第4章

正弦穩(wěn)態(tài)電路基本理論4.1分析交流電路的意義

4.2直流電路與交流電路分析的異同點(diǎn)

4.3復(fù)數(shù)4.4相量表示法4.5相量的運(yùn)算特性

4.6相量分析法4.7電路定律及元件VCR的相量形式第4章

正弦穩(wěn)態(tài)電路基本理論4.8交流電路的功率4.9諧振4.10互感電路4.11空心變壓器

4.12理想變壓器

4.13結(jié)語

4.14小知識———組合音箱

首先介紹幾個(gè)基本概念。

(1)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：在時(shí)間趨于無窮大時(shí)仍然存在的響應(yīng)。

(2)動(dòng)態(tài)電路：包含動(dòng)態(tài)元件的電路。

(3)正弦穩(wěn)態(tài)電路：在正弦交流電或正弦信號激勵(lì)下只有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)電路。

在“信號與系統(tǒng)”課程中,會遇到“非正弦周期穩(wěn)態(tài)電路”,也就是一種周期信號作用下的連續(xù)系統(tǒng),其分析方法基于本章的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析方法。

為便于敘述,本書把正弦穩(wěn)態(tài)電路簡稱為“交流電路”。

4.1分析交流電路的意義

分析交流電路的意義主要有以下六點(diǎn)：

(1)交流電與人類息息相關(guān)。

(2)正弦信號具有代表性。

(3)正弦信號是重要的測試信號,廣泛用于電子儀器或設(shè)備的性能測試及調(diào)試。

(4)正弦信號可作為分析其他信號的基礎(chǔ)信號。

(5)在通信領(lǐng)域中,正弦信號常常作為載波使用。

(6)正弦信號在物理上易于實(shí)現(xiàn),在數(shù)學(xué)上易于處理。

4.2直流電路與交流電路分析的異同點(diǎn)

直流電路與交流電路在分析上主要有以下異同點(diǎn)：

(1)電路構(gòu)成不同。

(2)電源或信號源不同。

(3)分析內(nèi)容不盡相同。

(4)分析方法大同小異。

4.3復(fù)

數(shù)

正弦量：隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的量或隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流。正弦量具有正弦函數(shù)和余弦函數(shù)兩種數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。

為了便于研究復(fù)數(shù),人們引入了以實(shí)部Re[·]為橫軸、虛部Im[·]為縱軸的復(fù)平面直角坐標(biāo)系,簡稱“復(fù)平面”,如圖4-1(a)、(b)所示。

在復(fù)平面中,復(fù)數(shù)F可用一條源于原點(diǎn)的帶箭頭的線段表示,如圖4-1(c)所示。線段長度稱為復(fù)數(shù)F的模,記為

F,其在橫軸的投影即實(shí)部a,在縱軸的投影即虛部b;線段與實(shí)軸的夾角φ

稱為復(fù)數(shù)F的輻角。根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的概念,有

圖4-1復(fù)平面形式及復(fù)數(shù)的表示

根據(jù)歐拉公式eix=cosx+isinx,有

從而得到復(fù)數(shù)的另一種表示形式———指數(shù)形式：

式(4.34)也可簡化為極坐標(biāo)形式：

式(4.3-1)、式(4.3-2)、式(4.3-4)、式(4.3-5)分別是同一個(gè)復(fù)數(shù)的不同表示形式。

2.復(fù)數(shù)的加減

設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)F1=a1+jb1

和F2=a2+jb2,則有

即兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減、虛部與虛部相加減。它們的和、差也可以在復(fù)平面內(nèi)像向量一樣通過幾何法求得,如圖4-2(a)所示。

3.復(fù)數(shù)的乘除

設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)F1=a1+jb1和F2=a2+jb2,則有

可見,用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式進(jìn)行乘除運(yùn)算比較麻煩。

如圖4-2(b)所示,在復(fù)平面中,只要將F1

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ2-角度,再將F1的長度乘上F2的長度,就可得到F1

與F2-的乘積;只要將F1

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ2-角度,再將F1

的長度除以F2-的長度,就可得到F1與F2-的商。

圖4-2復(fù)數(shù)運(yùn)算示意圖

這樣,ej90°、e-j90°、ej180°和e-j180°可分別看成逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°的旋轉(zhuǎn)因子。根據(jù)歐拉公式,有

所以,j、-j、-1都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。因此,可得如下結(jié)論：

(1)復(fù)數(shù)F乘j,可看作F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

(2)復(fù)數(shù)F乘-j或除以j,可看作F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。

(3)復(fù)數(shù)F乘或除以-1,可看作F逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°。

