高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大串講（共73頁(yè)）

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充足條件和必要條件.

考試規(guī)定：

（1）理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；理解空集和全集的意義；理解屬于、包括、

相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們對(duì)的表達(dá)某些簡(jiǎn)樸的集合.

（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且，“非”的含義理解四種命題及其互相關(guān)系；掌握充足條件、

必要條件及充要條件的意義.

§0L集合與簡(jiǎn)易邏.知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)構(gòu)造：

本章知識(shí)重要分為集合、簡(jiǎn)樸不等式口勺解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

（一）二、知識(shí)回憶：

（二）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

集合的表達(dá)法：列舉法、描述法、圖形表達(dá)法.

集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì):

①任何一種集合是它自身的子集，記為團(tuán)；

②空集是任何集合的子集，記為乳

③空集是任何非空集合的真子集；

假如團(tuán)同步感那么A=B.

假如BaC,那么

［注］:①Z=｛整數(shù)｝(V)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的J補(bǔ)集是一種有限集，則集合A也是有限集.(X)(例:S=N；A=I3,貝JCsA=

⑼)

?空鼎號(hào)慢提翎L

④若集合八二集合B,則CBA/,CAB=0CS(CAB)=D(注:CAB=0).

3.①{(x,y)|x.=0,x￡R,y￡R}坐標(biāo)軸上日勺點(diǎn)集.

?{(x,y)|xy<0,xWR,y￡R回二、四象限的點(diǎn)集..

③](x,y)|xy>0,xGR,yGR)一、三象限日勺點(diǎn)集.

[注]:①對(duì)方程組解U勺集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：0解的集合{(2,1)}.

②點(diǎn)集與數(shù)集U勺交集是團(tuán).(例：尸{(x,y)..=x+l.B={y[.=x2+1,則AA.W)

4.?n個(gè)元素的子集有2n個(gè).②n個(gè)元素時(shí)真子集有2.-1個(gè)..③n個(gè)元素的非空真子集有2n

-2個(gè).

5.⑴①一種命題日勺否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題團(tuán)逆命題.

②一種命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題團(tuán)逆否命題.

例：①若用應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3,則a+b=5,成立，因此此命題為真.

②xw1且)，土2,"3.

解：逆否：x+y=3取=1或y=2.

配0,故團(tuán)是13時(shí)既不是充足，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

2.例：若團(tuán)..

集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：A'B={x|xeA,且工￡8}

并：AJBo*|xwA或8}

補(bǔ)：C(A={xwA}

3.重要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包括關(guān)系：

(2)等價(jià)關(guān)系:

集合的運(yùn)算律：

互換律：

結(jié)合律：(An8)nC=An(8nC)；(AU8)UC=AU(8UC)

分派律:.An(8uc)=(An8)u(Anc)；AU(8nc)=(AU8)n(Auc)

0-1律：

等幕律：

求補(bǔ)律：APCUA二小AUCUA=UdCUU=d>6CU6=U

4.反演律：CU(ADB)=(CUA)U(CLB)CU(AUB)=(CLA)n(CUB)

5.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集AMJ元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(<t>)=0.

基本公式：

(\)card{AB)=card(>4)4-card(B)-card(AB)

(2)card(ABC)=c〃d(A)+card(B)+card\C)

-card(AB)-card(B\C)-card(CA)

+card(Ar\Br\C)

(3)card(DiA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式,、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)從右向左，從上向下，奇穿偶回，零點(diǎn)討論

①將不等式化為aO(x-xl)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為

了統(tǒng)一以便)

②求根，并在數(shù)軸上表達(dá)出來；

③由右上方穿線，通過數(shù)軸上表達(dá)各根的點(diǎn)(為何？);

④若不等式(x口勺系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式

是“<0”，則找“線”在x軸下方叢J區(qū)間.

------O_______0_______O____________________________+,________八+)

%x?x

(自右向左正負(fù)相間)

則不等式如X〃+。2/-2+???+%>0(<0)(%>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確

定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

②一元二次不等式ax>box>0(a>0)解的J討論.

