統(tǒng)計(jì)與概率題及答案某公司人力資源部門為了解員工薪資結(jié)構(gòu)與工作滿意度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了50名正式員工的月收入數(shù)據(jù)（單位：元），具體如下：7800,8200,8500,8500,8800,9000,9200,9200,9200,9500,9500,9800,9800,10000,10000,10000,10200,10200,10500,10500,10500,10800,10800,11000,11000,11000,11200,11200,11500,11500,11500,11800,11800,12000,12000,12000,12200,12200,12500,12500,12500,12800,12800,13000,13000,13000,13200,13200,13500,13500請(qǐng)完成以下統(tǒng)計(jì)分析：（1）計(jì)算該樣本的均值、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）計(jì)算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（保留兩位小數(shù)）；（3）描述數(shù)據(jù)的分布特征（集中趨勢(shì)、離散程度、偏態(tài)）。解答（1）均值、中位數(shù)、眾數(shù)計(jì)算-均值（Mean）：均值是所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。計(jì)算公式為：\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]其中，\(n=50\)，數(shù)據(jù)總和為：\(7800+8200+2×8500+8800+9000+3×9200+2×9500+2×9800+3×10000+2×10200+3×10500+2×10800+3×11000+2×11200+3×11500+2×11800+3×12000+2×12200+3×12500+2×12800+3×13000+2×13200+2×13500\)逐項(xiàng)計(jì)算得總和為：\(548,500\)（具體計(jì)算可通過分組求和簡化：如9200出現(xiàn)3次，貢獻(xiàn)\(3×9200=27,600\)，依此類推）。因此，均值為：\(\bar{x}=548500/50=10,970\)元。-中位數(shù)（Median）：中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)值。由于樣本量\(n=50\)為偶數(shù)，中位數(shù)是第25和26個(gè)數(shù)的平均值。數(shù)據(jù)已排序，第25個(gè)數(shù)是10,800（從第1到第24個(gè)數(shù)為：7800,8200,8500,8500,8800,9000,9200,9200,9200,9500,9500,9800,9800,10000,10000,10000,10200,10200,10500,10500,10500,10800,10800，第24個(gè)數(shù)是10,800？需重新核對(duì)排序。實(shí)際排序后前25個(gè)數(shù)應(yīng)為：前24個(gè)數(shù)到第24位是10,500（3個(gè)10,500占第20-22位，接著是10,800第23、24位，11,000第25、26位）。正確排序后，第25個(gè)數(shù)是11,000，第26個(gè)數(shù)也是11,000，因此中位數(shù)為\((11000+11000)/2=11,000\)元。-眾數(shù)（Mode）：眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。觀察數(shù)據(jù)，10,000元出現(xiàn)3次，10,500元3次，11,000元3次，11,500元3次，12,000元3次，12,500元3次，13,000元3次。但實(shí)際原始數(shù)據(jù)中，9200出現(xiàn)3次（第7-9位），10,000出現(xiàn)3次（第14-16位），10,500出現(xiàn)3次（第19-21位），11,000出現(xiàn)3次（第24-26位），11,500出現(xiàn)3次（第29-31位），12,000出現(xiàn)3次（第34-36位），12,500出現(xiàn)3次（第39-41位），13,000出現(xiàn)3次（第44-46位）。因此，數(shù)據(jù)存在多個(gè)眾數(shù)（多峰分布），但通常取出現(xiàn)次數(shù)最多且數(shù)值集中的，這里所有3次出現(xiàn)的數(shù)均為眾數(shù)，可記為10,000、10,500、11,000等（實(shí)際題目中可能存在筆誤，假設(shè)原始數(shù)據(jù)中某數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)更多，如11,000出現(xiàn)4次，則眾數(shù)為11,000。此處按原始數(shù)據(jù)修正：原題數(shù)據(jù)中11,000出現(xiàn)3次，12,000出現(xiàn)3次，因此嚴(yán)格來說是多眾數(shù)，但實(shí)際統(tǒng)計(jì)中可簡化為“無明顯單一眾數(shù)”）。（2）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差（SampleVariance）計(jì)算公式為：\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\]樣本標(biāo)準(zhǔn)差（SampleStandardDeviation）為方差的平方根。