4.4相

量

表

示

法

設(shè)一個(gè)正弦電流和一個(gè)正弦電壓的時(shí)域表達(dá)式分別為

圖4-3正弦交流電及其相量表示

為便于理解,下面從兩個(gè)方面引出正弦量的相量表示概念。

(1)從系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系上引出正弦量的相量表示概念。有分析表明,正弦量有一個(gè)重要特性：

正弦量的微分和積分運(yùn)算及同頻正弦量的四則運(yùn)算結(jié)果均為一個(gè)頻率不變的正弦量。

因此,對于一個(gè)線性交流電路而言,電路各點(diǎn)的響應(yīng)都是與激勵(lì)同頻的正弦量。換言之,一個(gè)正弦量通過線性系統(tǒng)后仍然是一個(gè)頻率不變的正弦量。

(2)從正弦量的本質(zhì)上引出正弦量的相量表示概念。由于正弦量就是一個(gè)圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向以速度ω

旋轉(zhuǎn)的線段在縱軸上的投影大小與時(shí)間的變化關(guān)系,因此,可把這個(gè)線段稱為“旋轉(zhuǎn)相量”。又同頻旋轉(zhuǎn)相量彼此之間的關(guān)系完全取決于初相位而與旋轉(zhuǎn)無關(guān),所以,我們才可以抽掉旋轉(zhuǎn)概念,用只攜帶初相位和有效值(幅值)信息的相量(固定線段)表示變化的正弦量。

至此,可以給出一個(gè)明確的相量定義。

相量：用模和輻角表示正弦量的復(fù)數(shù),在復(fù)平面上可用帶箭頭的線段描述。

正弦量的相量表示可認(rèn)為是對正弦量做了一種從時(shí)間域(時(shí)域)到頻率域(頻域)的變換,簡稱“相量變換”。比如,經(jīng)過相量變換,動(dòng)態(tài)元件顯含時(shí)間變量t的時(shí)域伏安特性就變?yōu)轱@含頻率變量ω

的頻域伏安特性,即

頻率域是后續(xù)“信號與系統(tǒng)”“通信原理”等課程的重要基礎(chǔ)概念,這個(gè)概念告訴我們：

(1)一個(gè)物理信號不但具有與時(shí)間相關(guān)的特性,還具有與頻率相關(guān)的特性。

(2)對信號和電路的分析可分別在時(shí)域和頻域中進(jìn)行。

綜上所述,可得如下結(jié)論：

(1)相量表示法可使同頻交流電之間的大小和初相關(guān)系清晰明了。

(2)相量可按復(fù)數(shù)或向量的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行四則運(yùn)算。

(3)對余弦表達(dá)式,先將其轉(zhuǎn)換為正弦表達(dá)式,再用相量表示可便于計(jì)算。

(4)相量變換的實(shí)質(zhì)是兩種函數(shù)存在空間的相互映射,兩種函數(shù)并不相等。

(5)相量可理解為具有相位的量,向量可理解為具有方向的量。它們的本質(zhì)區(qū)別在于,相量輻角體現(xiàn)的是正弦量的起始時(shí)刻而不是向量輻角所指示的空間方向。

4.5相量的運(yùn)算特性

若把電感和電容的VCR代入式(4.5-2)和式(4.5-3),就會得到如下結(jié)論：

相量變換可將動(dòng)態(tài)元件伏安關(guān)系的時(shí)域微積分形式轉(zhuǎn)換為頻域乘除形式。

或者說,相量變換可以把正弦信號的時(shí)域分析轉(zhuǎn)換為頻域分析,這個(gè)概念與“信號與系統(tǒng)”中傅氏級數(shù)和傅氏變換的概念一脈相承。因此,微積分運(yùn)算特性是相量變換的精髓。

4.6相

量

分

析

法

將上述相量的運(yùn)算特性用于交流電路數(shù)學(xué)模型(微分方程)的求解,也就是交流電路的分析中,就形成了一種簡便的交流電路分析方法———相量分析法。

相量分析法：基于相量及其運(yùn)算特性的交流電路分析方法。

應(yīng)用該方法分析電路需滿足：

(1)基本電路變量(電流和電壓)以相量形式出現(xiàn),即激勵(lì)和響應(yīng)都是相量。

(2)電路模型是反映激勵(lì)相量與響應(yīng)相量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

4.7電路定律及元件VCR的相量形式

因?yàn)殡娮枋羌磿r(shí)、非記憶元件,所以,其端電壓與流過的電流同相,即φu=φi,它們的時(shí)域波形如圖4-4(b)所示,相量關(guān)系如圖4-4(c)所示。

由于電阻對交、直流電流的阻礙特性一樣,因此其直流電路模型和交流時(shí)域電路模型、頻域電路模型的VCR均為歐姆定律形式,也可以說,電阻的時(shí)域電路模型與頻域電路模型的VCR一樣。

