統(tǒng)計與概率題及答案某公司人力資源部門為了解員工薪資結構與工作滿意度的關系，隨機抽取了50名正式員工的月收入數(shù)據(jù)（單位：元），具體如下：7800,8200,8500,8500,8800,9000,9200,9200,9200,9500,9500,9800,9800,10000,10000,10000,10200,10200,10500,10500,10500,10800,10800,11000,11000,11000,11200,11200,11500,11500,11500,11800,11800,12000,12000,12000,12200,12200,12500,12500,12500,12800,12800,13000,13000,13000,13200,13200,13500,13500請完成以下統(tǒng)計分析：（1）計算該樣本的均值、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）計算樣本方差和標準差（保留兩位小數(shù)）；（3）描述數(shù)據(jù)的分布特征（集中趨勢、離散程度、偏態(tài)）。解答（1）均值、中位數(shù)、眾數(shù)計算-均值（Mean）：均值是所有數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)。計算公式為：\[\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]其中，\(n=50\)，數(shù)據(jù)總和為：\(7800+8200+2×8500+8800+9000+3×9200+2×9500+2×9800+3×10000+2×10200+3×10500+2×10800+3×11000+2×11200+3×11500+2×11800+3×12000+2×12200+3×12500+2×12800+3×13000+2×13200+2×13500\)逐項計算得總和為：\(548,500\)（具體計算可通過分組求和簡化：如9200出現(xiàn)3次，貢獻\(3×9200=27,600\)，依此類推）。因此，均值為：\(\bar{x}=548500/50=10,970\)元。-中位數(shù)（Median）：中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)值。由于樣本量\(n=50\)為偶數(shù)，中位數(shù)是第25和26個數(shù)的平均值。數(shù)據(jù)已排序，第25個數(shù)是10,800（從第1到第24個數(shù)為：7800,8200,8500,8500,8800,9000,9200,9200,9200,9500,9500,9800,9800,10000,10000,10000,10200,10200,10500,10500,10500,10800,10800，第24個數(shù)是10,800？需重新核對排序。實際排序后前25個數(shù)應為：前24個數(shù)到第24位是10,500（3個10,500占第20-22位，接著是10,800第23、24位，11,000第25、26位）。正確排序后，第25個數(shù)是11,000，第26個數(shù)也是11,000，因此中位數(shù)為\((11000+11000)/2=11,000\)元。-眾數(shù)（Mode）：眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值。觀察數(shù)據(jù)，10,000元出現(xiàn)3次，10,500元3次，11,000元3次，11,500元3次，12,000元3次，12,500元3次，13,000元3次。但實際原始數(shù)據(jù)中，9200出現(xiàn)3次（第7-9位），10,000出現(xiàn)3次（第14-16位），10,500出現(xiàn)3次（第19-21位），11,000出現(xiàn)3次（第24-26位），11,500出現(xiàn)3次（第29-31位），12,000出現(xiàn)3次（第34-36位），12,500出現(xiàn)3次（第39-41位），13,000出現(xiàn)3次（第44-46位）。因此，數(shù)據(jù)存在多個眾數(shù)（多峰分布），但通常取出現(xiàn)次數(shù)最多且數(shù)值集中的，這里所有3次出現(xiàn)的數(shù)均為眾數(shù)，可記為10,000、10,500、11,000等（實際題目中可能存在筆誤，假設原始數(shù)據(jù)中某數(shù)值出現(xiàn)次數(shù)更多，如11,000出現(xiàn)4次，則眾數(shù)為11,000。此處按原始數(shù)據(jù)修正：原題數(shù)據(jù)中11,000出現(xiàn)3次，12,000出現(xiàn)3次，因此嚴格來說是多眾數(shù)，但實際統(tǒng)計中可簡化為“無明顯單一眾數(shù)”）。（2）樣本方差和標準差樣本方差（SampleVariance）計算公式為：\[s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\]樣本標準差（SampleStandardDeviation）為方差的平方根。首先計算每個數(shù)據(jù)與均值（10,970）的差的平方，再求和。以部分數(shù)據(jù)為例：-7800與均值差：\(7800-10970=-3170\)，平方為\(3170^2=10,048,900\)-8200與均值差：\(-2770\)，平方為\(7,672,900\)-8500與均值差：\(-2470\)，平方為\(6,100,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(2×6,100,900=12,201,800\)）-8800與均值差：\(-2170\)，平方為\(4,708,900\)-9000與均值差：\(-1970\)，平方為\(3,880,900\)-9200與均值差：\(-1770\)，平方為\(3,132,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(3×3,132,900=9,398,700\)）-9500與均值差：\(-1470\)，平方為\(2,160,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(4,321,800\)）-9800與均值差：\(-1170\)，平方為\(1,368,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(2,737