(EG^2+FG^2)=√(1/4*2^2+1/4*√2^2)=√(1+1/2)=√3/2。向量A1D=(0,√2,-3)。向量EF=(1,0,0)。cosθ=|EF·A1D|/(|EF|*|A1D|)=0/(√3/2*√(2+9))=0。故答案為√3/3。22.解析：軸截面等腰直角三角形腰長(zhǎng)l=R/√2。全面積S=πR^2+πRl=πR^2+πR^2/√2=πR^2(1+1/√2)。令f(R)=1+1/√2，f(R)在R>0上單調(diào)遞增。當(dāng)R=1時(shí)，S最小=3π/2。故答案為πR^2(1+1/√2)，R=1時(shí)最小為3π/2。23.解析：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。A(0,0,0)，B(1,1,1)，C(1,-1,1)，D(-1,1,1)。向量BD=(-2,0,0)，向量BC=(0,-2,0)。平面ABC的法向量為n=(2,0,0)。向量BD與BC垂直，所以BD到平面ABC距離為0。故答案為0。24.解析：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(2,1,3)，E(2,1,3/2)，F(xiàn)(1,1,3)。向量EF=(1,0,0)，向量AB=(0,1,0)。cosθ=|EF·AB|/(|EF|*|AB|)=0/(1*1)=0。故答案為1。25.解析：側(cè)面展開圖扇形弧長(zhǎng)為圓錐底面周長(zhǎng)2πr=2π*2*270/360=9π。所以r=3。母線長(zhǎng)l=2。高h(yuǎn)=√(l^2-r^2)=√(4-9)=-√5。全面積S=πr^2+πrl=π*9+π*3*2=15π。故答案為r=3，h=-√5，15π。五、解答題答案及解析26.解析：取D1C1中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H。由于F是CC1中點(diǎn)，H是D1C1中點(diǎn)，所以FH平行且等于1/2*CD1。因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD?！螮HG即為三棱錐E-FBG的高。在直角三角形EHG中，EH=√2，HG=√(1^2+1^2)=√2。所以h=√2。三棱錐