第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省三明市五縣聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z?(2+i)=3?i2025，則zA.?1 B.75 C.?152.已知向量a=(1,3)，b=(m,?1)，若向量|a+b|=|A.?3 B.3 C.?13 3.在△ABC中，D在BC上，DC=2BD，設(shè)AB=a，AC=b，則A.14a+34b B.34.設(shè)矩形邊長(zhǎng)分別為a、b(a>b)，分別以a、b兩邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為Va和Vb，則Va與VbA.Va>Vb B.Va=Vb

5.已知平面向量a，b是兩個(gè)單位向量，a在b上的投影向量為13b，則a?(A.1 B.43 C.2 6.一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′A′=O′C′=2，O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′//y′軸，則四邊形OABC的面積為(

)A.18

B.82

C.127.已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1上下底面邊長(zhǎng)分別為3、2A.20π B.55π3 C.8.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b=3，若b2=2a2+cA.2 B.34 C.1 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中為真命題的是(

)A.若AB與CD是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D共線

B.若a為非零向量，則a|a|與a同向

C.若a?b=0，則a⊥b10.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、FA.直線D1F、CE、AD相交于同一個(gè)點(diǎn) B.過點(diǎn)C1、E、F的截面面積為172

C.三棱錐B1?A111.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=2bcosB，且b≠c，則下列說法中正確的是(

)A.A=2B

B.ab的取值范圍是(2,3)

C.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，若c=2，則PA?PB的取值范圍是[?1,2]

D.點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=1，|b|=2，a?(b13.在△ABC中，A=30°，AB=2，若滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則邊BC的取值范圍為______．14.祖暅，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家.他于5世紀(jì)末提出下面的計(jì)算原理——祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.請(qǐng)同學(xué)們用祖暅原理解決如下問題：如題圖，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為32的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切(而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部)，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

復(fù)數(shù)z滿足z?z?=2，且z+i是實(shí)數(shù)．

(1)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第四象限，求復(fù)數(shù)z；

(2)在(1)的條件下，記復(fù)數(shù)z1=3+mi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B16.(本小題15分)

如圖，四邊形AEDC中，DE=2CA，AB=2BE，∠A=π3，AC=BE=1．

(1)用AC，AB表示DC、DB；

17.(本小題15分)

如圖，在△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知：c=4，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，∠CAD=π3，bcosA+3bsinA=c．

(1)求角B；

(2)若△ACD的面積18.(本小題17分)

某市公園綠道專為騎行而建，以綠道為線，串聯(lián)上百個(gè)生態(tài)公園，一路上樹木成蔭、鳥語花香.因?yàn)樵贑處有一古塔，市政府為升級(jí)綠道沿途風(fēng)景，計(jì)劃在某段全長(zhǎng)200米的直線綠道AB一側(cè)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域(古塔的底座忽略不計(jì))ABC做綠化，如圖，已知∠CAB=π3，為提升美觀度，設(shè)計(jì)師擬將綠化區(qū)設(shè)計(jì)為一個(gè)銳角三角形．

(1)若在A、B處分別測(cè)得塔頂E的仰角為45°、30°，求塔高CE；

(2)求綠化區(qū)域△ABC面積的取值范圍；

(3)綠化完成后，某游客在綠道AB的另一側(cè)空地上尋找最佳拍照打卡點(diǎn)，該游客從A到D，再從D到B.已知∠ADB=π19.(本小題17分)

.在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，已知：(a+c)(sinC?sinA)=(b?a)sinB．

(1)求角C；

(2)a+b=4，求AB邊上的中線CD的最小值；

(3)已知銳角△ABC的面積為32，點(diǎn)E是△ABC的重心，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，BN=?12CN，線段BM與線段AN交于點(diǎn)

答案解析1.【答案】A

【解析】解：z?(2+i)=3?i2025=3?(i4)506?i=3?i，

則z=3?i2+i=(3?i)(2?i)2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，向量a=(1,3)，b=(m,?1)，