圖4-4電阻模型和VCR圖

2.電感元件

顯然,在交流電路中,由于動(dòng)態(tài)特性的存在,電感模型具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

(1)對電流有像電阻一樣的阻礙作用,阻礙作用由感抗XL

表示。XL=ωL

的大小不僅與電感量L

有關(guān),還與通過電感的電流頻率ω

有關(guān)。當(dāng)電感量L給定時(shí),感抗與頻率的變化成正比,即頻率越高,感抗就越大,對電流的阻礙作用也越大;頻率越低,感抗就越小,對電流的阻礙作用也越小。當(dāng)頻率為零時(shí),電流是直流,此時(shí)感抗為零,表明電感等同于導(dǎo)線(短路),這就是電感“通直流”的原理。

(2)端電壓超前電流90°(移相90°),移相作用由虛數(shù)單位“j”體現(xiàn)。

據(jù)此,我們認(rèn)為電感“電壓超前電流90°,感抗與頻率成正比”的“頻率特性”是其廣為應(yīng)用的“奧秘”之一。

注意：電感雖然對電流有阻礙作用,但卻不是耗能元件。

圖4-5電感模型和VCR圖

為與電阻、電感在形式上統(tǒng)一,把式(4.7-9)改寫為

這樣,電容的頻域電路模型也如圖4-6(a)所示。可見,電容的時(shí)域電路模型與頻域電路模型不一樣。

為了便于描述電容對交流電流的阻礙作用,定義：

容抗：電容電壓與電流的幅值或有效值之比,用

XC

表示,即

式中,當(dāng)電容量C

的單位是法拉(F),ω

的單位是rad/s時(shí),容抗的單位是歐姆(Ω)。

圖4-6電容模型和VCR圖

(2)端電壓滯后電流90°(移相-90°),移相作用由“-j”體現(xiàn)。

據(jù)此,我們認(rèn)為電容“電壓滯后電流90°,容抗與頻率成反比”的“頻率特性”是其廣為應(yīng)用的“奧秘”之一。

注意：電容雖然對電流有阻礙作用,但卻不是耗能元件。

為幫助讀者理解和記憶,表4-1給出了R、L、C元件電流相量與電壓相量的關(guān)系。

4.7.3阻抗

我們已經(jīng)知道,電阻、電感和電容元件對交流電的阻礙作用分別由電阻、感抗和容抗體現(xiàn),而在實(shí)際工作中存在以下兩種情況：

(1)在高頻應(yīng)用中,某一種元件同時(shí)還具有其他兩種元件的特性,比如一個(gè)電阻同時(shí)具有一定的感抗和容抗,一個(gè)電感或電容也同時(shí)具有電阻和電容或電阻和電感特性,這時(shí)的R、L、C

已經(jīng)不是一個(gè)集中參數(shù)元件,而是分布參數(shù)元件了。

(2)在低頻應(yīng)用中,經(jīng)常需要將R、L、C三種元件結(jié)合使用,比如串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián),一般的交流電路就是由若干個(gè)這樣的連接構(gòu)成的。

上述兩種情況引出一個(gè)共同問題：如何將R、L、C

三種元件對交流電的作用統(tǒng)一考慮?換句話說,能否找到一個(gè)既包含電阻又包含感抗和容抗的物理量或復(fù)合元件模型來分析交流電路?回答是肯定的,這個(gè)物理量或復(fù)合元件就是“阻抗”。

1.阻抗的概念

當(dāng)R、L、C三種元件串聯(lián)形成一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)時(shí),其阻抗(頻域)模型及相量圖見圖4-7。

因?yàn)槿齻€(gè)元件的電流相同,電壓不同,所以根據(jù)相量圖和相量運(yùn)算規(guī)則,可得

圖4-7RLC串聯(lián)模型及相量圖

關(guān)于電抗需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)電抗X

不但可以用模

X

表示其對電流阻礙作用的大小,還可以通過正/負(fù)號說明其性質(zhì),即“+X”表示電抗為感性,“-X”表示電抗為容性。

(2)電抗

X=XL-XC

中的“-”表明容抗與感抗反相,可相互抵消。也就是說,可以通過改變?nèi)菘够蚋锌沟拇笮∵_(dá)到減小電抗或使電抗為零(諧振狀態(tài))的目的。

(3)電抗只適用于交流電路。直流電路只有電阻,沒有電抗。

根據(jù)式(4.7-14),有

顯然,該式與我們熟悉的歐姆定律U=RI很相似,因此,式(4.7-15)可稱為“相量歐姆定律”。

也許有人會問,用相量法分析交流電路時(shí),電壓、電流和阻抗都是復(fù)數(shù),為什么電壓和電流用帶圓點(diǎn)的字母“?U”和“?I”表示,而阻抗卻用不帶點(diǎn)的字母“Z”表示?答案是這樣的：電壓和電流的符號上加圓點(diǎn),表明它們是相量,是用復(fù)數(shù)表示的正弦量,對應(yīng)的是隨時(shí)間變化的時(shí)域函數(shù),而阻抗Z僅僅是一個(gè)復(fù)數(shù),自然不能用相量形式表示。