A>0A=0A<0

二次函數(shù)

J

y=ax2+bx+cA

rA\lJ

JXi=X2xX

(6/>0)的圖

象

一元二次方程

有兩相等實(shí)根

有兩相異實(shí)根

ax1+/?x+c=0b

Xi-Xy-

(a>0地根Xl,x2(xl<x2)2a無實(shí)根

ax1+Z?x+c>0

(x|x<xidcr>x}b

3>0)的解集I2Vxx---

2aR

ax1+bx+c<0

<x<x}

m>())的解集20

0

2.分式不等式的解法

(1)原則化：移項(xiàng)通分化為〉0(或<0)；2()(或W0)的形式，

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

g(x)g(x)[g⑺

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：，與型II勺不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

（3）幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想措施解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=O（a^O）

（1）根的“零分布”：根據(jù)鑒別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

（三）簡(jiǎn)易邏輯

1.命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)樸命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不具有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)樸命題；

由簡(jiǎn)樸命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題.

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q（記作“pVq”）:P且q（記作“p/\q"）;非P（記作“1

q”）。

3.“或”、“且"、“非”的真值判斷

（1）“非P”形式復(fù)合命題H勺真假與F的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他狀況時(shí)為假：

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他狀況時(shí)為真.

4.四種命題日勺形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若1P則1q；逆否命題：若1q則1P。

（1）互換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

（2）同步否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得的命題與否命題；

（3）互換原命題的條件和結(jié)論，并且同步否認(rèn)，所得H勺命題是逆否命題.

5.四種命題之間日勺互相關(guān)系：

一種命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題逆否命題）

①、原命題為真，它為逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題?定為真。

6.假如已知pq那么我們說，p是q的充足條件，q是p口勺必要條件。

若pq且qP,則稱P是q的充要條件，記為p=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的背面出發(fā)（假設(shè)），引出（與已知、公理、定理…）矛盾，從而否認(rèn)

假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明措施叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章?函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)塞的I運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試規(guī)定：

（1）理解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）理解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷某些簡(jiǎn)樸函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的措施.

（3）理解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求某些簡(jiǎn)樸函數(shù)的反函數(shù).

（4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

（5）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

（6）可以運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)處理某些簡(jiǎn)樸的實(shí)際問題.

..…§02.函.知識(shí)要點(diǎn)

?、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)迨:

定義?-F:A—>B

廠一反函數(shù)

映身寸舟殳句F究圖像

匚?性質(zhì)

函數(shù)一

二次函數(shù)

指數(shù)T旨數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)一對(duì)數(shù)函數(shù)

(一)二、知識(shí)回憶：

(二)映射與函數(shù)

1.映射與一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用H勺要素，由于這

兩者確定后，值域也就對(duì)應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則兩者完全相似的函數(shù)才是

同一函數(shù).

(二)函數(shù)H勺性質(zhì)

L函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于一函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)白變量的值xl,x2,

⑴若當(dāng)xl<x2時(shí)，均有f(xl)<f(x2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)xl<x2時(shí)，均有f(xl)>f(x2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)H勺單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上日勺單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶南數(shù)的定義.如果對(duì)F函數(shù)*x)的定義域內(nèi)任我個(gè)x,都有

f(?xK(x),那么函ftf(x)a叫做偶函數(shù).

/(X虎偶的數(shù)C〃7)『/(1)。/(7)-/(1八03繽?VC*)，⑦

/W

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)尸函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)K標(biāo)右

f(?x)=4n那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

/(X)是毒函數(shù)O/(-力?-/(X)O/(-x)f/??0O0■-1UW.0)

/(X)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(T)=/(X)或

/(-X)=-/S)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于.、軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果/")是偶函數(shù)，貝!J/(x)=/(lxl),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=O時(shí)有意義，則/(。)=?！?/p>

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù):回

設(shè)(0)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(同)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的鑒定：兩個(gè)條件叵步滿足

①定義域一定要有關(guān)(3軸對(duì)稱，例如:同在團(tuán)上不是偶函數(shù).

②滿足國(guó)或回，若團(tuán)時(shí)，胤

⑵奇函數(shù):團(tuán)

設(shè)(0)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(團(tuán))也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的I鑒定：兩個(gè)條件叵步滿足

①定義域?定要有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，例如:回在回上不是奇函數(shù).

②滿足此或團(tuán)若同時(shí)，團(tuán).

8.對(duì)稱變換：①..f(x)0

②y寸(x)X軸對(duì)稱=-/(x)

③v=/(x)彈型!■稱.>、，=-/?(_4

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(x).1+既向定義域?yàn)锳,函數(shù)f[f(x)]的定義域是B,則集合A與集合B之

間的關(guān)系……

解:訓(xùn)勺值域是加勺定義域團(tuán)，加勺值域段故國(guó)而A0,故國(guó).