則a+b=(1+m,2),a?b=(1?m,4)，

若|a+b|=|a?b|，則(a+3.【答案】C

【解析】解：由DC=2BD，可得BD=13BC，即AD?AB=13(AC?AB)，

整理得4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)榫匦芜呴L(zhǎng)分別為a、b(a>b)，分別以a、b兩邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為Va和Vb，

所以以a為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為b，高為a的圓柱，

Va=πb2a，

以b為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是底面半徑為a，高為b的圓柱，

Vb=πa2b，

因?yàn)閍>b>0，所以Va?Vb=π5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閎是單位向量，所以|b|=1，則(a?b)b=13b，故a?b=13．

可得a?(a+b)=a?a+a?b．6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，易得直觀圖中，∠A′O′D=π4，且A′D=O′A′=B′D=2，則A′B′=4，

則四邊形O′A′B′C′的面積為SO′A′B′C′=12×(2+4)×2=6，

所以四邊形OABC的面積為SOABC=227.【答案】C

【解析】解：如圖，

設(shè)正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1的上、下底面的中心分別為O1、O，

由正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知，外接球球心E在直線OO1上，

△A1B1C1的外接圓半徑為O1A1=32sin60°=1，

△ABC的外接圓半徑為OA=232sin60°=2，

設(shè)OE=d，球E的半徑為R，

若球心在線段OO1上，則0<d<1，O1E=1?d，

則R2=OA2+d28.【答案】D

【解析】解：∵b2=2a2+c2，

∴在△ABC中，由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=?a2c,B∈(0,π)，

∴sinB=1?a9.【答案】BD

【解析】解：由AB與CD是共線向量，可得AB,CD所在直線平行，

但點(diǎn)A、B、C、D不一定共線，故A錯(cuò)誤；

若a為非零向量，則a|a|與a方向相同，故B正確；

若a?b=0，則a=0或b=0或a⊥b成立，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)向量相等的定義知，

若a=b，b=c，則a=10.【答案】AC

【解析】解：A選項(xiàng)，連接EF，CD1，A1B，

因點(diǎn)E、F分別是AB、A1A的中點(diǎn)，因此EF/?/A1B，

又ABCD?A1B1C1D1為正方體，因此CD1/?/A1B，因此CD1//EF，因此C，D1，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，

延長(zhǎng)D1F，CE交于點(diǎn)H，

因H∈D1F?平面ADD1A1，H∈CE?平面ABCD，

因此H∈平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，

因此直線D1F、CE、AD相交于同一個(gè)點(diǎn)H，因此A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，過點(diǎn)C1作PQ//D1C，交DC于P，DD1于Q，連接EP，F(xiàn)Q，分別交BC，A1D1于點(diǎn)M，N，連接C1N，C1M，MN，

由A選項(xiàng)可知，PQ/?/EF，因此過點(diǎn)C1、E、F的截面為五邊形C1NFEM，

容易得D1Q=CP=2，D1N2=23=CM2，因此D1N=CM=43，

又D1N//CM，因此四邊形D1NMC為平行四邊形，因此D1C//NM，D1C=NM=22，

又NF=ME=1+(23)2=133，

因此等腰梯形FEMN的高為(133)2?(22)2=346，

因此等腰梯形FEMN的面積為S1=2+222×346=172，

又11.【答案】ABD

【解析】解：A選項(xiàng)，a=2bcosB，由正弦定理得sinA=2sinBcosB=sin2B，

故A=2B或A+2B=π，

當(dāng)A+2B=π時(shí)，∵A+B+C=π，∴B=C，

但b≠c，故B≠C，∴A+2B=π不合要求，

∴A=2B，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，由A知，A=2B，ab=sinAsinB=sin2BsinB=2sinBcosBsinB=2cosB，

其中C=π?A?B=π?3B，

∵△ABC為銳角三角形，∴0<A<π2,0<B<π2,0<C<π2，

即0<2B<π2,0<B<π2,0<π?3B<π2，解得π6<B<π4，

∵y=2cosx在x∈(π6,π4)上單調(diào)遞減，∴ab=2cosB∈(2,3)，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，c=2，