,800\)）-10000與均值差：\(-970\)，平方為\(940,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(2,822,700\)）-10200與均值差：\(-770\)，平方為\(592,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(1,185,800\)）-10500與均值差：\(-470\)，平方為\(220,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(662,700\)）-10800與均值差：\(-170\)，平方為\(28,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(57,800\)）-11000與均值差：\(30\)，平方為\(900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(2,700\)）-11200與均值差：\(230\)，平方為\(52,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(105,800\)）-11500與均值差：\(530\)，平方為\(280,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(842,700\)）-11800與均值差：\(830\)，平方為\(688,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(1,377,800\)）-12000與均值差：\(1030\)，平方為\(1,060,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(3,182,700\)）-12200與均值差：\(1230\)，平方為\(1,512,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(3,025,800\)）-12500與均值差：\(1530\)，平方為\(2,340,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(7,022,700\)）-12800與均值差：\(1830\)，平方為\(3,348,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(6,697,800\)）-13000與均值差：\(2030\)，平方為\(4,120,900\)（出現(xiàn)3次，總貢獻\(12,362,700\)）-13200與均值差：\(2230\)，平方為\(4,972,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(9,945,800\)）-13500與均值差：\(2530\)，平方為\(6,400,900\)（出現(xiàn)2次，總貢獻\(12,801,800\)）將所有貢獻相加，得到平方和為：\(10,048,900+7,672,900+12,201,800+4,708,900+3,880,900+9,398,700+4,321,800+2,737,800+2,822,700+1,185,800+662,700+57,800+2,700+105,800+842,700+1,377,800+3,182,700+3,025,800+7,022,700+6,697,800+12,362,700+9,945,800+12,801,800=142,443,000\)（近似值，實際需精確計算）。樣本方差為：\(s^2=142,443,000/(50-1)≈2,906,999.99≈2,907,000.00\)（元2）。樣本標準差為：\(s=\sqrt{2,907,000}≈1,705.00\)元（保留兩位小數(shù)）。（3）數(shù)據(jù)分布特征分析-集中趨勢：均值為10,970元，中位數(shù)為11,000元，兩者接近，說明數(shù)據(jù)分布相對對稱，沒有顯著的極端值拉低或拉高均值。眾數(shù)為多個3次出現(xiàn)的數(shù)值（如10,000、11,000、12,000等），反映數(shù)據(jù)在多個區(qū)間有集中趨勢，可能與不同職級或工齡的員工收入分布有關。-離散程度：標準差約為1,705元，說明員工收入的波動范圍較大（約在均值±3個標準差內，即10,970±5,115元，覆蓋7800-16,085元，與實際數(shù)據(jù)范圍7800-13,500元基本一致）。方差為2,907,000元2，進一步驗證了數(shù)據(jù)的離散程度較高。-偏態(tài)：由于均值（10,970）略小于中位數(shù)（11,000），數(shù)據(jù)呈現(xiàn)輕微左偏（負偏態(tài)），即左側（低收入端）有少數(shù)較小值（如7800、8200），但整體偏態(tài)不明顯，分布接近對稱。---某城市自來水公司為檢測水質安全，采用一種新型細菌檢測試劑。已知該試劑對實際含菌的水樣檢測為陽性的概率（真陽性率）為95%，對實際不含菌的水樣檢測為陰性的概率（真陰性率）為98%。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，該城市自來水含菌的概率為0.5%（即千分之五）?，F(xiàn)隨機抽取一份水樣，檢測結果為陽性，求該水樣實際含菌的概率（保留四位小數(shù)）。解答本題需應用貝葉斯定理（Bayes'Theorem），計算在檢測為陽性（事件A）的條件下，水樣實際含菌（事件B）的后驗概率\(P(B|A)\)。定義事件：-\(B\)：水樣實際含菌，\(P(B)=0.005\)（先驗概率）；-\(\bar{B}\)：水樣實際不含菌，\(P(\bar{B})=1-0.005=0.995\)；-\(A\)：檢測結果為陽性；-\(P(A|B)=0.95\)（真陽性率）；-\(P(A|\bar{B})=1-0.98=0.02\)（假陽性率）。根據(jù)全概率公式，檢測為陽性的總概率\(P(A)\)為：\[P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})\]代入數(shù)據(jù)：\[P(A)=0.95×0.005+0.02×0.995=0.00475+0.0199=0.02465\]根據(jù)貝葉斯定理，后驗概率為：\[P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}=\frac{0.95×0.005}{0.02465}=\frac{0.00475}{0.02465}≈0.1927\]因此，檢測結果為陽性時，水樣實際含菌的概率約為19.27%。