PAGE1專題10相交線（鞏固提升六大類型30題+能力培優(yōu)8題+拓展突破8題+中考真題6題）知識(shí)清單1.相交線（1）相交線的定義兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角兩類．（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．2.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．3.垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．4.垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．5.點(diǎn)到直線的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個(gè)圖形．6.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角1．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）下面四個(gè)圖形中，∠1與∠2互為對(duì)頂角的是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖是一把剪刀，在使用過程中，若∠COD增加20°，則∠AOB（

）A．減少20° B．增加20° C．不變 D．增加40°3．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B，∠ABC=60°，∠FBE=95°，則∠CBF的度數(shù)是（

）A．35° B．85° C．145° D．155°4．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線a、b相交，∠α+∠β=80°，則∠α=.5．（23-24七年級(jí)下·廣東茂名·單元測(cè)試）如圖，已知AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，∠1=35°，∠3=100°，則∠2的度數(shù)是．6．（22-23七年級(jí)下·山東菏澤·期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠COB，若∠AOC=50°，則∠DOE的度數(shù)為

7．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD平分∠AOC，∠COE=13∠BOE，∠DOE=70°，設(shè)∠COE=α，利用方程的思想，求得α=相交線的有關(guān)計(jì)算8．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°．(1)若∠AOC=40°，求∠BOE的度數(shù)．(2)若∠BOC=2∠BOD，OF平分∠AOC，求∠DOF的度數(shù)．9．（23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC=86°，求∠BOD的度數(shù)；(2)若∠EOC:∠EOD=4:5，求∠BOD的度數(shù)．10．（24-25七年級(jí)上·陜西延安·期末）如圖，已知直線AB,CD相交于點(diǎn)O，∠COF與∠EOF互余，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度數(shù)．11．（23-24七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）如圖，直線AB和CD相交于點(diǎn)O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE:∠EOC=3:5，OF平分∠BOE．(1)若∠BOD=72°，求∠BOE．(2)若∠BOF=2∠AOE+15°，求∠COF．12．（23-24七年級(jí)上·貴州黔東南·期末）已知：點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，∠BOC=110°．(1)如圖1，求∠AOC的度數(shù)；(2)如圖2，過點(diǎn)O作射線OD，使∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM，求∠MOD的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，作射線OP，若∠BOP與∠AOM互余，求∠COP的度數(shù)．垂線與垂線段13．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，所以O(shè)M與ON在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短14．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，射線c⊥a，垂足為點(diǎn)O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（

）A．50° B．120° C．130° D．140°15．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足為點(diǎn)B，PA⊥PC，則下列正確的語句是（A．線段PC的長是點(diǎn)P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AC的長是點(diǎn)A到直線PC的距離 D．線段AC的長是點(diǎn)C到直線PA的距離16．（24-25七年級(jí)上·河南·期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項(xiàng)中能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī) B．木板上彈墨線 C．彎曲河道改直 D．兩釘子固定木條17．（23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）如圖，點(diǎn)A，B，C是直線l上的三點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l外，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是