取AB的中點(diǎn)M，連接PM，則AM=BM=1且MA=?MB，

則PA?PB=(PM+MA)(PM+MB)=PM2?BM2=PM2?1，

由于點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，則|PM|∈[0,+∞),

∴PA?PB=PM2?1∈[?1,+∞),C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，AP=23AB+12AC，

在AB上取點(diǎn)G，使得AG=23AB，取AC12.【答案】π3【解析】解：∵|a|=1，|b|=2，a?(b?a)=0，

∴a?b?a2=|a|?|b|cos13.【答案】(1,2)

【解析】解：在△ABC中，A=30°，AB=2，

由正弦定理BCsinA=ABsinC，得sinC=AB?sinABC=2×12BC=1BC，

因A=30°，且滿足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則30°<C<150°且C≠90°，

則12<sinC<1，即1214.【答案】3

【解析】解：如圖，

已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，根據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積．

下面證明如圖1中陰影截面面積相等：

證明：設(shè)半球中陰影截面圓的半徑為r，球體半徑為R，則r2=R2??2，截面圓面積S1=πr2=π(R2??2)；

圓柱中截面小圓半徑DE=?，大圓半徑為R，則截面圓環(huán)的面積S2=S大圓?S小圓=π(R2??2)

所以S1=S2，又高度相等，所以球柱的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積．

由題意倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為32的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切(而且球與倒圓錐相切效果很好，

水不能流到倒圓錐容器底部)，作出圖形：

設(shè)球體和水接觸的上部分為V大半球，沒和水接觸的下部分為V小半球，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，

其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺(tái)體積．

記球體半徑為r，△ABC為等邊三角形，OB=2OD=2r，OE=EF=12r，

根據(jù)祖暅原理V小半球=V圓柱?V圓臺(tái)=πr2?15.【答案】z=1?i；

m=3或m=1．

【解析】(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，所以z?=a?bi，z?z?=a2+b2=2，

因?yàn)閦+i=a+(b+1)i是實(shí)數(shù)

所以b+1=0，則b=?1，a=±1，

若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第四象限，則a=1，即z=1?i；

(2)在(1)的條件下，A(1,?1)，B(3,m)，

若∠AOB=90°，則OA⊥OB，

又OA=(1,?1)，OB=(3,m)，則OA?OB=3?m=0，解得m=3；

若∠BAO=90°，則OA⊥AB，

AB=(2,m+1)，所以O(shè)A?AB=2?(m+1)=0，解得m=1；

若∠OBA=90°，則AB?OB=6+m(m+1)=0，方程無解，m不存在．

綜上：m=3或m=1．

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，由題意可得16.【答案】DC=?AC?32AB，DB【解析】(1)DC=DE+EA+AC=?2AC?32AB+AC=?AC?32AB，

DB=DE+EB=?2AC?12AB；

(2)因?yàn)镈E=217.【答案】B=π6；

4【解析】(1)∵bcosA+3bsinA=c，

由正弦定理得：sinBcosA+3sinBsinA=sinC，

即sinBcosA+3sinBsinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴3sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，

∴3sinB=cosB，即tanB=33，

∴B=π6；

(2)設(shè)∠ACB=θ，

△ABC中，由正弦定理得：ABsinθ=ACsinB，AC=ABsinBsinθ=2sinθ．

△ADC中，由正弦定理得：ADsin(π?θ)=ACsinD=ACsin(θ?π3)，

∴AD=ACsinθsin(θ?π3)=2sin(θ?π18.【答案】100米；

S△ABC∈(50003,20000【解析】(1)設(shè)CE=x米，

根據(jù)題意可知，CE⊥AC，CE⊥BC，

又在A、B處分別測(cè)得塔頂E的仰角為45°、30°即∠EAC=45°，∠EBC=30°，

所以可知AC=x，BC=3x，所以在△ABC中，∠CAB=π3，

根據(jù)余弦定理得BC2=AC2+AB2?2AC?ABco