橢圓題庫(kù)

(1)1口、□是橢圓口的左、右焦點(diǎn)，口是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)口，過(guò)點(diǎn)口的直線交橢圓

于口、口兩點(diǎn).

(2)當(dāng)□時(shí)，求□的面積；

(3)當(dāng)□時(shí)，求□的大小；

(4)求NEPb的最大值.

解：⑴□

(2)因口，

則|AF|+忸尸|=5.

(1)設(shè)PQ&/)(/>0)tanZEPF=tan{NEPM-Z.FPM)

,366、n3瓜血、2626

=(--------)+(1+---；-)==——r工—，

ttr廠+6r+6r3

當(dāng)□時(shí)，口

2已知橢圓□的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是楠圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足口

點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足口

(1)求點(diǎn)T的軌跡C的方程；

(2)試問(wèn)：在點(diǎn)T的軌跡C上，與否存在點(diǎn)M,

使△F1MF2的面積S=l□若存在，求NF1MF2

的正切值：若不存在，錯(cuò)篇明及缸

(1)解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為口

當(dāng)口時(shí)，點(diǎn)(匚I,0)和點(diǎn)(一匚)，0)在軌跡上.

當(dāng)I口時(shí)，由口，得口.

又口，因此T為線段F2Q的中點(diǎn).

在△QFIFZ中，口，因此有口

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是口

(2)解：C上存在點(diǎn)M(□)使$=□的充要條件是

222

%+%=a，

<I

~^c\y.\=b2.

由③得口，由④得口因此，當(dāng)口時(shí)，存在點(diǎn)M,使$=□:

當(dāng)□時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.

當(dāng)口時(shí)，口，

2222

由MFX.MF2=XQ-C+y：=a-c=b,

詬?礪,礪詬IcosN-Mg,

□,得口

3已知橢圓C1的方程為口，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、

右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).

(I)求雙曲線C2的方程；

(II)若直線□與橢劇C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)，且I與C2的兩個(gè)交

點(diǎn)A和B滿足口(其中0為原點(diǎn))，求k的取值范圍.

解：(I)設(shè)雙曲線C2的方程為口，則口

2

故C2的方程為——y2=1.

(II)將丫二丘+近代入三+V=1得(1+4公)/+8而工+4=0.

4

由直線I與橢圓G恒有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)得

A,=(8五)2左2-16(1+4^2)=16(4々2—1)>0,

即％2>L①

4

2

將y=kx+&代入y-y2=1得(1一3k2)x2-6行kx-9=0.

由直線I與雙曲線C2恒有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)A,B得

1—31工0,

A2=(-6岳)2+36(1-3/)=36(12)>0

即A?」且人2<1.

3

6Ok-9

設(shè)4打，力)，8(4，為)，則4+y=T—7TI^A=7~

1J/ri1DAC

由。A?OB<6得3s+yAyB<6,而

"s+以為=+(3+揚(yáng)(5+揚(yáng)

=(公+1)*8+&&*八+/)+2

6岳

=(公+1).^^+瓜+2

1一3公1—3/

=38+7

~3k2~\

于是3k-J7v6即15%；—13>0解此不等式得

3k2-]3k2

k2>上或父<i.③

153

由①、②、③得

1.21-P-13.21

—<k<一或一<k<1.

4315

故k的取值范圍為(-1,-Jy^)UUU(Jy|-J)

4.已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(-4,0)、F2(4,0),過(guò)點(diǎn)F2,并垂直于x軸的直線與

橢圓的一種交點(diǎn)為B,且IF1B|+IF2B|=10.橢圓上不一樣的兩點(diǎn)A(x1,y1)、C(x2,

y2)滿足條件：|F2A|、IF2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

(1)求該橢圓的方程；

(2)求弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.

(1)解：由橢圓定義及條件知

2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5.又c=4,因此b=D=3.

故橢圓方程為口+口=1.

(2)解：由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=□.

措施一：由于橢圓右準(zhǔn)線方程為x=El離心率為口.

根據(jù)橢圓定義，有IF2Al=□(口一x1),|F2CI=□(□一x2).

由IF2AI、IF2BKIF2CI成等差數(shù)列，得

(-xl)+(-x2)=2X.由此得出xl+x2=8.

設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則*0=匚]=口=4.

(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上，得

9x12+25y12=9X25,④

9x22+25y22=9X25.⑤

由④一⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0,

即9(生也)+25(皿2)(入二①)=o(0.

22X]-x2

將口=x0=4,□=y0,□=一口(k豐0)代入上式，得

9X4+25yO(-□)=0(k*0).

