高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

集合

（1）元素與集合的關(guān)系：屬于（6）和不屬于（公

⑵集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性

集合與元素

⑶集合的分類(lèi)：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無(wú)限集、空集

(4)集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語(yǔ)言描述、特征性質(zhì)排述）、圖示法、區(qū)間法

子集：若xwA=x€B,則AqB,即A是斜勺子集。

若集合4中有〃個(gè)元素，則集合A的子集有2"個(gè)，真子集有（2"-1）個(gè)。

2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AqA

注

關(guān)系3、對(duì)于集合C,如果4qB且BqC,那么AqC.

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合真子集：若AqB且A/次即至少存在%￡8但/壬A）,則4是砒真子集。

集合相等：Aq3且AQA=B

集合與集合定義:AC8={X/X€AfijsB\

交集

性質(zhì):AnA=A,4c0=0,4cB=BcA,4cBqA,Ac8q8,Ac￡?<=>An<

定義:=4或工€研

并集，

性質(zhì):AuA=A,Au0=A,Au8=8uA,AuBnA,AuAQB<=>AU

運(yùn)算

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)

定義：Cb.A={x/xeU^,x^A]=A

補(bǔ)集

性質(zhì)KCuQcAnOJCb.AluAnU,CU(CUA)=A,q,(AnB)=(Ct,.A)u(QB),

Cu(Au8)-S)

函數(shù)

映射定義：設(shè)A，8是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合人中的任意一個(gè)元素x,

在集合8中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)->A為從集合A到集合8的一個(gè)映射

（傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,），，并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系八），都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng).那么y就把x的函數(shù)。記作y

近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

值域

｛對(duì)應(yīng)法則

I解析法

函數(shù)的表示方法《列表法

、［圖象法

傳統(tǒng)定義:在區(qū)間［a,b］上,若gqv助.如/（』）</（12），販&）在［。力］上遞增句是

的泡枇J遞增區(qū)間：如/（X］）>/（12），則7（%）何"力］上遞就［a,可是的遞減區(qū)間。

華澗叫導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)阿何上，若/（x）>0,則/（x）在［〃,可上遞增，&何是遞增區(qū)間；如/'（x）<（

則/（X）fl：［a-上遞減,［a一是的遞減區(qū)間。

最大值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)"X）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的X€/,都有/（.

函數(shù)，

函數(shù)的基本性質(zhì)3值J（2）存在即“使得/（卬）="貝ij稱M是函數(shù)y=/（x）的W

很“最小值：設(shè)函數(shù)），=/*）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：（I）對(duì)于任意的K/,都何（.\

（2）存在即使得/1"oAN。則稱N是函數(shù)y=f（x）的看

（l）f（-x）=—f（x）,xw定義域。則叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性（2）/（-X）=/（X）,XG定義域D,則〃x）叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于），軸對(duì)稱。

奇偶函數(shù)自定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

周期性：在函軀（.r）的定義域上恒有/（x+7）=/（尤）（7V0的常數(shù)）則/"）叫做周期函數(shù)，7為周期:

川勺最小正值叫做/（工）的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期

（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：V|=y,x\-a=x=>y=f（.v+<?）

向右平移〃個(gè)單位：）］=y,x］+〃=x=y=,/（x-a）

平移變換

向上平移方個(gè)單位：.q=x,川+少=yny-b=f（x）

（nJ下平彩b個(gè)單位：x1=x,Vj-b=v=>y+b=f（x）

橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)可縮短（當(dāng)心1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0<3時(shí)）

到原來(lái)的1/M音（縱坐標(biāo)不變），即X］=M，.r=y=f（iv.r）

伸縮變換

縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)凹伸長(zhǎng)（4>1）或縮短（O<A<1）到原來(lái)的A倍

（橫坐標(biāo)不變），即）］=y/Any=/（x）

函數(shù)圖象的畫(huà)法

（2）變換法，

關(guān)于點(diǎn)（陽(yáng),）0）對(duì)稱素就=辟魏二;=2.M0-y=/（2.v0-x）

關(guān)于直線『對(duì)稱惟;尸』管產(chǎn)一三尸/⑵吁.）

對(duì)稱變換、

關(guān)于直線產(chǎn)卻對(duì)稱：｛；；寺=2九毛卻-尸那-產(chǎn)/（X）

關(guān)于立線y=.r對(duì)稱:怔2=尸尸（.r）

第二章基本初等函數(shù)