11.常用變換：

①f(x+y)=/(A)/(.y)=f(x-y)=等.

f(y)

證：f(x-y)=繆o/(x)=/[(A-y)+y]=f(X-y)f(y)

②/(-)=/(-V)-/(y)Of(x-y)=f(x)+f(y)

y

vy

證：f(x)=/(—?>')=/(—)+/(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

值域｛)，|)，工2,)，eK｝一值域工x前W、J系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)）'=優(yōu)（a>0且aw1）的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖M

象

二

?「??E?：....叱

4*

（1）定義域：R

性

質(zhì)（2）值域：（0,+8）

（3）過定點(diǎn)（0,1）,即x=Q時(shí)，y=l

(4)x>0時(shí)，y>l;x<0時(shí),0<y<l(4)x>0時(shí),0<y<l;x<0時(shí)，y>l.

（5）在R上是增函數(shù)（5）在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)尸bgdH勺圖象和性質(zhì)：

對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log〃(M?N)=logflM+log]N⑴

log〃果=log”M-IogaN

log.M"=〃log〃(±M尸

log.y/~M=-log^M

n

屋g.N=N

換底公式：k)g〃N=g^

log/,a

推論:

logwb-log/,c-logra=1

=>log”-2」0g的%.????】0g*—-〃=an

（以上M>0,N>0,aAO,awl,b〉O,bwl,c>0301聲］#2…an>0且Hl）

a>l0<a<l

y-

y=logax_______________

O

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域:R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí),y=0

⑷工￡(0,1)時(shí))<。x￡(o,i)時(shí)y>0

XG(1,+00)時(shí)Xe(l,+8)時(shí)y<0

y>0

(5)在(0,+°°)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

注⑴:當(dāng)歷時(shí)，胤

(2)：當(dāng)(3時(shí)，取“+”，當(dāng)團(tuán)是偶數(shù)時(shí)且回時(shí),(3,而田，故取“一”

例如:必中x>0而回中x￡R).

(2))，=。'(a>0,4w1)與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)團(tuán)時(shí)，郵勺同值越大，越靠近同軸；當(dāng)團(tuán)時(shí)，則相反.

（四）措施總結(jié)

（1）.相似函數(shù)的鑒定措施：定義域相似且對(duì)應(yīng)法則相似.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

log“（M?N）=log〃M+log.N⑴

M

log”—=log。M—log.N

N

log"M"="log〃（土例嚴(yán)）

log]=-log”M

n

膽"N=N

換底公式：log“N=g^d

1。瓦。

推論:logablogbc-logca=1

=>10g/a2*10gg%?????108冊(cè)_一〃=log%%

（以上M>0,N>0,a”0,awl,bM0,bwl,cA0,cwl,a],a2-an且wl）

注⑴：當(dāng)團(tuán)時(shí)屈

(2)：當(dāng)酈寸，取,當(dāng)團(tuán)是偶數(shù)時(shí)且團(tuán)時(shí)，團(tuán)而園故取“一”?

例如:團(tuán)中x>0而團(tuán)中x￡R).

(2)y=a'(a>0,a/1)與y=log”x互為反函數(shù).

當(dāng)國(guó)時(shí)，加勺團(tuán)值越大，越靠近田軸：當(dāng)團(tuán)時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)體現(xiàn)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)口勺求法：先解X,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)日勺定義域日勺求法：布列使函數(shù)故意義的自變晝的)不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常波及到的根據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不不不小于0；③對(duì)數(shù)的

真數(shù)不小于0,底數(shù)不小于零且不等于1：④零指數(shù)鬲的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)

際意義等.

(5).函數(shù)值域口勺求法：①配措施(二次或四次)；②“鑒別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的鑒定法：①設(shè)x,x是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x<x；②鑒定

f(x)與56)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的鑒定法：首先考察定義域與否有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：

①f(-x);f(x)為偶函數(shù)；f(-x);-f(x)為奇函數(shù)：②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇：

③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)^f(-X)=-l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)體現(xiàn)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②運(yùn)用熟知函數(shù)的圖象

的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③運(yùn)用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試規(guī)定：

(1)理解數(shù)列的概念，理解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義理解遞推公式是給出數(shù)列的一種措施，并能

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能處理簡(jiǎn)樸的實(shí)際

問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能處理簡(jiǎn)樸的實(shí)際

問題......§03...知以要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義冊(cè)+1=d皿=?（”（））

品

遞推公cUi+d；。“=。吁〃+"以

〃；

式a”=aT“

通項(xiàng)公%=%+[n-\)d

a=aqn~(%，4H0)

式ny

中項(xiàng)