25

由上式得k——外(當(dāng)k=Q時(shí)也成立).

36

由點(diǎn)P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,

因此m=y0—4k=yO—nyO=-DyO.

由P(4,yO)在線段BB'(B'與B有關(guān)x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得一口<￥()<□.

因此一口VinVUI.

5設(shè)x、y￡R,i、j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+(y+2)

j,b=xi+(y—2)j,且|a|+|b|=8.

(1)求點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)(0,3)作直線I與曲線C交于A.B兩點(diǎn)，設(shè)□:口+口，與否存在這樣的直

線I,使將四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線I的方程；若不存在，試闡明理由.

(1)解：Va=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|二8,

???點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)F1(0,-2),F2(0,2)的距離之和為&

，軌跡C為以F1.F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為

(2)VI過(guò)y軸上的點(diǎn)(0,3),

若直線I是y軸，則A.B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).

?:□=□+□=0,

??.p與0重疊，與四邊形0APB是矩形矛盾.

???直線I的斜率存在.設(shè)I方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),

y=kx+3,

+=1,

(—21)>0恒成立，且x1+x2二一口，x1x2=—□.

*/□=□+□,???四邊形0APB是平行四邊形.若存在直線I,使得四邊形OAPB是矩形，

則OAJLOB,即口?0=0.

*.*□=(x1,y1),□=(x2,y2),

/.□?□=x1x2+y1y2=0,

即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,

即(1+k2)?(一口)+3k?(—匚］)+9=0,即k2二口，得k二士□.

???存在直線I:y=±Dx+3,使得四邊形OAPB是矩形.

2

6設(shè)K、尼分別是橢圓彳-+)'2=1的左、右焦點(diǎn).

(I)若口是該橢圓上的一種動(dòng)點(diǎn)，求口?□的最大值和最小值;

(II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)□的直線口與橢圓交于不一樣的兩點(diǎn)口、口，且N口為銳角(其中□為坐

標(biāo)原點(diǎn))，求直線口的斜率口的取值范圍.

解：(I):易知口

因此口，設(shè)口，則

2?

叫至={S乂一）），（6-工，一）"=爐+/2-3=x2+l-^--3=—（3x2-8）

由于口，故當(dāng)口，即點(diǎn)□為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，□有最小值口

當(dāng)口，即點(diǎn)口為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，口有最大值口

(II)顯然直線□不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線口,

聯(lián)立口，消去口，整頓得：口

.4k3

..%+X,=,X],X,=—

k2+-~k2+-

44

由□得：□或口

又0°〈Nn0B<90°=8sN40B>0o3?5g>0

:.OAOB=+y]y2>0

,3k28k.孑+1

又X%=（依?+2）（依2+2）=k2xx+2左（％+/）+4=———-

x2IL

k2+-k~+-

444

VO,即口?,?口

故由①、②得一2＜攵＜一"或正＜衣＜2

22

7如困，直線y=kx+b與橢圓□交于A.B兩點(diǎn)，記aAOB的面積為S.

(I)求在k=0,0VbV1的條件下，S的最大值；

(II)當(dāng)IAB|=2,S=1時(shí)，求直線AB的方程.

(I)解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(口，點(diǎn)B的坐標(biāo)為口,

由口，解得口

因此S=g〃|%—/1=2從萬(wàn)丁<〃+]_〃=]

當(dāng)且僅當(dāng)□時(shí)，.S取到最大值1.

(II)解：由口得

(4k2+\)x2+8蜘:+4宣-4=0

A=16(4^2-Z72+l)?

"BI=卡%丑"四竺五1=2

4K+1

又由于。到AB的距離“二二衛(wèi)二=1因此后=公+]

ViTF\AB\

③代入②并整頓，得口

解得，口，代人①式檢查，△>()

故直線AB的方程是

尸也"逅或尸立工-理或尸-也力如或尸-正工-亞

222222,22

8已知楠圓C:口+口=1(a>b>0)的左.右焦點(diǎn)為F1.F2,離心率為e.直線，l:y

=ex+a與x軸.y軸分別交于點(diǎn)A.B,M是直線I與橢圓C的一種公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1有關(guān)

直線I的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)口=入口.

(I)證明：入=1一e2;

(II)若口，△MF1F2的周長(zhǎng)為6;寫出橢圓C的方程；(理科無(wú)此問(wèn))

(川)確定入時(shí)值，使得4「尸件2是等腰三角形.