首先計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與均值（10,970）的差的平方，再求和。以部分?jǐn)?shù)據(jù)為例：-7800與均值差：\(7800-10970=-3170\)，平方為\(3170^2=10,048,900\)-8200與均值差：\(-2770\)，平方為\(7,672,900\)-8500與均值差：\(-2470\)，平方為\(6,100,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(2×6,100,900=12,201,800\)）-8800與均值差：\(-2170\)，平方為\(4,708,900\)-9000與均值差：\(-1970\)，平方為\(3,880,900\)-9200與均值差：\(-1770\)，平方為\(3,132,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(3×3,132,900=9,398,700\)）-9500與均值差：\(-1470\)，平方為\(2,160,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(4,321,800\)）-9800與均值差：\(-1170\)，平方為\(1,368,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(2,737,800\)）-10000與均值差：\(-970\)，平方為\(940,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(2,822,700\)）-10200與均值差：\(-770\)，平方為\(592,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(1,185,800\)）-10500與均值差：\(-470\)，平方為\(220,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(662,700\)）-10800與均值差：\(-170\)，平方為\(28,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(57,800\)）-11000與均值差：\(30\)，平方為\(900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(2,700\)）-11200與均值差：\(230\)，平方為\(52,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(105,800\)）-11500與均值差：\(530\)，平方為\(280,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(842,700\)）-11800與均值差：\(830\)，平方為\(688,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(1,377,800\)）-12000與均值差：\(1030\)，平方為\(1,060,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(3,182,700\)）-12200與均值差：\(1230\)，平方為\(1,512,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(3,025,800\)）-12500與均值差：\(1530\)，平方為\(2,340,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(7,022,700\)）-12800與均值差：\(1830\)，平方為\(3,348,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(6,697,800\)）-13000與均值差：\(2030\)，平方為\(4,120,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻(xiàn)\(12,362,700\)）-13200與均值差：\(2230\)，平方為\(4,972,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(9,945,800\)）-13500與均值差：\(2530\)，平方為\(6,400,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻(xiàn)\(12,801,800\)）將所有貢獻(xiàn)相加，得到平方和為：\(10,048,900+7,672,900+12,201,800+4,708,900+3,880,900+9,398,700+4,321,800+2,737,800+2,822,700+1,185,800+662,700+57,800+2,700+105,800+842,700+1,377,800+3,182,700+3,025,800+7,022,700+6,697,800+12,362,700+9,945,800+12,801,800=142,443,000\)（近似值，實(shí)際需精確計(jì)算）。樣本方差為：\(s^2=142,443,000/(50-1)≈2,906,999.99≈2,907,000.00\)（元2）。樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：\(s=\sqrt{2,907,000}≈1,705.00\)元（保留兩位小數(shù)）。（3）數(shù)據(jù)分布特征分析-集中趨勢(shì)：均值為10,970元，中位數(shù)為11,000元，兩者接近，說明數(shù)據(jù)分布相對(duì)對(duì)稱，沒有顯著的極端值拉低或拉高均值。眾數(shù)為多個(gè)3次出現(xiàn)的數(shù)值（如10,000、11,000、12,000等），反映數(shù)據(jù)在多個(gè)區(qū)間有集中趨勢(shì)，可能與不同職級(jí)或工齡的員工收入分布有關(guān)。-離散程度：標(biāo)準(zhǔn)差約為1,705元，說明員工收入的波動(dòng)范圍較大（約在均值±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，即10,970±5,115元，覆蓋7800-16,085元，與實(shí)際數(shù)據(jù)范圍7800-13,500元基本一致）。方差為2,907,000元2，進(jìn)一步驗(yàn)證了數(shù)據(jù)的離散程度較高。-偏態(tài)：由于均值（10,970）略小于中位數(shù)（11,000），數(shù)據(jù)呈現(xiàn)輕微左偏（負(fù)偏態(tài)），即左側(cè)（低收入端）有少數(shù)較小值（如7800、8200），但整體偏態(tài)不明顯，分布接近對(duì)稱。---某城市自來水公司為檢測(cè)水質(zhì)安全，采用一種新型細(xì)菌檢測(cè)試劑。已知該試劑對(duì)實(shí)際含菌的水樣檢測(cè)為陽性的概率（真陽性率）為95%，對(duì)實(shí)際不含菌的水樣檢測(cè)為陰性的概率（真陰性率）為98%。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該城市自來水含菌的概率為0.5%（即千分之五）。現(xiàn)隨機(jī)抽取一份水樣，檢測(cè)結(jié)果為陽性，求該水樣實(shí)際含菌的概率（保留四位小數(shù)）。解答本題需應(yīng)用貝葉斯定理（Bayes'Theorem），計(jì)算在檢測(cè)為陽性（事件A）的條件下，水樣實(shí)際含菌（事件B）的后驗(yàn)概率\(P(B|A)\)。定義事件：-\(B\)：水樣實(shí)際含菌，\(P(B)=0.005\)（先驗(yàn)概率）；-\(\bar{B}\)：水樣實(shí)際不含菌，\(P(\bar{B})=1-0.005=0.995\)；-\(A\)：檢測(cè)結(jié)果為陽性；-\(P(A|B)=0.95\)（真陽性率）；-\(P(A|\bar{B})=1-0.98=0.02\)（假陽性率）。根據(jù)全概率公式，檢測(cè)為陽性的總概率\(P(A)\)為：\[P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})\]代入數(shù)據(jù)：\[P(A)=0.95×0.005+0.02×0.995=0.00475+0.0199=0.02465\]根據(jù)貝葉斯定理，后驗(yàn)概率為：\[P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}=\frac{0.95×0.005}{0.02465}=\frac{0.00475}{0.02465}≈0.1927\]因此，檢測(cè)結(jié)果為陽性時(shí)，水樣實(shí)際含菌的概率約為19.27%。---某品牌手機(jī)電池標(biāo)稱續(xù)航時(shí)間為12小時(shí)（均值）。為驗(yàn)證該標(biāo)稱值，質(zhì)檢部門從生產(chǎn)線隨機(jī)抽取36塊電池，測(cè)得平均續(xù)航時(shí)間為11.8小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.6小時(shí)。假設(shè)電池續(xù)航時(shí)間服從正態(tài)分布，顯著性水平\(\alpha=0.05\)，檢驗(yàn)該品牌電池的實(shí)際平均續(xù)航時(shí)間是否低于標(biāo)稱值。解答本題為單樣本均值的單側(cè)t檢驗(yàn)（總體方差未知，樣本量\(n=36\)為大樣本，也可用z檢驗(yàn)近似）。步驟1：設(shè)定假設(shè)原假設(shè)\(H_0\)：\(\mu=12\)（實(shí)際平均續(xù)航時(shí)間等于標(biāo)稱值）；備擇假設(shè)\(H_1\)：\(\mu<12\)（實(shí)際平均續(xù)航時(shí)間低于標(biāo)稱值）。步驟2：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由于總體方差未知，使用t統(tǒng)計(jì)量（大樣本時(shí)t分布近似正態(tài)分布）：\[t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]其中，\(\bar{x}=11.8\)，\(\mu_0=12\)，\(s=0.6\)，\(n=36\)。步驟3：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量\[t=\frac{11.8-12}{0.6/\sqrt{36}}=\frac{-0.2}{0.6/6}=\frac{-0.2}{0.1}=-2\]步驟4：確定臨界值或p值顯著性水平\(\alpha=0.05\)，單側(cè)檢驗(yàn)，自由度\(df=n-1=35\)。查t分布表，臨界值\(t_{0.05,35}≈-1.690\)（單側(cè)左尾）。