課下鞏固精練卷(五十一)子數(shù)列問題1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝12an+n,n=2k?1,a(1)求a2，a3；設bn＝a2n－2，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)求數(shù)列{an}前10項中所有奇數(shù)項的和．解：(1)依題意，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝12an+n,n=2k?1所以a2＝12a1＋1＝32，a3＝a2－4＝32－4因為bn＝a2n－2，所以a2n＝bn＋2，則bn＋1＝a2n＋2－2＝a2n＋1＋1－2＝12a2n＋1＋2n＋1－2＝12a2n＋1＋2n－1＝12(a2n－4n)＋2n－1＝12a2n－1＝12(bn＋2)－1所以數(shù)列{bn}是首項為b1＝a2－2＝32－2＝－12，公比為12的等比數(shù)列，所以bn(2)由(1)得a2n＝2－12則a2n＋1＝a2n－4n＝2－12n－4所以a5＝2－122－8，a7＝2－123－12，a9＝2所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝1＋?52＋(2－122－8)＋2?12．(1)數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an＝4n－1，bn＝3n＋2，它們的公共項由小到大排列組成數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式．(2)數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an＝34×2n，bn＝6×4n，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是{cn}，求cn解：(1)法一：設ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，所以k＝3(m+1)4因為3，4互質(zhì)，所以m＋1必為4的倍數(shù)，即m＝4p－1，所以cp＝bm＝b4p－1＝3(4p－1)＋2＝12p－1，即數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝12n－1.法二：由觀察可知，兩個數(shù)列的第一個公共項為11，所以c1＝11.設ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6＝3m+43＋2不是數(shù)列{bak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3m+83＋2不是數(shù)列{bak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是數(shù)列{bn}中的項．所以cp＋1＝ak＋3，則cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其公差為12，首項為11，因此，數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝12n－1.(2)an＝3×2n－2，bn＝3×22n＋1，設an＝3×2n－2是數(shù)列{bn}中的第m項，即3×2n－2＝3×22m＋1，所以n－2＝2m＋1，所以n＝2m＋3，即{bn}中的第m項是{an}中第2m＋3項，所以a2m＋3＝3×22m＋3－2＝3×22m＋1，所以cn＝3×22n＋1.3．(2024·廣東廣州模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，且滿足a1＝1，a1，a2，a4成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝2an,n為奇數(shù),1anan+2解：(1)因為a1，a2，a4成等比數(shù)列，所以a22＝a1a即(1＋d)2＝1×(1＋3d)，解得d＝0或d＝1.因為d>0，所以d＝1，所以an＝1＋1×(n－1)＝n.(2)由(1)得bn＝2所以bn＝2所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(21＋23＋…＋22n－1)＋12[12?14＋14?16＋…＋(12n－12n+2)]所以數(shù)列{bn}的前2n項的和T2n＝22n+13－14n+44．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝7，a4＋a5＋a6＝56.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)在數(shù)列{an}中的ai和ai＋1(i∈N*)之間插入i個數(shù)m1，m2，m3，…，mi，使ai，m1，m2，m3，…，mi，ai＋1成等差數(shù)列，這樣得到一個新數(shù)列{bn}，設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T21.解：(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＝7＝a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6＝56，所以q3＝8，即q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝7，即a1＝1，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1.(2)因為在數(shù)列{an}中的ai和ai＋1(i∈N*)之間插入i個數(shù)，則在數(shù)列{bn}的前21項中，就是在a1到a6每兩項之間各插入一組數(shù)，共插入五組，所以數(shù)列{bn}的前21項為a1，m1，a2，m2，m3，a3，m4，m5，m6，a