(I)證法一：由于A、B分別是直線I:口與x軸、y軸的交點(diǎn)，因此A、B的坐標(biāo)分

別是口.

因此點(diǎn)M的坐標(biāo)是(匚]).由口

解得4=\—e2.

(II)當(dāng)口時(shí)，口，因此口由△MF1F2的周長(zhǎng)為6,得口

22

因此。=2,c=I,/=a2-c2=3.橢圓方程為二+乙=1

43

(川)由于PF1_LI,因此NPF1F2=90°+NBAF1為鈍角，要使aPFIF2為等腰三角形，必有

|PF1|=|F1F2|,即口

設(shè)點(diǎn)F1到I的距離為d,由口

]—e~Io

得〒=因此/=—，于是4=l—e2=—

J1+/33

即當(dāng)□△PFIFZ為等腰三角形.

(1)9如圖，橢圓□的右焦點(diǎn)為□，過(guò)點(diǎn)□的一動(dòng)直線口繞點(diǎn)口轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交

橢圓于口，□兩點(diǎn)，□為線段□的中點(diǎn).

(2)求點(diǎn)尸的軌跡”的方程;

若在□的方程中，令□確定□的值，使原點(diǎn)距橢圓口的右準(zhǔn)線□最遠(yuǎn).此時(shí)設(shè)口與□軸

交點(diǎn)為口，當(dāng)直線□繞點(diǎn)口轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形□的面積最大？

解：如圖

(1)設(shè)橢圓□上的點(diǎn)口、口，又設(shè)口點(diǎn)坐標(biāo)為口，則

b~x[+a~y[=a~b-①

b2x；+々2），；=a2b2

團(tuán)當(dāng)團(tuán)不垂直向軸時(shí)，團(tuán)

由①一②得

2

及（X）-X2）2X+a（X-%）2》=0,

.■一外一b?xy

JV,-x2cryx-c

b2x2+ci2y2-b2cx=0,.

□當(dāng)口垂直于□軸時(shí)，點(diǎn)□即為點(diǎn)口，滿足方程(*).

故所求點(diǎn)□的軌跡口的方程為：□.

22

⑵由于，橢圓。右準(zhǔn)線/方程是工=幺，原點(diǎn)距橢0QQ的右準(zhǔn)線/的距離為幺,

由于c?=a2-h2,a2=1+cos^+sin^,/?2=sin^(0<0<—).

2

.a21+sin9+cos。八.￡乃、

貝miI」一=——/—=2sin(-+—).

cx/1+ccs。24

□時(shí)，上式到達(dá)最大值，因此當(dāng)□時(shí)，原點(diǎn)距橢圓口為右準(zhǔn)線口最遠(yuǎn).

此時(shí)□.

設(shè)橢圓。：三十匕=1上的點(diǎn)A(%j)、B(x2y2)t

△480的面積5=；聞+；|%|=；民_%|?

■LL

22

設(shè)直線〃7的方程為工=@+1,代入,+1-=1中，得(2+/))，2+26一1=0.

2&I

由韋達(dá)定理得y+%=一天后，X%=一不7'

8(公+1)

4s2=(%-%'=(M+>2)2-4yg

E

令口，得口，當(dāng)口取等號(hào).

因此，當(dāng)直線□繞點(diǎn)口轉(zhuǎn)動(dòng)到垂直□軸位置時(shí)，三角形□的面積最大.

9.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點(diǎn)P和

點(diǎn)Q,且0P_L0Q,|PQ|=n,求橢圓方程.

，橢圓方程為口+口丫2=1或口*2+口=1.

10設(shè)A、B分別為橢圓口(口)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且□為它的

右準(zhǔn)線。

(I)求橢圓的方程;

(II)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不一樣于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相

交于異于A.B的點(diǎn)M、N,證明點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

a=2c.

a=2l

解(I)依題意得“2解得彳從而〃二6

—=4[c=1

.c

22

故橢圓方程為二十二=1

43

(II)解法1：由(I)得□設(shè)口

團(tuán)M點(diǎn)在橢圓上，團(tuán)①又M點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B,0

由P、A.M三點(diǎn)共線可得口從而口

工兩?呼=2%-4+-^-=^—(片-4+3只)②

%+2題+2

-------5

將①式代入②式化簡(jiǎn)得=—(2-％)

團(tuán)于是團(tuán)為銳角，從而良為鈍角，

故點(diǎn)8在以MV為直徑的圓內(nèi)。

1.設(shè)口、口分別是橢圓□的左、右焦點(diǎn).