,4二J=土〃“_?“+%(冊(cè)-"〃+人>°)

12G

(wN,,,>kA0)(〃,&€NA&A0)

前〃項(xiàng)

S”=5(q+冊(cè))〃4[(q=1)

和

,產(chǎn)業(yè)⑻=也處(”2)

cZZ(ZJ-I),

S“一〃為+21-6/\-q

重要性

質(zhì)

a,”+an=ap+aq(m,n,p,qwN,、a,n-an=%ciq(〃？，〃,p,qeN“、m+n=p+q)

in+/?=p+q)

1.⑴等等差數(shù)列等比數(shù)列

差、等

比數(shù)

列：

定義

⑸｝為A?尸o“向一%="（常數(shù)）{〃〃}為6/O3~=4(常數(shù))

%

通項(xiàng)公

a=a+(n-l)d=?+(n-k)d=6//?+67-d凡=《q"'=a?"-

式ntJt

求和公〃(〃i+a)n(n-\),

nd〃q(q=1)

式s”=:=na]2

S”=<q(l-嘰…M

do,d、

=—n-+(a{--)n

22\-q\-q

中項(xiàng)公A=0推廣：20=00o推廣：團(tuán)

式

1若m+n=p+q,則團(tuán)。

性若m+n=p+q則a+a?=a+a

質(zhì)mp/f

2若回成等比數(shù)列（其中囹）,則團(tuán)成等

若伏“｝成A.P（其中3wN）則｛4.｝

比數(shù)列。

也為A.P。

3.0成等差數(shù)列。

%，S2n一二，$3”--2〃成等比數(shù)列。

4瓦同團(tuán)

.%-a.a-a...、

d=———L=—)n——-(mwn)

n-1m-n

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有如下三種措施：

①an~an-l=d（n>2,d為常數(shù)）

②2%=%+1+fl?_I（H>2）

③an-kn+b（n,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有如下四種措施：

①an=an_xq｛n>2,g為常數(shù)，且工0）

②回（團(tuán),助①

注①:1團(tuán)，是a、b、c成等比的雙非條件，即盟a、b、c等比數(shù)列.

ii.0（ac>0）f為a、b、c等比數(shù)列的充足不必要.

iiW-為a、b、c等比數(shù)列的必要不充足.

ivMSOf為a、b、c等比教列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③“=cg"（c,q為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛〃“｝成等比的充要條件是數(shù)列）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛團(tuán)川勺前團(tuán)項(xiàng)和團(tuán)與通項(xiàng)加勺關(guān)系:0

［注］:①團(tuán)（團(tuán)可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）一若團(tuán)不為

0,則是等差數(shù)列充足條件）.

②等差｛酚前n項(xiàng)和.一?？烧J(rèn)為零也可不為零一為等差的充要條件一若0為零，則是等差數(shù)列的

充足條件：若團(tuán)不為零，則是等差數(shù)列日勺充足條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零，即不也許有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍認(rèn)

②若等差數(shù)列日勺項(xiàng)數(shù)為2團(tuán)，則函；

③若等差數(shù)列H勺項(xiàng)數(shù)為團(tuán)，則團(tuán)，且(3,13

0...

3.常用公式:①1+2+.…

②］2+22+32+…〃2=〃(〃+1回+1)

6

③廣+23+33…〃3=［必答］

［注］:熟悉常用通項(xiàng):9,99,999,…35,55,555,…固

4.等比數(shù)列的前團(tuán)項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的1總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量

成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過年后總產(chǎn)量為：

a+a(\+r)+a(l+r)2+…+a(l+r)n_1=L

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存回元，利息為團(tuán)，每月利息按復(fù)利

計(jì)算，則每月的團(tuán)元過缶個(gè)月后便成為團(tuán)元.因此，次年年初可存款：

a(l+r)12+?(l+r)11+?(i+r)10+…+a(l+r)=""'"—-.

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題:回為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款所有付清；囹?yàn)槟昀?

?(1+r)，M=A(1+r)w-1+Ml+r)m~2+..…A(1+r)+x=a(l+r),rt=----=>x=:')-

r(l+r)/H-l

5.數(shù)列常見的幾種形式:

⑴。”+2=〃%+產(chǎn)網(wǎng)”(P、q為二階常數(shù))1用特證根措施求解?

詳細(xì)環(huán)節(jié)：①寫出特性方程。(團(tuán)對(duì)應(yīng)團(tuán)x對(duì)?應(yīng)團(tuán))，并設(shè)二根回②若回可設(shè)團(tuán)若團(tuán)可設(shè)吐③由初始

值團(tuán)確定團(tuán).

