第三章概率

一、隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件：

(2)不也許事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不也許事件；

<3)確定事件：必然事件和不也許事件統(tǒng)稱為相對于條件S確實定事件：

(4)隨機事件：在條件S下也許發(fā)生也也許不發(fā)生的事件，叫相對于條件S/、J隨機事件；

(5)頻數(shù)與頻率：在相似的條件S下反復(fù)n次試驗，觀測某?事件A與否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件

A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=〃為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定時隨機事件A,假如伴隨試驗次

數(shù)的增長，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率。

也

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值〃，它具有一定的稔定性,

總在某個常數(shù)附近擺動，且伴隨試驗次數(shù)的不停增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件

的概率，概率從數(shù)量上反應(yīng)了隨機事件發(fā)生的也許性的大小,頻率在大量反復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這

個事件的概率

二、概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

(1)事件的包括、并事件、交事件、相等事件

(2)若AAB為不也許事件，即AnB=d),那么稱事件A與事件B互斥：

(3)若AAB為不也許事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件：

(4)當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)：若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，因此P(A

UB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)

2、概率H勺基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1,不也許事件概率為0,因此OWP（A）W1：

2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P（AUB）=P（A）+P（B）；

3）若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，因此P（AUB）=P（A）+P（B）=1,于是有P（A）=1—P（B）；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)絡(luò)，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同步發(fā)生，其詳細(xì)包括三種不一

樣的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生：（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生：（3）事件A與事件B同步K發(fā)生，而對立

事件是指事件A與事件B有且僅有一種發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生：（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)

生，對立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗成果的有限性和所有成果的等也許性。

（2）古典概型H勺解題環(huán)節(jié)；①求出總的基本領(lǐng)件數(shù)：②求出事件A所包括的基本領(lǐng)件數(shù)，然后運用公式

A包含的基本事件數(shù)

p（A）二總的基本事件個數(shù)

四、幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：假如每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型

為幾何概率模型：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

（2）幾何概型II勺概率公式：P（A）二試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）:

幾何概型的特點：1）試驗中所有也許出現(xiàn)的成果（基本領(lǐng)件）有無限多種；2）每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的也許性相等.

練習(xí)題一

一、選擇題

1.給出下列四個命題：

①“三個球所有放入兩個盒子，其中必有一種盒子有一種以上的球”是必然事件

②“當(dāng)X為某一實數(shù)時可使尤2<D”是不也許事件③”明天廣州要下雨”是必然事件

④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件，

其中對H勺命題的個數(shù)是

2.某人在比賽（沒有“和”局）中贏II勺概率為0.6,那么他輸?shù)母怕适?/p>

A.0.4C.036D.0.16

3.下列說法一定對日勺的是

A.一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的狀況

B.一枚硬幣擲一次得到正面的概率是,，那么擲兩次?定會出現(xiàn)一次正面的狀況

C.如買彩票中獎的概率是萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元

D.隨機事件發(fā)生口勺概率與試驗次數(shù)無關(guān)

4.某個班級內(nèi)有40名學(xué)生，抽10名同學(xué)去參與某項活動，每個同學(xué)被抽到口勺概率是其中解釋對的歐J

A.4個人中必有一種被抽到B每個人被抽到口勺也許性是了

C.由于抽到與不被抽到有兩種狀況，不被抽到口勺概率為LD.以上說話都不對H勺

5.投擲兩粒均勻的骰子，則出現(xiàn)兩個5點的概率為

6.從｛a,b,c,d,e｝的所有子集中任取一種，這個集合恰是集合｛a,b,cW、J子集H勺概率是（）

7、同步擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是（）

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面

C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

8.、某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長的J

概率是___________

9、擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)力和為3日勺概率是

10、從具有兩件正品a,b和一件次品c日勺3件產(chǎn)品中每次任取一件，持續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有

一件是次品的概率.

（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回。

11、（10分）2.袋中有除顏色外完全相似的紅、黃、白三種顏色的球各一種，從中每次任取1個.有放回地

抽取3次，求：

（1）、3個全是紅球的概率.（2）、3個顏色全相似的概率.

（3）、3個顏色不全相似B勺概率.（4）、3個顏色全不相似的概率.

12.（本題滿分15分）

某校從參與高一年級期中考試的學(xué)生中隨機抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）提成六段

[40,50）,[50,60卜?[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀測圖形的信息，回答問題：

（I）求分?jǐn)?shù)在[70,80）內(nèi)的頻率，并補全頻率圖距

這個頻率分布直方圖；

0.005

405060708090100分?jǐn)?shù)

（II）用分層抽樣的措施在分?jǐn)?shù)段為

［60,80）的學(xué)生中抽取一種容量為6的樣本,

將該樣本當(dāng)作一種總體，從中任取2人，

求至多有1人在分?jǐn)?shù)段［70,80）的概率.

解析：（I）分?jǐn)?shù)在［70,80）內(nèi)的頻率為：

1-（0.010+0.0154-0.015+0.025+0.005）x10

=1-0.7=0.3,故絲=0.03,

10

如圖所示：--------------6分

（求頻率3分，作圖3分）

（H）由題意，［60,70）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：0.15x60=9人;8分

［70,80）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：0.3x60=18人:---------10分

???在［60,80）的學(xué)生中抽取?種容量為6的樣本,

.760,70）分?jǐn)?shù)段抽取2人，分別記為人九；［70,80）分?jǐn)?shù)段抽取4人，分別記為凡4c,d；

設(shè)從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段［7