(I)若P是該橢圓上的一種動(dòng)點(diǎn)，求□的最大值和最小值；

(II)與否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線I與輔圓交于不一樣的兩點(diǎn)C.D,使得

|F2C|=|F2D|?若存在，求直線I的方程；若不存在，請(qǐng)闡明理由.

解：(I)易知口

設(shè)P(x,y),則口

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。,

□,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，□有最小值3;

當(dāng)口，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，□有最大值4

(II)假設(shè)存在滿足條件的直線I易知點(diǎn)A(5,0)在橢圓的外部，當(dāng)直線I的斜率不

存在時(shí)，直線I與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線I斜率存在，設(shè)為k

直線/的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

由方程組錯(cuò)誤！未找到引用源。

依題意錯(cuò)誤！未找到引用源。

當(dāng)□時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C口，CD的中點(diǎn)為RIJ,

則錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

又|F￡|二|FzD|錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

A20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立，因此不存在直線口，使得|F2C|=|F2D|

綜上所述，不存在直線I,使得|F2c|=|F2D|

11已知圓□上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足□.

(I)求點(diǎn)G的軌跡C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線口，與曲線C交于A.B兩點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)口與否存在

這樣的直線口，使四邊形0ASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在，求出直

線□的方程；若不存在，試闡明理由.

解：(1)□()為PN的中點(diǎn)且GQ_LPN

錯(cuò)誤！未找到引用源。GQ為PN的中垂線錯(cuò)誤！未找到引用源。|PG|二|GN|

/.|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)匚］,半焦距

□,???短半軸長(zhǎng)b=2,???點(diǎn)G的軌跡方程是口

(2)由于口，因此四邊形0ASB為平行四邊形

若存在I使得|口|二|口|,則四邊形0ASB為矩形口

若I的斜率不存在，直線I的方程為x=2,由口

□矛盾，故I的斜率存在.

設(shè)/的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。①

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。②

把①、②代入錯(cuò)誤！未找到引用源。

???存在直線錯(cuò)誤！未找到引用源。使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.

12已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一種頂點(diǎn)恰好走拋物線y二Dx2的

焦點(diǎn)，離心率等于口.

(1)求橢圓C時(shí)方程：

(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線I交橢圓C于A.B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若□二人1口,

□二人2匚］,求證人1十入2為定值.

解：(I)設(shè)橢圓C的方程為口，則由題意知b=1.

錯(cuò)誤！未找到引用源。

???橢圓C的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

(II)措施一：設(shè)A.B.M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為口

易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0).

錯(cuò)誤！未找到引用源。

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得口

去分母整頓得錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

1.、已知橢圓W的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在□軸上，離心率為口，兩條準(zhǔn)線間的距離為6.

橢圓W的左焦點(diǎn)為口，過(guò)左準(zhǔn)線與口軸的交點(diǎn)□任作一條斜率不為零的直線口與橢圓W交

于不一樣的兩點(diǎn)口、口，點(diǎn)口有關(guān)□軸的對(duì)稱點(diǎn)為□.

(I)求橢圓，的方程；

(II)求證：口(口);

(III)求口面積□的最大值.

解：(I)設(shè)橢圓N的方程為口，由題意可知

口解得口，口，匚I,

因此橢圓W的方程為口.

(II)解法1：由于左準(zhǔn)線方程為口，因此點(diǎn)口坐標(biāo)為□.于是可設(shè)直線口的方程為

□.

錯(cuò)誤！未找到引用源，得錯(cuò)誤！未找到引用源。.

由直線,□與橢圓,交于口、口兩點(diǎn)，可知

□,解得□.

設(shè)點(diǎn)口，口的坐標(biāo)分別為口，口，

則口，口，口，口.

由于口，口，

因此口，口.

又由于錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。，

因此□.

解法2:由于左準(zhǔn)線方程為口，因此點(diǎn)□坐標(biāo)為口.

于是可設(shè)直線口的方程為□，點(diǎn)口，口的坐標(biāo)分別為口，口，

則點(diǎn)□的坐標(biāo)為口，口，□.

由橢圓的第二定義可得

錯(cuò)誤！未找到引用源。，

因此口，口，口三點(diǎn)共線，即口.

(川)由題意知

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源,

錯(cuò)誤！未找到引用源，

當(dāng)且僅當(dāng)□時(shí)成立，

因此口面積□的最大值為ZL

14已知定圓□圓心為A,動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C.

(I)求曲線。的方程；

(II)若點(diǎn)□為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線□與曲線C有且只有一種交點(diǎn).