⑵團(tuán)(P、r為常數(shù))團(tuán)用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為團(tuán)的形式，再

用特性根措施求電④回(公式法)，團(tuán)由團(tuán)確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：0.

②選代法:豳

/,_,,,-2

=P?1+P-r+---+Pr+r.

③用特性方程求解:電團(tuán).

④由選代法推導(dǎo)成果：.

6.幾種常見日勺數(shù)列日勺思想措施：

⑴等差數(shù)列的前0項(xiàng)和為跖在團(tuán)時(shí)，有最大值.怎樣確定使團(tuán)取最大值時(shí)的回值，有兩種措施：

一是求使國(guó)，成立的團(tuán)值；二是由團(tuán)運(yùn)用二次函數(shù)日勺性質(zhì)求用的值.

⑵假如數(shù)列可以看作是一種等差數(shù)列與一種等比數(shù)列H勺市應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前?項(xiàng)和可根據(jù)

等比數(shù)列前團(tuán)項(xiàng)和H勺推倒導(dǎo)措施：錯(cuò)位相減求和.例如:0

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相似項(xiàng)亦構(gòu)成一種新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一種相似項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差團(tuán)的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種措施:⑴定義法:對(duì)于n22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證團(tuán)

為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證酶都成立。

3.在等差數(shù)列｛0｝中，有關(guān)S.曰勺最值問題：(1)當(dāng)回>0,d<0時(shí)，滿足郵勺項(xiàng)數(shù)m使得團(tuán)取最大值.(2)

當(dāng)團(tuán)<0,d>0時(shí)，滿足團(tuán)的項(xiàng)數(shù)m使得回取最小值。在解含絕對(duì)值II勺數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思

想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和時(shí)常用措施

1.公式法:合用于等差、等匕數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:合用于團(tuán)其中｛團(tuán)是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:合用于團(tuán)其中｛即是等差數(shù)列,團(tuán)是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式日勺推導(dǎo)措施.

5.常用結(jié)論

.n(n+1)

1):l+2+3+...+n=—--------

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=n2

3)l3+23+---+n3=-/?(n+l)

4)/+2?+3?+…+/=一〃(〃+1)(2〃+1)

6

、11111」I、

n(n+1)nn+1n(n+2)2n〃+2

、111L、

6)--=-----(Z-----)(zP<(1)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù),單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,正弦、余

弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(c)x+(p)的圖像.正切函

數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試規(guī)定：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能對(duì)的地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；理解余切、正割、余割的定義；掌

握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；理解周期函數(shù)與最

小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式.

(4)能對(duì)的運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)樸三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”酉正弦

函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)丫=八§蛆(3、+5)的簡(jiǎn)圖，理解A.Q、中的物理意義.

(6)會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc?cosx\arctanx表達(dá).

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:sin2a+cos2ci=l,sina/cosa:tanci,tanQ?cosa=l”.

§04.三角函.知識(shí)要點(diǎn)

1.①與團(tuán)(0°<0<360°)終邊相似的角的集合(角13與角郵勺終邊重疊)：0

②終邊在x軸上日勺角的J集合:

③終邊在y軸上口勺角的集合:

④終邊在坐標(biāo)軸1.日勺角的集合:

⑤終邊在y=x軸上的I角的集合:

⑥終邊在軸上日勺角的集合:

⑦若角與角H勺終邊有關(guān)x軸對(duì)稱，則角與角H勺關(guān)系:

⑧若角與角口勺終邊有關(guān)y軸對(duì)稱，則角與角日勺關(guān)系:

⑨若角與角H勺終邊在一條直線上，則角與角的美系:

⑩角與角口勺終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系:

2.角度與弧度的互換關(guān)系:3600=2.180°=1°=0.0174.1=57.30°=57°181

注意：正角口勺弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角R勺弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=°257.30°=57°18'.1°=^0.01745(rad)

3.弧長(zhǎng)公式：....扇形面積公式：

4、三角函數(shù)：設(shè)團(tuán)是一種任意角，在團(tuán)的終邊上任取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距

離為r,.團(tuán).團(tuán).團(tuán).(3.13；.(3.

5、三角函數(shù)在各象限"勺符號(hào)：(一全二正弦，三切四余弦)

正弦、余割正切、余切

6.三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：定義域

三角函數(shù)

/(x)=sinx{x|xeR}

f(x)=cosx{A|XG/?}

/(x)=tanx

x|xwR曰/wA/r+5不，AwZ

f(x)=cotx{x|xwRFLrwk兀,kwZ}

f(x)=secx

x\xek7t-\--7t,keZ?