---某品牌手機電池標稱續(xù)航時間為12小時（均值）。為驗證該標稱值，質檢部門從生產線隨機抽取36塊電池，測得平均續(xù)航時間為11.8小時，樣本標準差為0.6小時。假設電池續(xù)航時間服從正態(tài)分布，顯著性水平\(\alpha=0.05\)，檢驗該品牌電池的實際平均續(xù)航時間是否低于標稱值。解答本題為單樣本均值的單側t檢驗（總體方差未知，樣本量\(n=36\)為大樣本，也可用z檢驗近似）。步驟1：設定假設原假設\(H_0\)：\(\mu=12\)（實際平均續(xù)航時間等于標稱值）；備擇假設\(H_1\)：\(\mu<12\)（實際平均續(xù)航時間低于標稱值）。步驟2：確定檢驗統(tǒng)計量由于總體方差未知，使用t統(tǒng)計量（大樣本時t分布近似正態(tài)分布）：\[t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\]其中，\(\bar{x}=11.8\)，\(\mu_0=12\)，\(s=0.6\)，\(n=36\)。步驟3：計算檢驗統(tǒng)計量\[t=\frac{11.8-12}{0.6/\sqrt{36}}=\frac{-0.2}{0.6/6}=\frac{-0.2}{0.1}=-2\]步驟4：確定臨界值或p值顯著性水平\(\alpha=0.05\)，單側檢驗，自由度\(df=n-1=35\)。查t分布表，臨界值\(t_{0.05,35}≈-1.690\)（單側左尾）。步驟5：決策計算得到的t統(tǒng)計量為-2，小于臨界值-1.690，落在拒絕域內。因此拒絕原假設，認為該品牌電池的實際平均續(xù)航時間顯著低于標稱值。---某電商平臺為分析廣告投入對銷售額的影響，收集了過去12個月的廣告投入（\(x\)，單位：萬元）和對應月銷售額（\(y\)，單位：百萬元）數(shù)據(jù)，如下表：|廣告投入\(x\)|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13||--------------|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----||銷售額\(y\)|5|7|8|10|12|13|15|16|18|20|21|23|（1）計算廣告投入與銷售額的相關系數(shù)，判斷線性相關程度；（2）建立銷售額對廣告投入的一元線性回歸方程；（3）預測當廣告投入為15萬元時，銷售額的估計值。解答（1）相關系數(shù)計算相關系數(shù)\(r\)的計算公式為：\[r=\frac{n\sumxy-(\sumx)(\sumy)}{\sqrt{[n\sumx^2-(\sumx)^2][n\sumy^2-(\sumy)^2]}}\]首先計算所需統(tǒng)計量：-\(n=12\)-\(\sumx=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=90\)-\(\sumy=5+7+8+10+12+13+15+16+18+20+21+23=168\)-\(\sumxy=2×5+3×7+4×8+5×10+6×12+7×13+8×15+9×16+10×18+11×20+12×21+13×23=10+21+32+50+72+91+120+144+180+220+252+299=1,581\)-\(\sumx^2=2^2+3^2+…+13^2=4+9+16+25+36+49+64+81+100+121+144+169=819\)-\(\sumy^2=5^2+7^2+…+23^2=25+49+64+100+144+169+225+256+324+400+441+529=2,736\)代入公式：分子：\(12×1581-90×168=18,972-15,120=3,852\)分母：\(\sqrt{[12×819-90^2][12×2736-168^2]}=\sqrt{[9,828-8,100][32,832-28,224]}=\sqrt{1,728×4,608}=\sqrt{7,962,624}=2,822.4\)因此，\(r=3,852/2,822.4≈0.999\)（接近1），說明廣告投入與銷售額高度正線性相關。（2）一元線性回歸方程回歸方程形式為\(\hat{y}=a+bx\)，其中斜率\(b\)和截距\(a\)的計算公式為：\[b=\frac{n\sumxy-(\sumx)(\sumy)}{n\sumx^2-(\sumx)^2},\quada=\bar{y}-b\bar{x}\]計算\(b\)：\[b=\frac{3,852}{1,728}≈2.23\)（精確計算：\(3,852÷1,728=2.23\)）計算\(\bar{x}=90/12=7.5\)，\(\bar{y}=168/12=14\)，則：\[a=14-2.23×7.5=14-16.725=-2.725\]因此，回歸方程為：\(\hat{y}=-2.725+2.23x\)。（3）銷售額預測當廣告投入\(x=15\)萬元時，代入回歸方程：\[\hat{y}=-2.725+2.23×15=-2.725+33.45=30.725\]因此，廣告投入為15萬元時，銷售額估計值約為30.73百萬元（即3,073萬元）。---某超市為優(yōu)化庫存管理，記錄了過去100天的某種商品日銷量（單位：件），數(shù)據(jù)如下：|日銷量|0-10|11-20|21-30|31-40|41-50||--------|------|-------|-------|-------|-------||天數(shù)|5|20|35|30|10|（1）計算日銷量的均值和中位數(shù)；（2）估計日銷量的方差（用組中值計算）；（3）若日銷量服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，求日銷量超過40件的概率。解答（1）均值和中位數(shù)計算-均值：用組中值計算，各組中值分別為5,15,25,35,45。均值\(\bar{x}=\frac{\sumf_ix_i}{\sumf_i}\)，其中\(zhòng)(f_i\)為各組天數(shù)，\(x_i\)為組中值。計算得：\(\bar{x}=(5×5+20×15+35×25+30×35+10×45)/100=(25+300+875+1,050+450)/100=2,700/100=27\)件。-中位數(shù)：中位數(shù)位置為\(n/2=50\)，累計天數(shù)到前兩組為5+20=25，前三組為25+35=60，因此中位數(shù)在第三組（21-30）。中位數(shù)計算公式為：\[M_e=L+\frac{\frac