解：(I)圓A的圓心為口，

設(shè)動(dòng)圓M時(shí)圓心錯(cuò)誤！未找到引用源。

由|AB|=2,可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A,

故|MA|二r1—r2,即|MA|+|MB|=4,

因此，點(diǎn)M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為口，由口

故曲線C的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

(II)當(dāng)口，

錯(cuò)誤！未找到引用源。

消去錯(cuò)誤！未找到引用源。①

由點(diǎn)□為曲線C上一點(diǎn)，

錯(cuò)誤！未找到引用源。

于是方程①可以化簡(jiǎn)為口解得口，

錯(cuò)誤！未找到引用源。

綜上，直線I與曲線C有且只有一種交點(diǎn)，且交點(diǎn)為口.

15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-1,0)、B(1,0),動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△

ABC的周長(zhǎng)為2+2口.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.

(I)求"的方程；

(II)通過(guò)點(diǎn)(0,□)且斜率為k的直線I與曲線W有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)P和Q,

求4的取值范圍；

(III)已知點(diǎn)M(□,0),N(0,1),在(II)的條件下，與否存在常數(shù)k,使

得向量□與□共線？假如存在，求出k的值；假如不存在，請(qǐng)闡明理由.

解：(I)設(shè)C(x,y),

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到弓用源。，

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，

???由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A.B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2□的橢圓除去與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn).

.口..口.

.W..□.

(II)設(shè)直線I的方程為口，代入橢圓方程，得口.

..整頓，得口....①…

由于直線/與橢圓有兩個(gè)不一樣的交點(diǎn)戶和0等價(jià)于

口，解得□或□.

:.滿足條件的〃的取值范圍為錯(cuò)誤！未找到引用源。

(III)設(shè)P，Q(x2,y2),則□=(x1+x2,y1+y2),

..由①得口.........②

又錯(cuò)誤！未找到引用源。③

..由于口，口.因此口.

因此錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。共線等價(jià)于錯(cuò)誤！未找到引

用源。.

將②③代入上式，解得口.

因此不存在常數(shù)k,使得向量□與□共線.

16.已知定點(diǎn)□及橢圓匚I,過(guò)點(diǎn)口的動(dòng)直線與橢圓相交于口兩點(diǎn).

(I)若線段□中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是口，求直線口的方程；

(II)在口軸上與否存在點(diǎn)口，便□為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)口的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

闡明理由.

(I)解：依題意，直線口的斜率存在，設(shè)直線口的方程為口，

將口代入口，

消去錯(cuò)誤！未找到引用源。整頓得錯(cuò)誤！未找到引用源。

設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。則錯(cuò)誤！未找到引用源。

由線段口中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是口，得口，

解得口，適合口......................

因此直線□的方程.匚口........

(II)解：假設(shè)在□軸上存在點(diǎn)口，使□為常數(shù).

①當(dāng)直線口與口軸不垂直時(shí)，

由(I)知錯(cuò)誤！未找到引用源。

因此錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

將□代入，整頓得口

錯(cuò)誤！未找到引用源。

注意到口是與□無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有口，此時(shí)口

②當(dāng)直線□與□軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)□的坐標(biāo)分別為口，

當(dāng)口時(shí)，亦有口

綜上，在口軸上存在定點(diǎn)口，使□為常數(shù).

17、已知橢圓□的離心率為口，且其焦點(diǎn)F(c,0)(c>0)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線I的距離為3,過(guò)

焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。

(1)求橢圓的原則方程；

(2)設(shè)M為右頂點(diǎn)，則直線AM、BM與準(zhǔn)線I分別交于P、Q兩點(diǎn)，(P、Q兩點(diǎn)不重疊)，求

證：口

解：(1)由題意有口解得口

，橢圓的原則方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

(2)①若直線AB與口軸垂直，則直線AB的方程是口

,該橢圓的準(zhǔn)線方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。，

/.□，當(dāng)直線AB與□軸垂直時(shí)，命題成立。

②若直線AB與□軸不垂直，則設(shè)直線AB的斜率為口，

???直線AB的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

又設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。

聯(lián)立錯(cuò)誤！未找到引用源。消"得錯(cuò)誤！未找到引用源。

???錯(cuò)誤！未找到引用源。???錯(cuò)誤！未找到引用源。

又TA.M、P三點(diǎn)共線，.*.□同理口

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，錯(cuò)誤！未找到引用源。

???錯(cuò)誤！未找到引用源。

綜上所述：口

18設(shè)橢圓C:□時(shí)左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于此外一

點(diǎn)P,交x軸正半軸于點(diǎn)Q,且口

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若過(guò)A.Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線I:

□相切，求橢圓C的方程.