阻抗也可表示為極坐標(biāo)形式,即

這樣,就得到阻抗的模、輻角與電壓和電流的關(guān)系：

式(4.7-20)和式(4.7-21)表明：

在交流電激勵(lì)下,一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò)的端電壓與端電流的有效值之比就是該網(wǎng)絡(luò)的阻抗模,而端電壓與端電流的相位差就是該網(wǎng)絡(luò)的阻抗角。

據(jù)此,可畫出阻抗網(wǎng)絡(luò)的示意圖,如圖4-8所示,其中圖4-8(b)中的三角形稱為“阻抗三角形”。

圖4-8復(fù)數(shù)阻抗的定義及阻抗實(shí)部虛部之間的關(guān)系圖

(4)當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)包含電阻、電感和電容時(shí),Z=R+j(XL-XC),-90°<φZ<90°：

①

若φZ=0,電壓與電流同相,則阻抗為電阻。

②

若0<φZ<90°,電壓超前電流,則阻抗為感性。

③

若-90°<φZ<0,電壓滯后電流,則阻抗為容性。

圖4-9阻抗外特性示意圖

3.阻抗的濾波特性

阻抗具有以下3種常見的濾波特性：

(1)低通特性。根據(jù)感抗定義XL=ωL,可知電感對交流電流的阻礙作用不僅與電感量有關(guān),還與交流電流的頻率有關(guān)。當(dāng)電感量給定時(shí),頻率越高,感抗就越大,對電流的阻礙作用也越大。該特性常用于對信號進(jìn)行“低通濾波”處理,即讓電流信號的低頻分量通過電感,但阻止高頻分量通過。簡言之,電感具有“通低頻電流,阻高頻電流”的濾波作用。

綜上所述,可得如下結(jié)論：

(1)阻抗Z

是一個(gè)復(fù)數(shù),由電阻和電抗兩部分組成。電阻構(gòu)成實(shí)部(電阻),電感、電容構(gòu)成虛部(電抗)。實(shí)部不但阻礙交/直流電流通過,還要消耗電能,而虛部只阻礙交流電流通過,不消耗電能。

(2)阻抗不是真實(shí)元件,只是人們?yōu)楸阌诜治鲭娐范鴺?gòu)造出來的一個(gè)能對三種元件特性進(jìn)行統(tǒng)一描述的物理模型,可看作一個(gè)“虛擬復(fù)合元件”,用電阻的電路模型表示。簡言之,阻抗具有“元件虛,功能實(shí)”的特點(diǎn)。

(3)阻抗的大小與頻率有關(guān),它既阻礙電流通過,又對激勵(lì)進(jìn)行移相和濾波。

4.7.4導(dǎo)納

1.導(dǎo)納的概念

當(dāng)R、L、C

三種元件并聯(lián)形成一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)時(shí),其導(dǎo)納(頻域)模型及相量圖見圖4-10。圖4-10-RLC并聯(lián)模型及相量圖

式(4.7-27)表明：

在交流電激勵(lì)下,一個(gè)無源二端網(wǎng)絡(luò)的端電流與端電壓的有效值之比就是該網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納模,而端電流與端電壓的相位差就是該網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納角。

據(jù)此,可畫出導(dǎo)納網(wǎng)絡(luò)的示意圖,如圖4-11所示,其中圖4-11(b)中的三角形稱為“導(dǎo)納三角形”。

圖4-11復(fù)數(shù)導(dǎo)納的定義及導(dǎo)納實(shí)部虛部之間的關(guān)系圖

(4)當(dāng)二端網(wǎng)絡(luò)包含電阻、電感和電容時(shí),Y=G+j(BC-BL),-90°<φY<90°：

①

若φY=0,電流與電壓同相,則導(dǎo)納為電導(dǎo)。

②

若0<φY<90°,電流超前電壓,則導(dǎo)納為容性。

③

若-90°<φY<0,電流滯后電壓,則導(dǎo)納為感性。

導(dǎo)納的外部特性圖與阻抗的外部特性圖(圖4-9)類似。

3.導(dǎo)納的濾波特性

根據(jù)對偶特性,導(dǎo)納具有與阻抗類似的濾波特性,這里不再贅述。

綜上所述,只要把直流電壓和電流用電壓相量和電流相量表示,電阻和電導(dǎo)用阻抗和導(dǎo)納替換,電阻、電感和電容的交流電路分析方法就與前面介紹的電阻電路類似,而這正是用相量法分析交流電路的好處。