附:

一、函數(shù)的定義域的常用求法:

1.分式的分母不等于零；2.偶次方根歐I被開(kāi)方數(shù)不小于等于零；3.對(duì)數(shù)的真數(shù)不小于

零；4.指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)不小于零且不等于I；5.三角函數(shù)止切函數(shù)中；余

切函數(shù)中；6.假如函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)根據(jù)自變量H勺實(shí)際意義確定其取

值范圍。

二、函數(shù)FI勺解析式時(shí)常用求法：

1.定義法；2.換元法：3.待定系數(shù)法；4.函數(shù)方程法；5.參數(shù)法；6.配措施

三、函數(shù)IJ勺值域時(shí)常用求法：

1.換元法；2.配措施；3.鑒別式法：4.幾何法；5.不等式法；6.單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值H勺常用求法：

I.配措施；2.換元法；3.不等式法；4.幾何法；5.單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

I.若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)

2.若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)

3.若與H勺單調(diào)性相似，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性不一樣，則是減函數(shù)。

4.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相似，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作

函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、假如一種奇函數(shù)在處有定義，則，假如一種函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則

（反之不成立）

2.兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)：之積(商)為偶函數(shù)。

3.一種奇函數(shù)與一種偶函數(shù)艮I積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一種是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶

函數(shù)：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)的定義域有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，則可以表達(dá)為，該式的特點(diǎn)是：右端為一種奇

函數(shù)和一種偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=八立我們把使=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)=/(x)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù))，=/(舅)在區(qū)間［%一上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且司'(a)?/(b)<

零點(diǎn)與根的關(guān)系"那么，函數(shù)y=『(x)在區(qū)間［a.8內(nèi)有零點(diǎn)。即存在c€(心〃)，使徑/(c)=0,這個(gè)c也:

^f(x)=0的根，(反之不成立)

關(guān)系:方程/=。有實(shí)數(shù)根o函數(shù))?=八x)有零點(diǎn)o函數(shù))?=/(x)的圖象與X軸有交點(diǎn)

函數(shù)弓方程〈(1)確定區(qū)間［。，句,驗(yàn)證f(a)-f(b)<0.給定精確度￡：

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用〈

(3)計(jì)的(c)：

二分法求方程的近似解V①布?(°)=0.則。就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若八。)./(c)<0.則令人=。(此時(shí)零點(diǎn)X。G(a.b))；

③若/(c)?f(b)<0.則令a=。(此時(shí)零點(diǎn)€(c,b))：

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：即若則得到零點(diǎn)的近似值a(或力)；否則重復(fù)2~.

幾類(lèi)不同的增長(zhǎng)函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用〈用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題

建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型

根式：”7,〃為根指數(shù)，々為被開(kāi)方數(shù)--------Hl

^?77=a'】

分?jǐn)?shù)指數(shù)解

指數(shù)的運(yùn)算《aa“十'(“>O.,二su(2)

指數(shù)函數(shù)4性版-=ars(a>O,r,seC?)

{ab)r=arbsia>O,。>O-Q、

定義：一般上也把函數(shù)y=>Ol±。xl)Ui|做指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)4

性歷：見(jiàn)表I

「對(duì)數(shù)：x=log“N.a為底數(shù)，N為其數(shù)

lost,<A<7?Z'=log^M-4-logTV：

基本初等函數(shù)《tz

M

leg"—=Icgq-leg42；

對(duì)數(shù)的運(yùn)行《N

性質(zhì)?

對(duì)數(shù)函數(shù)《logMn=nlog"A/;(?>O.?1,A7AO,TVA())

換底公HI：log?b=I?！?''(a,c>OJiLa,cKI,Z?:

I。-a

定義：一般土也■巴函數(shù)一y=log,"x(a>O.EL?h1)”“彳故又寸?數(shù)EJ

對(duì)數(shù)函數(shù)

性質(zhì)：見(jiàn)表I

定義：一般地，函數(shù)_y=x/l”做帚