解：⑴設(shè)Q(xO,0),由F(-c,0)

A(0,b)知口

錯(cuò)誤!未找到引用源?！?分

設(shè)口，得口......4分

由于點(diǎn)P在橢圓上，因此口......6分

整頓得2b2=3ac,即2(a2—c2)=3ac,口，故橢圓妁離心率。=口......8分

(2)由(1)知口,

于是F(—Da,0),QQ

△AQF的外接圓圓心為(Da,0),半徑r=UlFQl”

因此口，解得a=2,.\c=1,b=D,

所求橢圓方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

19已知橢圓口過(guò)點(diǎn)口，且離心率。=口.

(I)求橢圓方程；

(II)若直線□與橢圓交于不一樣的兩點(diǎn)口、口，且線段□時(shí)垂直平分線過(guò)定點(diǎn)口，求

口的取值范圍。

由題意橢圓的離心率

錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

???橢圓方程為錯(cuò)誤!未找到引用源。

又點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。在橢圓上錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

???橢圓的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源?！?分

(II)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。由錯(cuò)誤！未找到引用源。

消去錯(cuò)誤！未找到引用源。并整頓得錯(cuò)誤！未找到引用源?！?分

??,直姨錯(cuò)誤！未找到引用源.與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)

□,即口……8分

又錯(cuò)誤！未找到引用雙。錯(cuò)誤！未找到引用源。中點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。的坐標(biāo)為錯(cuò)

誤！未找到引用源。……9分

設(shè)□的垂直平分線口方程：口

錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。上錯(cuò)誤！未找到引用源。即借誤！

未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源?！?1分

將上式代入得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

即錯(cuò)誤！未找到引用源?；蝈e(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍為錯(cuò)誤！

未找到引用源。

20已知橢圓0:口+口=1(a>b>0)的離心率為口，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直

線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。

(1)求直線制(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率

(2)對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M,試證：總存在角□(□￡?使等式：□=coslZ]E]+sin□口

成立。

解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由于口，因此有口，故有口。從而橢圓C的方程可化為：口

①

易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(口)，

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：□②

由①，②有：口③

設(shè)口，弦AB的中點(diǎn)口，由③及韋達(dá)定理有：

錯(cuò)誤！未找到引用源。

因此口，即為所求。

(2)顯然□與□可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平

面內(nèi)的向量口，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)口，使得等式口成立。設(shè)口，由1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：

錯(cuò)誤！未找到引用源。,因此

錯(cuò)誤！未找到引用源。。

又點(diǎn)在橢圓C上，因此有口整頓為口。④

由③有：口。因此

錯(cuò)誤！未找到引用源。⑤

又A、B在橢圓上，故有口⑥

將⑤，⑥代入④可得：口。

對(duì)于橢圓上的每一種點(diǎn)□，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式□成立，而口

在直角坐標(biāo)系□中，取點(diǎn)P(匚I),設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線0P為終邊的角為口，顯

然口。

也就是:對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M,總存在角口(口￡的使等式:[Zl=cosE]|ZI+sin□口

成立C

21已知方向向量為匚的直線□過(guò)橢圓C:口=11>1)>0)的焦點(diǎn)以及點(diǎn)(0,□),橢圓

C的中心有關(guān)直線□時(shí)對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上。

(1)求橢圓C的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)E(-2,0)的直線口交橢圓C于點(diǎn)M、N,且滿足口，(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線口

的方程。

解：⑴直線□①，過(guò)原點(diǎn)垂直于□的直線方程為□②

解①②得口，???橢圓中心0(0,0)有關(guān)直線□時(shí)對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，

??,直線口過(guò)橢圓焦點(diǎn)，，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),???□,

故橢圓C的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。③

(2)當(dāng)直線口的斜率存在時(shí)，設(shè)口，代入③并整頓程

口，設(shè)口，

則錯(cuò)誤！未找到引用源。

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，

點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。到直線錯(cuò)誤！未找到引用漉。的距離錯(cuò)誤！未找到引用源。.

???口，即口，

又由口得匚I,

???錯(cuò)誤！未找到引用源。，

而口，，匚1,即口，

解得口，此時(shí)口

當(dāng)直線口的斜率不存在時(shí)，口，也有口，

經(jīng)檢交，上述直線口均滿足口，

故直線錯(cuò)誤！未找到引用源。的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

22設(shè)直線口與橢圓□相交于A.B兩個(gè)不一樣的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C,記0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)證明：口；

(2)若□的面積獲得最大值時(shí)的橢圓方程.