步驟5：決策計(jì)算得到的t統(tǒng)計(jì)量為-2，小于臨界值-1.690，落在拒絕域內(nèi)。因此拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該品牌電池的實(shí)際平均續(xù)航時(shí)間顯著低于標(biāo)稱值。---某電商平臺(tái)為分析廣告投入對(duì)銷售額的影響，收集了過去12個(gè)月的廣告投入（\(x\)，單位：萬元）和對(duì)應(yīng)月銷售額（\(y\)，單位：百萬元）數(shù)據(jù)，如下表：|廣告投入\(x\)|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13||--------------|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----||銷售額\(y\)|5|7|8|10|12|13|15|16|18|20|21|23|（1）計(jì)算廣告投入與銷售額的相關(guān)系數(shù)，判斷線性相關(guān)程度；（2）建立銷售額對(duì)廣告投入的一元線性回歸方程；（3）預(yù)測(cè)當(dāng)廣告投入為15萬元時(shí)，銷售額的估計(jì)值。解答（1）相關(guān)系數(shù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)\(r\)的計(jì)算公式為：\[r=\frac{n\sumxy-(\sumx)(\sumy)}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\]首先計(jì)算所需統(tǒng)計(jì)量：-\(n=12\)-\(\sumx=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=90\)-\(\sumy=5+7+8+10+12+13+15+16+18+20+21+23=168\)-\(\sumxy=2×5+3×7+4×8+5×10+6×12+7×13+8×15+9×16+10×18+11×20+12×21+13×23=10+21+32+50+72+91+120+144+180+220+252+299=1,581\)-\(\sumx^2=2^2+3^2+…+13^2=4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169=819\)-\(\sumy^2=5^2+7^2+…+23^2=25+49+64+100+144+169+225+256+324+400+441+529=2,736\)代入公式：分子：\(12×1581-90×168=18,972-15,120=3,852\)分母：\(\sqrt{[12×819-90^2][12×2736-168^2]}=\sqrt{[9,828-8,100][32,832-28,224]}=\sqrt{1,728×4,608}=\sqrt{7,962,624}=2,822.4\)因此，\(r=3,852/2,822.4≈0.999\)（接近1），說明廣告投入與銷售額高度正線性相關(guān)。（2）一元線性回歸方程回歸方程形式為\(\hat{y}=a+bx\)，其中斜率\(b\)和截距\(a\)的計(jì)算公式為：\[b=\frac{n\sumxy-(\sumx)(\sumy)}{n\sumx^2-(\sumx)^2},\quada=\bar{y}-b\bar{x}\]計(jì)算\(b\)：\[b=\frac{3,852}{1,728}≈2.23\)（精確計(jì)算：\(3,852÷1,728=2.23\)）計(jì)算\(\bar{x}=90/12=7.5\)，\(\bar{y}=168/12=14\)，則：\[a=14-2.23×7.5=14-16.725=-2.725\]因此，回歸方程為：\(\hat{y}=-2.725+2.23x\)。（3）銷售額預(yù)測(cè)當(dāng)廣告投入\(x=15\)萬元時(shí)，代入回歸方程：\[\hat{y}=-2.725+2.23×15=-2.725+33.45=30.725\]因此，廣告投入為15萬元時(shí)，銷售額估計(jì)值約為30.73百萬元（即3,073萬元）。---某超市為優(yōu)化庫存管理，記錄了過去100天的某種商品日銷量（單位：件），數(shù)據(jù)如下：|日銷量|0-10|11-20|21-30|31-40|41-50||--------|------|-------|-------|-------|-------||天數(shù)|5|20|35|30|10|（1）計(jì)算日銷量的均值和中位數(shù)；（2）估計(jì)日銷量的方差（用組中值計(jì)算）；（3）若日銷量服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，求日銷量超過40件的概率。解答（1）均值和中位數(shù)計(jì)算-均值：用組中值計(jì)算，各組中值分別為5,15,25,35,45。均值\(\bar{x}=\frac{\sumf_ix_i}{\sumf_i}\)，其中\(zhòng)(f_i\)為各組天數(shù)，\(x_i\)為組中值。計(jì)算得：\(\bar{x}=(5×5+20×15+35×25+30×35+10×45)/100=(25+300+875+1,050+450)/100=2,700/100=27\)件。-中位數(shù)：中位數(shù)位置為\(n/2=50\)，累計(jì)天數(shù)到前兩組為5+20=25，前三組為25+35=60，因此中位數(shù)在第三組（21-30）。中位數(shù)計(jì)算公式為：\[M_e=L+\frac{\frac