高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市福九聯(lián)盟2025屆高三5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合M={x∣lnx<0}，N=x∣x≤1A．-1,1 B．0,1 C．0,1 D．-【答案】B【解析】M={x∣lnx<0}=x|0<x<1所以M∩N=0,1故選：B2．已知向量a，b滿足a+b=2,3，a-A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)閍+b=兩式相加得2a=0,4，即a所以a2故選：A3．已知tanα=3，則sinπ2+αA．-910 B．-310 C．【答案】C【解析】sinπ故選：C.4．若a,b∈R，則ab(a-b)>0的一個(gè)充要條件是（

A．a(chǎn)<0<b B．b<a<0C．a(chǎn)>b>0 D．1【答案】D【解析】∵ab(a-b)>0?ab>0a-b>0或ab<0a-b<0?a>b>0或b<a<0又ab(a-b)>0?a2b-ab2>0∴ab(a-b)>0的一個(gè)充要條件是1a故選：D．5．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A．16 B．13 C．12【答案】D【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C7若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：2,4,2,6,故所求概率P=21-7故選：D.6．元宵節(jié)是春節(jié)之后的第一個(gè)重要節(jié)日，元宵節(jié)又稱燈節(jié)，很多地區(qū)家家戶戶都掛花燈．下圖是小明為自家設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為40cm和20cm，正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為10cm和60cm，則該花燈的體積為（

）A．460003cm3C．500003cm3【答案】C【解析】依題意，花燈的體積等于上面的正六棱臺(tái)體積與下面的正六棱柱體積的和，正六棱臺(tái)的兩個(gè)底面積分別為S1=6×3所以花燈的體積V=60=500003故選：C7．設(shè)橢圓C:x249+y224=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，A為∠F1A．247 B．2427 C．32【答案】B【解析】依題意，a=7，c=49-24解法一：不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限，設(shè)PF1=m，PF2=n因?yàn)镻F1?PF2由①②解得：m=8，n=6.因?yàn)镻A平分∠F1PF2所以S△PAF2故24×6?PA解法二：不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限，設(shè)PF1=m，PF2=n因?yàn)镻F1?PF2由①②解得：m=8，n=6.由S△PAF1所以PA=故選：B.8．已知可導(dǎo)函數(shù)fx是定義在-π2,π2上的奇函數(shù)．當(dāng)x∈0,A．-π2,-π6 B．-π【答案】D【解析】當(dāng)x∈0,π2時(shí)，則函數(shù)sinxfx在0,π2上單調(diào)遞增，又可導(dǎo)函數(shù)則sinxfx是-π由-π2<x+π2<則x∈-π可化為sin又由函數(shù)sinxfx在0,π2上單調(diào)遞增，且則有π2>x+故選：D二、多選題9．設(shè)z1,z2,zA．若z2=B．若z1zC．若z2=D．若z1z【答案】BC【解析】由復(fù)數(shù)模的概念可知，z2=z例如z2=1+i由z1z2=z1z3可得z1因?yàn)閦1z2=z1z2,取z1=1+i,z2=1-i故選：BC10．已知A(-3,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|CA|=2|CB|，記C的軌跡為Γ.過A的直線與Γ交于P，Q兩點(diǎn)，直線BP與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為M，則(A．Q，M關(guān)于x軸對(duì)稱 B．△PABC．當(dāng)∠PMQ=45°時(shí)，|PQ|=42 D．直線AC的斜率的范圍為【答案】AC【解析】設(shè)C(x,y)，由|CA|=2|CB|得，(x+3)2整理得Γ的方程為(x-5)2+y2=16由圖可知，由于AB=6，所以當(dāng)DP垂直x時(shí)，即DP=r時(shí)，△PAB的面積的最大值，所以(S△PAB)因?yàn)閨PA|=2|PB|,|MA|=2|MB|，所以|PA||MA|=|PB|又軌跡Γ的軌跡關(guān)于x軸對(duì)稱，所以Q,M關(guān)于x軸對(duì)稱，選項(xiàng)A正確；當(dāng)∠PMQ=45°時(shí)，∠PDQ=45°×2=90°，則△DPQ為等腰直角三角形，|PQ|=2r=42當(dāng)直線AC與圓D相切時(shí)，CD⊥AC，此時(shí)|AD|=8=2r=2|CD|，所以sin∠DAC=12，所以切線AC的傾斜角為30°由圖可知，可得直線AC的斜率的取值范圍為[-33,3故選：AC11．