(1)證明：由□得口

將錯(cuò)誤！未找到引用源。代入錯(cuò)誤！未找到引用源。消去錯(cuò)誤！未找到引用源。得

錯(cuò)誤！未找到引用源。①

由直線/與橢圓相交于兩個(gè)不一樣的點(diǎn)得

口整頓得口，即口

(2)解：設(shè)口由①，得口

一錯(cuò)誤！未找到引用源。而點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。，???錯(cuò)誤！未找到引用源。

得□代入上式，得口

于是，ZkOAB的面積口口

其中，上式取等號(hào)的條件是口即口

由錯(cuò)誤！未找到引用源?？傻缅e(cuò)誤！未找到引用源。

將□及□這兩組值分別代入①，均可解出口

???40AB的面積獲得最大值的橢圓方程是錯(cuò)誤！未找到引用源。

23如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且通過(guò)點(diǎn)M(2,1),

平行于0M時(shí)直線I在y軸上的截距為m(01*0),I交橢圓于A.B兩個(gè)不一樣點(diǎn)。

(1)求橢圓的方程；

(2)求m的取值范圍;

(3)求證直線MA.MB與x軸一直圍成一種等腰三角形.

解：(1)設(shè)橢圓方程為口

則

錯(cuò)誤！未找到引用源。

?,?橢圓方程為

錯(cuò)誤！未找到引用源。

(2)???直線I平行于0M,且在y軸上的極距為m

又KOF

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

由

錯(cuò)誤！未找到引用源。

???直線I與橢圓交于A.B兩個(gè)不一樣點(diǎn)，

錯(cuò)誤！未找到引用源。

(3)設(shè)直線MA.MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可

設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。

則

錯(cuò)誤！未找到引用源。

由錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

而

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。

故直線MA.MB與x軸一直圍成一種等腰三角形.

24已知橢圓口的離心率為口，F(xiàn)為橢圓在x軸正半軸上的焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且

□,定點(diǎn)A(—4,0).

(1)求證：當(dāng)口時(shí).，□;

(2)若當(dāng)□時(shí)有口，求橢圓C的方程；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)M、N兩點(diǎn)在橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)口時(shí)值為6口時(shí)，求出直線

MN的方程.

解：(1)設(shè)口，

則錯(cuò)誤！未找到引用源。，

當(dāng)口時(shí)，口，

由M,N兩點(diǎn)在橢圓上，口

若口，則口(舍去)，口

錯(cuò)誤！未找到引用源。。

(2)當(dāng)□時(shí)，不妨設(shè)口

又口，口,

橢圓C的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。。

(3)由于錯(cuò)誤！未找到引用源。=6錯(cuò)誤！未找到引用源。，

由⑵知點(diǎn)F(2,0),因此|AF|二6,即得|yeyn|二錯(cuò)誤！未找到引用源。

當(dāng)MN^x軸時(shí)，1yli-yN|=|MN|=錯(cuò)誤！未找到引用源。，故直線MN的斜率存在，

不妨設(shè)直線MN的方程為錯(cuò)誤！未找到引用源。

聯(lián)立口，得口，

錯(cuò)誤！未找到引用源。;錯(cuò)誤！未找到引用源。，解得k二士1。

此時(shí)，直線的MN方程為口，或口。

25在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)口、口，□是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線口、□的斜率之積

為口.

(I)求動(dòng)點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。的軌跡錯(cuò)誤！未找到引用源。的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)□作直線□與軌跡□交于□、口兩點(diǎn)，線段口的中點(diǎn)為口，求直線口的斜率口的

取值范圍.

解：(I)依題意，有口(口),化簡(jiǎn)得

□(□),

這就是動(dòng)點(diǎn)錯(cuò)誤！未找到引用源。的軌跡錯(cuò)誤！未找到引用源。的方程；

(II)依題意，可設(shè)口、匚、口，則有

9

錯(cuò)誤！未找到引用源。

兩式相威，得口，由此得點(diǎn)口的軌跡方程為

□(□).

設(shè)直線□:口(其中匚)，則

錯(cuò)誤！未找到引用源。

故由口，即口，解之得口的取值范圍是口.

25橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=口，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的放

短距離為1-e,直線I與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A.B,且□.

(1)求橢圓方程；

(2)若口，求m的取值范圍.