\2

f(x)=esex{x|x€/?目/wk兀,kwZ}

8、同角三角函數(shù)日勺基本關(guān)系式：

tanacotcr=Icscasina=1sccacosa=1

sin2?+cos2a=1sec2a-tan'a-1esc2a-cora=1

9、誘導(dǎo)公式：

把絲土環(huán)勺三角函數(shù)化為M勺三角函數(shù)，概括為：

2

“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二公式組三

公式組一

sinx.2.2.sin(2女；r+x)=sinxsin(-x)=-sinx

siav?CSCA-1tanx=----sin.r+cosx=\

COSX

cos(2而+A)=cosxcos(-x)=COSX

COSA122

cosx,seav=1cotx=1+tanx=secxtan(2^.T+x)=tanxtan(-.r)=-tan.r

sinx

cot(2^,T+x)=cotxcot(-x)=-cotx

tartv?cotx-11+COt2A-=€SC2.V

公式組四公式組五公式組六

sin(^+x)=-sinxsin(2^-,r)=-sinxsin(^-.v)=sinx

cos(4+x)=-cos/COS(2〃7)=COSXcos(^--x)=-cosx

tan(^-+,v)=tanxtan(2^--x)=-tanxtan(^--x)=-tar.x

cot(^r+x)=cotxcot(2^-x)=-cotxcot(^-^)=-cotx

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(6Z+p}-cosacos7?-sinasin°sin2?=2sinacosa

cos(a-fl)=cosacos夕+sinasinftcos2a=cos2cr-sin2?=2cos2a-\=1-2sin2a

-2tana

sin(a+/?)=sinacos°+cosasin0tan2a=---------

1-taira

.a,11-coscr

sin(a-p)=sinacos0-cosasin0sin—=±J--------

2V2

,小tan?+tana.Il+cosa

tan(a+0=-----------—cos—=±.--------

1-tanatan/?2V2

,c、tana-tan//a,(l-coscrsina1-cosa

tan(a-/?)=------------tan—=--------=---------=---------

1+tanatan/?2V1+cosa1+cosasina

公式組三sinc?cos^i?[sin(?+/?)+sin(?-/?)]公式組五

-aA、

2tan—cos?sinp=-i[sin(a+cos(—^--a)=sina

sina=--------

,，a.A、

l+tan"—cosacosP[cos(a+/)+cos(a-/7)]sin(—=coscr

2

sinasin0=--i[cos(?+/7)-cos(a-/y)]

,2aJ、

1-tan—tan(Q乃-a)=cola

cosa-----------

,2a.a+0a-(51、

1+tan—sina+sin/>=2sin---cos---cos(^^+a)=-sma

2

a+/3.a-。

sina-sin/>=2cos---sin---

A、

tan(—7v+a)=-cota

2介、a+0a~6

tancr=cosa+cosp=2cos-^-cos--^―

a

1-tan2A、

〃_.a+P.a-psm(—^-+<7)=cosa

2cosa-cos/?=-2sin—廣sin—六

sin15'=cos75°="-亞，sin75。=cos15"="+五,tan150=cot75l=2-V3,tan750=cot15^=2+V3.

44

10.正弦、夕y=Asin(3t+p)

y=cosx

弦、正照y=sinxy=tanx

(A.0>O)

余數(shù)(A、fy>0)

的N象的

哪：

定義域RRR

值域1-1,+1)1-1,+11R

[-4,4]

周期性27r2乃KIn

co

奇偶性奇函偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)e=o,非奇非偶

數(shù)當(dāng)0=0,奇函數(shù)

3-1玩

rK—,

[-5+2%"2k兀］122)2k/r---aj

---------------(A),

]+2及力上為增函上為增函數(shù)(O

數(shù)CkeZ)

2k7T+—7T-(P

上為增［2而，——2——(-A)

(0」

函數(shù)；（24+1加］

單調(diào)性上為減函上為增函數(shù)；

[-+2^

數(shù)冗

22…K7T+----(P

37r?］（AGZ）-----2-⑷，

—+2kn

2(0

3

上為減2k兀+一兀一(p

---------2——(-A)

函數(shù)Lco」

(上為減函數(shù)

keZ)(AcZ)

注意：①團(tuán)與郵J單調(diào)性恰好相反；團(tuán)與團(tuán)的單調(diào)性也同樣相反.一般