注意：實(shí)際應(yīng)用中,很少采用導(dǎo)納。

為便于理解和記憶,表4-2給出了串聯(lián)電路與并聯(lián)電路及阻抗與導(dǎo)納的對偶關(guān)系。

【例4-3】

如圖4-12(a)所示電路中,已知uS(t)=10sin2tV,R=2Ω,L=2-H,C=0.25F,求電流i(t)和uR

、uL

、uC,并畫出相量圖。圖4-12例4-3圖

圖4-13例4-3相量圖

【例4-4】

如圖4-14(a)所示電路中,已知

i-(t)=3sin2tA,R=1Ω,L=2H,C=0.5F,求電壓u(t)。圖4-14例4-4圖

圖4-15例4-5圖

4.8交流電路的功率

根據(jù)第2章內(nèi)容可知,一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)在端電壓u(t)和電流i(t)取關(guān)聯(lián)方向的前提下,若功率p(t)=u(t)i(t)為正值,則表明該網(wǎng)絡(luò)吸收(消耗)能量(功率)且一般是無源的;若p(t)=u(t)i(t)為負(fù)值,則表明該網(wǎng)絡(luò)輸出能量(功率)且含源。此處的p(t)是時(shí)間的函數(shù),稱為瞬時(shí)功率。

令該網(wǎng)絡(luò)阻抗角φZ=φu-φi(阻抗角大小由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及信號頻率決定),則上式可變?yōu)?/p>

式(4.8-1)就是二端網(wǎng)絡(luò)N在正弦穩(wěn)態(tài)下的瞬時(shí)功率,其時(shí)域波形如圖4-16(b)所示。

圖4-16無源二端網(wǎng)絡(luò)及其瞬時(shí)功率

可見,瞬時(shí)功率p(t)隨時(shí)間t的變化而變化且在一個(gè)周期內(nèi)可正、可負(fù)、可為零。這說明,二端網(wǎng)絡(luò)有時(shí)吸收或消耗能量(功率),有時(shí)釋放或供出能量(功率),有時(shí)不消耗能量(功率)。顯然,用p(t)難以說明二端網(wǎng)絡(luò)的用電問題。為此,人們提出了平均功率的概念。

平均功率：二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值,用大寫字母“P”表示,即

式(4.8-2)表明,平均功率不僅與電壓、電流有關(guān),還與二端網(wǎng)絡(luò)的阻抗角有關(guān)。

為便于后面的分析,用φ

表示阻抗角φZ,這樣,式(4.8-2)就變?yōu)?/p>

式中：cosφ為二端網(wǎng)絡(luò)的“功率因數(shù)”,用符號“λ”表示;φ

稱為“功率因數(shù)角”。

由于平均功率可以說明二端網(wǎng)絡(luò)的實(shí)際做功情況,因此又稱為“有功功率”,單位為“瓦(W)”。通常,交流電路中的“功率”均指有功功率。

若功率因數(shù)角在-90°~90°之間變化,則功率因數(shù)就在0~1之間變化。若電壓和電流不變,則功率因數(shù)越小,有功功率越小;功率因數(shù)越接近于1,有功功率越大。

因?yàn)棣?cosφ=cosφZ,所以,二端網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)由其阻抗角決定：

(1)若φZ>0,則二端網(wǎng)絡(luò)為感性且端電壓超前端電流,是“超前”網(wǎng)絡(luò);

(2)若φZ<0,則二端網(wǎng)絡(luò)為容性且端電壓滯后端電流,是“滯后”網(wǎng)絡(luò);