若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則定義ΔX=M-m.據(jù)此，下列命題中不正確的是（A．若X=-1,1，Y=0,b，且ΔB．若X=xfx≥gx,x∈C．若X=a,a+2，Y=yy=xD．若X=a,a+2，Y=b,b+3，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，由X=-1,1，Y=0,b，可得ΔX=2，ΔY=b，因?yàn)棣B選項(xiàng)，例如：fx=x，gx=1，滿足ΔX=2C選項(xiàng)，由X=a,a+2，Y=當(dāng)a+2≤0，即a≤-2時(shí)，ΔY當(dāng)-2<a≤-1時(shí)，可得ΔY當(dāng)-1<a<0時(shí)，可得ΔY當(dāng)a≥0時(shí)，可得ΔY=a+22-a2D選項(xiàng)，由X=a,a+2，Y=b,b+3，取b=a，可得ΔX∪Y=Δa,a+3=3，對(duì)任意實(shí)數(shù)故選：ABC.三、填空題12．已知二項(xiàng)式(3x+1x)【答案】28【解析】∵各項(xiàng)系數(shù)和為256，令x=1得2n=256該二次展開式中的第r+1項(xiàng)為T令8-4r3=0，得r=2故答案為：28.13．曲線y=ex-1與y=ln【答案】ex-y-1=0或x-y=0【解析】（方法一）設(shè)fx=ex-1，gx=lnx+1.公切線與fx相切于點(diǎn)m,em-1，與g整理得y=emx-所以em=1所以m-1em+1-m=m-1e所以公切線方程為ex-y-1=0或x-y=0（方法二）由曲線y=ex與直線y=x+1相切知，曲線y=ex-1與直線y=x相切.由曲線y=lnx與直線y=x-1相切知，曲線y=lnx+1與直線y=x相切故答案為：ex-y-1=0或x-y=0.14．如圖，已知Rt△SAB是圓錐SO的軸截面，C，D分別為SA，SB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C且與直線SA垂直的平面截圓錐，截口曲線Γ是拋物線的一部分.若P在Γ上，則DPDC的最大值為【答案】6【解析】過點(diǎn)O作EF⊥AB，交底面圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接SO，DO，CO，設(shè)SA=SB=2，則DC=12AB=2，所以當(dāng)由圓錐的性質(zhì)得SO⊥底面AEBF，因?yàn)镋F?底面AEBF，所以SO⊥EF，又SO∩AB=O，且SO，AB?平面SAB，所以EF⊥平面SAB，因?yàn)镾A?平面SAB，所以SA⊥EF，因?yàn)镃，O分別是SA，AB的中點(diǎn)，所以CO∥SB，又SB⊥SA，則因?yàn)镃O∩EF=O，且CO，EF?平面CEF，所以SA⊥平面CEF，則平面CEF為截面，因?yàn)镈，O為SB，AB中點(diǎn)，所以O(shè)D∥SA，所以O(shè)D⊥平面CEF，因?yàn)镺P?平面所以O(shè)D⊥OP，所以DP=O則當(dāng)OP最大時(shí)，DP最大.如圖為截面的平面圖，以C為原點(diǎn)，CO為x軸，過點(diǎn)C垂直CO向上的方向?yàn)閥軸正方向建系，CO=1，OE=OF=2，O1,0，F(xiàn)1,設(shè)Pa22則OP=所以O(shè)Pmax=2，則此時(shí)DP=故答案為：6四、解答題15．如圖，在多面體ABCDPQ中，AB⊥平面PAD，平面PDC∩平面PAB=PQ，AB//CD，PO⊥AD于點(diǎn)（1）求證：CD//（2）設(shè)AB=DO=4OA=4，CD=PQ=PO=2，求直線PA與平面QBC所成角的正弦值．（1）證明：如圖，因?yàn)锳B//CD，CD?平面ABQP，AB?平面所以CD//平面ABQP又因?yàn)镃D?平面CDPQ，平面CDPQ∩平面ABQP=PQ，所以CD//（2）解：在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)O作Oy//因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以O(shè)y⊥平面PAD，因OP?平面PAD，OD?平面PAD，所以O(shè)y⊥OP，Oy⊥OD，因AB⊥平面PAD，AB?平面ABCD，則平面PAD⊥平面ABCD，又因?yàn)镻O⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，則PO⊥平面所以O(shè)D，Oy，OP兩兩互相垂直．