解：(1)設(shè)C:□+□=1(a>b>0),設(shè)c>0,c2=a2—b2,由條件知a-c=EZL□

=□,

/.a=1,b=c=口，

故C的方程為：y24-D=1

(2)由口=入口得□一口=入(□一□),(1+入)□=口+人口,

，入+1=4,入=3

設(shè)I與橢圓C文點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)

y=kx+m,,,

2?2得(〃+2)G+2kmx+(方—1)=0

[2x+/=1

△=(2癡)2-4(〃+2)(■—1)=4(〃-2才+2)>0(*)

x1+x2=[J,x1x2=[J

必+放=-2放

VAP=3PB???一乂=3”2:.

MM=-3必

消去x2,得3(x1+x2)24-4x1x2=0,，3(□)2+4口=0

整頓得4〃■+2病一/一2=0

m2=U時(shí),上式不成立；m2W□時(shí),k2=[J,

因入=3.*.k*0.\k2=D>0,A-1<m<-n或口。<1

輕易驗(yàn)證k2>2m2-2成立，因此(*)成立

即所求m的取值范圍為(-1,-□)U(□,1)

26設(shè)向量口，過(guò)定點(diǎn)口，以口方向向量的直線與通過(guò)點(diǎn)口，以向量□為方向向量的

直線相交于點(diǎn)P,其中口

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)設(shè)過(guò)□的直線口與C交于兩個(gè)不一樣點(diǎn)M、N,求□的取值范圍

解：(1)設(shè)□???口，

過(guò)定點(diǎn)口，以□方向向量的直線方程為：口

過(guò)定點(diǎn)口，以口方向向量的直線方程為：口

聯(lián)立消去□得：口???求點(diǎn)P的軌跡C的方程為口

(2)當(dāng)過(guò)□的直線口與□軸垂直時(shí)，口與曲線□無(wú)交點(diǎn)，不合題意，

???設(shè)直線□的方程為：口，口與曲線□交于口

由錯(cuò)誤！未找到引用源。

錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

???錯(cuò)誤！未找到引用源。

□□VO,???□的取值范圍是口

27已知曲線□的方程為：口

(1)若曲線□是橢圓，求□的取值范圍；

(2)若曲線□是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角為口，求此雙曲線的方程.

解：(1)當(dāng)□口

它表達(dá)橢圓的充要條件是錯(cuò)誤！未找到引用源。

(2)方程表達(dá)雙曲線的充要條件是：口

當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。

其一條漸近線斜率為：口

此時(shí)雙曲線的方程為：口

當(dāng)口，雙曲線焦點(diǎn)在y軸上：口

其一條漸近線斜率為：口

綜上可得雙曲線方程為：口

28如圖所示，已知圓口，定點(diǎn)A(3,0),M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上,

且滿足□，點(diǎn)N的軌跡為曲線E。

(1)求曲線E的方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。

解：(1)VO

???□為□的中垂線，□…

又由于口，因此口

因此動(dòng)點(diǎn)□的軌跡是以點(diǎn)□和□為焦點(diǎn)的橢圓,

且錯(cuò)誤！未找到引用源。

因此曲線□的方程為：口；

(2)設(shè)直線與橢圓交與□兩點(diǎn)，中點(diǎn)為口

由點(diǎn)差法可得：弦的斜率口

由口，Q(2,1)兩點(diǎn)可得弦的斜率為口，

因此錯(cuò)誤！未找到引用源。，

化簡(jiǎn)可得中點(diǎn)的軌跡方程為：口

29已知橢圓□的離心率為口，直線□:□與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的

圓相切.

(1)求橢圓G的方程;

(2)設(shè)橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)F2,直線口過(guò)點(diǎn)F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線

□垂直□于點(diǎn)P,線段PF2垂直平分線交口于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C2的方程；

(3)設(shè)C2與x軸交于點(diǎn)Q,不一樣的兩點(diǎn)R,S在C2上，且滿足口，求□的取值范圍.

解：⑴□,□

??,直線I:x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切，，□二b,Jb二口，b2=2,Aa3=3.

???橢圓C1的方程是口

(2)VMP=MF,

???動(dòng)點(diǎn)M到定直線11：x=-1的距離等于它的定點(diǎn)F2(1,0)時(shí)距離，

???動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以11為準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線，

???點(diǎn)〃的軌跡a的方程為錯(cuò)誤!未找到引用源。。

(3)Q(0,0),設(shè)口，

口，

由口得口，

□,□化簡(jiǎn)得口，

錯(cuò)誤！未