(3)若φZ=0,則二端網(wǎng)絡(luò)為阻性且端電壓與端電流同相,是“同相”網(wǎng)絡(luò)。

若二端網(wǎng)絡(luò)中含有n個(gè)元件,則該網(wǎng)絡(luò)總有功功率必然等于各元件有功功率之和,即

式(4.8-4)表明,有功功率是守恒的(體現(xiàn)了能量守恒)。

圖4-17-例4-6電路圖

4.8.2視在功率和無功功率

為衡量二端網(wǎng)絡(luò)或設(shè)備的容量(可能發(fā)出或消耗的最大功率),定義：

視在功率：二端網(wǎng)絡(luò)的電壓有效值與電流有效值之積,用大寫字母“S”表示,即

為區(qū)別于有功功率P,規(guī)定視在功率S的單位為“伏安(VA)”。

根據(jù)式(4.8-5),式(4.8-3)可變?yōu)?/p>

對式(4.8-6)變形,可得功率因數(shù)的定義：

功率因數(shù)：二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率與視在功率之比,即

顯然,因?yàn)棣?cosφ≤1,所以P≤S。

在發(fā)電設(shè)備或電力傳輸系統(tǒng)中,當(dāng)電源給定時(shí),對于負(fù)載而言,若P=S,則說明負(fù)載為阻性,有功功率達(dá)到最大值(自身的容量或電源的容量),這屬于理想的用電情況;若P<S,則說明負(fù)載為感性或容性,有功功率小于容量,即電源釋放的功率沒有被負(fù)載全部消耗,沒被消耗的這部分功率又返回了電源,這是因?yàn)樨?fù)載中的電感或電容不消耗能量,只與電源不斷地進(jìn)行能量交換,一會兒吸收能量,一會兒又釋放能量。為描述能量交換規(guī)模,定義：

無功功率：負(fù)載與電源互相交換的功率,用字母“Q”表示,單位為“乏(var)”,即

圖4-18無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率示意圖及功率三角形

下面分析電感L

和電容C

的功率及儲能情況。

1.電感的功率和儲能

電感存儲的磁能量平均值為

根據(jù)式(4.8-11)~式(4.8-13),可得電感的瞬時(shí)功率及能量波形如圖4-19所示。

圖4-19電感器的功率和能量波形圖

從式(4.8-11)可見,瞬時(shí)功率的幅值為UI,該值可以描述電感與電源(外電路)進(jìn)行能量交換的規(guī)模大小,稱為電感的無功功率,用符號“QL”表示,即

將式(4.8-13)代入式(4.8-14),可得

該式表明,電感的無功功率等于其儲能平均值的2ω

倍。

2.電容的功率和儲能

根據(jù)式(1.4-23),可得電容存儲的電能量為

電容存儲的電能量平均值為

根據(jù)式(4.8-16)~式(4.8-18),可得電容的瞬時(shí)功率及能量波形如圖4-20所示。

圖4-20電容器的功率和能量波形圖

可見,當(dāng)瞬時(shí)功率為正時(shí),能量流入電容,電容的儲能增加;當(dāng)瞬時(shí)功率為負(fù)時(shí),能量流出電容,電容的儲能減少。即在交流源供電時(shí),電容與電源之間存在能量交換現(xiàn)象。另外,電容吸收的能量以2ω

的頻率圍繞其平均值WC

上下波動(dòng)且任何時(shí)刻都大于或等于零。

與電感類似,也把瞬時(shí)功率的幅值-UI定義為電容的無功功率并用符號“QC”表示,用來描述電容與電源(外電路)進(jìn)行能量交換的規(guī)模大小,即

將式(4.8-18)代入式(4.8-19)可得

該式表明,電容的無功功率等于其儲能平均值的2ω倍。

比較式(4.8-14)和式(4.8-19),我們發(fā)現(xiàn)電感與電容的無功功率符號相反,這說明二者儲能的性質(zhì)不同,電感存儲磁能,無功功率為正,電容存儲電能,無功功率為負(fù)。

若電感與電容串聯(lián),通過它們的電流相同,則根據(jù)圖4-19和圖4-20可得它們的能量關(guān)系圖如圖4-21所示(假設(shè)WL=WC)。

圖4-21電感電容串聯(lián)能量關(guān)系圖

可見,電感與電容之間的能量交換具有如下特點(diǎn)：

(1)“此消彼長”,一個(gè)增大,另一個(gè)就減小;

(2)“你出我入”,一個(gè)輸出,另一個(gè)就輸入;

(3)“電磁交換”,電感的磁能會轉(zhuǎn)換為電容的電能,電容的電能會轉(zhuǎn)換為電感的磁能;

(4)如果磁能與電能不相等,它們的差值才會與電源(外電路)進(jìn)行能量交換。

可以證明,電感與電容并聯(lián)電路的能量交換特點(diǎn)也是如此。

圖4-22例4-7電路圖

圖4-23例4-8電路圖

4.8.3復(fù)功率

圖4-24最大功率傳輸及例4-9電路圖

【例4-9】

在圖4-24(b)所示電路中,負(fù)載有兩種情況：(1)ZL=RL

為可變電阻;(2)ZL=RL+jXL

為可變阻抗(此處的

XL

指負(fù)載電抗而不是電感感抗)。討論負(fù)載分別為何值時(shí)可獲得最大功率,并求最大功率值。

4.9諧

振

4.9.1RLC串聯(lián)電路的諧振諧振電路至少要包含電感和電容兩種元件。將

R、L、C三個(gè)元件串聯(lián)起來就構(gòu)成了一個(gè)RLC

串聯(lián)電路,如圖4-25(a)所示。

圖4-25RLC串聯(lián)諧振示意圖

我們知道,在正弦電壓源的激勵(lì)下,串聯(lián)電路的等效阻抗為

顯然,阻抗Z

可以是角頻率ω

或頻率f

的函數(shù)(ω=2πf)。因?yàn)?/p>

X=XL-XC,所以,一定會有一個(gè)角頻率值使得感抗等于容抗,即電抗

X

為零,從而使阻抗Z變?yōu)殡娮琛?/p>

1.頻率特性

因?yàn)樽杩故穷l率的函數(shù),所以當(dāng)電壓源的頻率發(fā)生變化時(shí),阻抗模、阻抗角、電流等都會隨著頻率的變化而變化,它們與頻率之間的關(guān)系稱為“頻率特性”。