以O(shè)為原點(diǎn)，OD，Oy，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O0,0,0，A-1,0,0，D4,0,0B-1,4,0，P0,0,2，BC=由題意，得CQ=設(shè)平面QBC的法向量為m=則m?CQ=0令x=2，則y=5，z=4，于是m=所以cosm故直線PA與平面QBC所成角的正弦值為2316．在平面四邊形ABCD中（B,D在AC的兩側(cè)），AD=CD=1,∠ADC=120（1）若∠DAB=90°,BC=（2）若AB=2BC，求四邊形ABCD的面積的最大值.解：（1）在△DAC中，由余弦定理得AC2即AC=因?yàn)锳D=CD=1，∠ADC=又∠DAB=90°，所以在△ABC中，由正弦定理得ACsin所以sin∠ABC=又BC=322>（2）設(shè)BC=m(m>0)，所以BA在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC=所以△ABC的面積S=1所以Smax=1，此時(shí)又△DAC的面積S△DAC所以四邊形ABCD的面積的最大值為S17．脂肪含量（單位：%）指的是脂肪重量占人體總重量的比例．某運(yùn)動(dòng)生理學(xué)家在對(duì)某項(xiàng)健身活動(dòng)參與人群的脂肪含量調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男性120位，其平均數(shù)和方差分別為14和6，抽取了女性90位，其平均數(shù)和方差分別為21和17．（1）試由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的均值與方差，并對(duì)該項(xiàng)健身活動(dòng)的全體參與者的脂肪含量的均值與方差作出估計(jì)．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）假設(shè)全體參與者的脂肪含量為隨機(jī)變量X，且X~N（17，σ2），其中σ2近似為（1）中計(jì)算的總樣本方差．現(xiàn)從全體參與者中隨機(jī)抽取3位，求3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若隨機(jī)變量×服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，22≈4.7，23≈4.8，0.158653≈0.004．解：（1）把男性樣本記為x1,x2,?,把女性樣本記為y1,y2,?,y90記總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為z，方差為s2由x=14,可得總樣本平均數(shù)為z根據(jù)方差的定義，總樣本方差為s=由120∑i=1同理，90∑因此，s=所以s2所以總樣本的均值為17，方差為23，并據(jù)此估計(jì)該項(xiàng)健身活動(dòng)全體參與者的脂肪含量的總體均值為17，方差為23．（2）由（1）知σ2=23，所以X～N17,23所以P12.2≤X≤21.8P(X<12.2)≈因?yàn)閄～B3,0.15865所以PX=3所以3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率為0.00418．已知函數(shù)f（1）討論f(x)的單調(diào)性;（2）證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f（1）解：f'x=a當(dāng)a≤0時(shí)，易知f'x<0，所以函數(shù)f當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=a令f'x>0，解得x>1-lna令f'x<0，得x<1-lna綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)fx在R當(dāng)a>0時(shí)，fx在-∞,1-ln（2）證明：令gx=fx∴g'x=ae則h'x=aex-1當(dāng)a=1時(shí)，g'x=有x∈0,1，g'xx∈1,+∞，g'所以gx≥g1所以當(dāng)a=1時(shí)，fx當(dāng)a>1時(shí)，可得1a-1<0，所以g又g'所以存在x0∈1a,1x∈0,x0，g'x所以函數(shù)gx在0,x0∴gx≥gxgx下面證明lna>2a-2a+1令φx∴φ所以φx在1,+∴φx即lna>2a-2a+1綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，fx+x-19．我們把焦點(diǎn)在x軸上，且離心率相同的雙曲線稱為雙曲線系Enn∈N*），記En的方程為x2an2（1）求雙曲線系En（2）已知Pn,Qn是雙曲線系En上的動(dòng)點(diǎn)，其中Pn在第二象限，Qn在第三象限，依次構(gòu)造點(diǎn)Mn-4（?。┳C明：數(shù)列an是以1（ⅱ）定義：無窮等比遞減數(shù)列cn的所有項(xiàng)之和為S=c11-q，其中c1為cn的首項(xiàng)，q為cn