18．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB=125，則點(diǎn)A到直線PC的距離是垂線的有關(guān)作圖19．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）利用網(wǎng)格畫圖：(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，垂足為E；(2)線段CE的長度是點(diǎn)C到直線_______的距離；(3)連接CA,CB，在線段CA,CB,CE中，線段_______最短．20．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長為1．（請(qǐng)利用網(wǎng)格作圖，畫出的線請(qǐng)用鉛筆描粗描黑）(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，垂足為E；(2)連接AC，BC，則三角形21．（22-23七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的邊OA上的一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)P畫出OA，OB的垂線，分別交OB于點(diǎn)M，N，哪條線段的長度表示點(diǎn)P到直線OB的距離？垂線與角的有關(guān)計(jì)算22．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，MO⊥AB于點(diǎn)O，ON是∠AOD內(nèi)的一條射線．(1)若∠1=∠2，求∠NOD的度數(shù)；(2)若∠BOC=4∠1，求∠AOC的度數(shù)．23．（21-22七年級(jí)上·浙江麗水·期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD且OE平分∠BOF．(1)若∠BOD比∠BOE大10°，求∠COF的度數(shù)．(2)證明：OC是∠AOF的平分線．24．（23-24七年級(jí)上·浙江杭州·期末）直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作(1)如圖1，若∠BOD=27°44'，求(2)如圖2，作射線OF使∠EOF=∠AOE，則OD是∠BOF的平分線．請(qǐng)說明理由．(3)在圖1上作OG⊥AB，寫出∠COG與∠AOE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．25．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：直線AB與直線CD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠BOC=2∠AOC，求∠COE的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)O作OF⊥CD，射線OM平分∠BOD，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有與∠AOC互余的角．同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角26．（2024七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．∠2與∠4是同旁內(nèi)角 B．∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角C．∠5與∠6是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠5是同位角27．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，下列結(jié)論正確的是（）A．∠5與∠2是對(duì)頂角 B．∠1與∠3是同位角C．∠2與∠3是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠2是同旁內(nèi)角28．（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·期中）如圖，直線CD與∠AOB的邊OB相交．(1)寫出圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．(2)如果∠1=∠4，那么∠1與∠2相等嗎？∠1與∠5互補(bǔ)嗎？為什么？29．（23-24七年級(jí)下·甘肅隴南·階段練習(xí)）如圖，BF，DE相交于點(diǎn)A，BG交BF于點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)(1)指出DE，BC被(2)指出DE，BC被(3)指出FB，BC被30．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，指出圖中直線AC，BC被直線DE所截形成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．（僅指用數(shù)字標(biāo)出的角）31．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B，∠ABC=60°，∠FBE=95°，則∠CBF的度數(shù)是（

）A．35° B．85° C．145° D．155°32．（24-25七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，E是直線CA上一點(diǎn)，∠FEA=40°，射線EB平分∠CEF，GE⊥EF，則∠GEB=（

）A．10° B．20° C．30° D．40°33．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，給出下列說法：①∠A和∠4是同位角；②∠1和∠3是對(duì)頂角；③∠2和∠4是內(nèi)錯(cuò)角；④∠A和∠BCD是同旁內(nèi)角．其中說法錯(cuò)誤的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)34．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，則∠BOC=°．35．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，射線OE⊥CD于點(diǎn)O，且∠BOE=47°，則∠AOC的度數(shù)為度．36．（23-24七年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC?2∠AOE=20°，射線OF平分∠DOE，若∠BOD=60°，則∠AOF=．37．（23-24七年級(jí)下·全國·單元測(cè)試）如圖，直線BE,CF相交于點(diǎn)D，DA⊥BE．(1)若∠EDF=∠ADG，求證：GD⊥CF；(2)在（1）的條件下，若∠ADG=16∠EDG38．（22-23七年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，直線AB與CD相交于O，OF，OD分別是∠AOE，∠BOE的平分線．(1)寫出∠DOE的補(bǔ)角；(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度數(shù)；(3)試問射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系？為什么？39．（22-23七年級(jí)下·云南昭通·期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD，垂足為O，OE平分∠BOF，若∠DOE=20°，則∠AOC的度數(shù)為（A．20° B．40° C．50°40．（18-19七年級(jí)下·廣西欽州·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O．若∠EOF=α，下列說法：①∠AOC=α?90°；②∠EOB=180°?α；③∠AOF=360°?2α．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③41．（23-24七年級(jí)下·浙江寧波·期末）某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊（如圖）．折痕分別為AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=13∠ABCA．105° B．108° C．110° D．112°42．（22-23七年級(jí)上·全國·單元測(cè)試）如圖，OA⊥OB，OD⊥OC，O為垂足，若∠BOD=145°，則∠AOC=．43．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為44．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD=75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE=∠EOC，將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α0°<α<360°到OF，若∠AOF=120°時(shí)，α的度數(shù)是°45．（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，直線AB與直線CD交點(diǎn)O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．(1)如圖1，求證：OC平分∠BOF；(2)如圖2，OG，OP，OK，在直線AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，46．（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期末）如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且