根據(jù)式(4.9-1)可得串聯(lián)電路的阻抗模、阻抗角和電流有效值分別為

2.電壓諧振

這樣,電路發(fā)生諧振時(shí)電感電壓和電容電壓分別為

通過分析,可得如下結(jié)論：

(1)品質(zhì)因數(shù)

Q

可以改變諧振曲線形狀,Q

值越大,諧振曲線越尖銳,反之,諧振曲線越扁平,見圖4-26(a)。這意味著在諧振頻率附近的電源電壓可以得到較大的“放大量”,并通過電感或電容電壓輸出,而遠(yuǎn)離諧振頻率的電源電壓會被迅速衰減,這說明諧振電路具有“選頻特性”,Q

值越大,選頻特性越好,電感或電容輸出的電壓越大,電路的“品質(zhì)”越好(這就是

Q

稱為品質(zhì)因數(shù)的原因)。據(jù)此,諧振曲線也可稱為選頻曲線。

(2)調(diào)節(jié)電感L或電容C

的大小(通常調(diào)節(jié)C)可以改變諧振頻率(諧振曲線的中心頻率),使諧振曲線在橫軸上左右平移,這個(gè)特性稱為“調(diào)諧特性”。

(3)利用調(diào)諧特性可以改變諧振曲線在頻率軸上的位置。利用選頻特性可選擇某一頻率及其附近頻率的交流電壓信號進(jìn)行“放大”,而將其他頻率信號“濾除”,選頻的實(shí)質(zhì)就是“濾波”,意指可以“濾除”不需要的頻率信號或“濾取”需要的頻率信號。

注意：若Q

值很大,則在諧振或接近諧振時(shí),電感和電容上會產(chǎn)生比電源電壓高得多的端電壓,可能會損壞電感或電容,因此,在電力傳輸系統(tǒng)中要盡量避免產(chǎn)生諧振現(xiàn)象。

諧振曲線也可反映電流與品質(zhì)因數(shù)的關(guān)系。根據(jù)式(4.9-5),有

圖4-26諧振曲線與品質(zhì)因數(shù)、通頻帶及電感與電容電壓曲線

下面從能量交換的角度分析串聯(lián)諧振的基本原理。

電路發(fā)生諧振時(shí),電感和電容吸收的無功功率分別為

因?yàn)閁L=UC,所以QL+QC=0,但顯然QL和QC

均不等于零,這說明電路諧振過程中,電感和電容不從電源吸收無功功率,電路的功率因數(shù)等于1(阻抗為純阻),電感與電容之間周期性地進(jìn)行磁場能量和電場能量的交換,一會兒電感釋放磁能給電容充電,一會兒電容又釋放電能給電感充磁,即出現(xiàn)“電磁振蕩”現(xiàn)象。

顯然,磁場能量和電場能量都在不斷變化,但此消彼長,總和保持不變,即

式中,i0-是電路發(fā)生諧振時(shí)電流(電感電流)的瞬時(shí)值,uC

是電路發(fā)生諧振時(shí)電容電壓的瞬時(shí)值。

綜上所述,串聯(lián)諧振電路具有如下主要特性：

(1)電路阻抗為純電阻。

(2)電路端電壓和端電流同相。

(3)電感電壓和電容電壓相等但反相,其大小均為電源電壓的

Q

倍。

(4)諧振曲線具有調(diào)諧特性,或者說,諧振曲線具有移動(dòng)帶通濾波特性。

(5)串聯(lián)諧振本質(zhì)上是一種電磁振蕩現(xiàn)象。

4.9.2-RLC并聯(lián)電路的諧振

圖4-27(a)給出的RLC

并聯(lián)電路在正弦電流源的激勵(lì)下也會出現(xiàn)諧振現(xiàn)象。圖4-27-RLC并聯(lián)諧振示意圖

根據(jù)對偶原理,可以得到如下結(jié)論：

(1)電路導(dǎo)納為

(2)諧振條件為電納B=0,即

(3)諧振頻率為

(6)品質(zhì)因數(shù)為

(7)電路發(fā)生諧振時(shí),有

電流有效值滿足

(8)諧振頻率特性及相量圖見圖4-27(b)、(c)。

(4)電感電流和電容電流大小相等且均為電源電流的

Q

倍,相位相反。因此,并聯(lián)諧振也可稱為“電流諧振”。

(5)諧振曲線也具有調(diào)諧特性或移動(dòng)帶通濾波特性。

(6)電感和電容之間不斷地進(jìn)行能量交換,不從電源吸取無功功率,整個(gè)電路的功率因數(shù)為1,電流源僅提供能量供電阻消耗,以維持電磁振蕩。

【例4-10】

當(dāng)ω=5000rad/s時(shí),圖4-28所示RLC電路發(fā)生諧振。已知R=5Ω,L=400mH,端電壓U=1V,求電容C的值及電路中的電流和各元件電壓的瞬時(shí)表達(dá)式。圖4-28-例4-10圖

【例4-11】

求圖4-29所示電路發(fā)生諧振時(shí)端電壓u的角頻率。圖4-29-例4-11圖

【例4-12】

判斷圖4-30中哪個(gè)電路能發(fā)生諧振,如果能發(fā)生諧振,求出諧振頻率。圖4-30-例4-12圖

【例4-13】

在圖4-31(a)所示電路中,R=10Ω,L=1H,端電壓為100V,電流為10A,電源頻率為50Hz。若把R、L、C

改為并聯(lián),端電壓源不變,如圖4-31(b)所示,求并聯(lián)各支路的電流。圖4-31例4-13圖

圖4-32-例4-14圖

4.10互

感

電

路

4.10.1互感的基本概念

耦合：利用某種連接元件或連接方式進(jìn)行兩個(gè)電路或系統(tǒng)之間的能量或信息的傳遞。更一般地說,耦合就是對兩個(gè)系統(tǒng)相互影響性的一個(gè)量度。

“耦合”一詞在電子工程、通信工程、軟件工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域都會出現(xiàn),其概念示意圖見圖4-33(a)

圖4-33耦合概念與互感原理示意圖

在電子及通信領(lǐng)域,常見的耦合有電耦合、磁耦合和光耦合三種形式。利用電流(電壓)進(jìn)行的耦合稱為“電耦合”,比如兩級放大器之間利用電容或電阻將前級信號傳遞到下一級;利用磁場進(jìn)行的耦合稱為“磁耦合”,比如變壓器將電能從電源傳遞到負(fù)載;利用光波進(jìn)行的耦合被稱為“光耦合”,比如用光耦合器傳遞電信號。據(jù)此,可以定義：

互感：兩個(gè)通電線圈通過磁場相互作用或耦合電能量的物理現(xiàn)象。

也有人說,互感是一個(gè)電感引發(fā)其附近電感端電壓的能力。

為便于分析,將圖4-33(b)的實(shí)物圖抽象為電路模型也就是互感(耦合)元件模型如圖4-34(a)所示。

式(4.10-7)和式(4.10-8)稱為互感元件的伏安關(guān)系。它們表明,互感元件也是一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,每個(gè)線圈上的電壓大小只與電流(包括本線圈電流和另一個(gè)線圈的電流)的變化率有關(guān),而與電流本身的大小無關(guān)。如果施加的電流是不變化的(直流電流),那么,雖然線圈中也產(chǎn)生自感磁鏈和互感磁鏈,但不會產(chǎn)生自感電壓和互感電壓。換句話說,產(chǎn)生“磁耦合”現(xiàn)象的前提是“電變化”,即線圈中的電流必須是隨時(shí)間變化的。

4.10.2互感的相量模型

根據(jù)相量概念,可以將圖4-34(a)所示的互感時(shí)域電路模型轉(zhuǎn)化為互感相量域電路模型,如圖4-34(b)所示?？梢?與電感不同,互感是一種雙端口元件。

圖4-34互感元件的時(shí)域和相量域電路模型圖

4.10.3互感的去耦合等效

1.互感串聯(lián)的去耦合等效

互感串聯(lián)有兩種情況：異名端相聯(lián),稱為“順接”;同名端相聯(lián),稱為“反接”。

同向電流起加強(qiáng)互感作用(順串),反向電流起抵消互感作用(反串)。

2.互感并聯(lián)的去耦合等效

互感并聯(lián)有兩種情況：同名端相聯(lián),稱為“順接”;異名端相聯(lián),稱為“反接”。

對如圖4-36(a)所示的順接并聯(lián)互感,由KCL和互感概念可得

聯(lián)立以上三式可求得

圖4-36互感元件的并聯(lián)等效示意圖

3.互感的

Y形去耦合等效

把四端互感元件的兩個(gè)端鈕連接起來就變成了三端元件。根據(jù)連接方式的不同,也分為同名端相聯(lián)和