高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市質(zhì)檢聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】〖祥解〗雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程是，整理得．故選：．2.關(guān)于空間向量，下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知：，，均成立，即A、B、C正確；為與共線的向量，為與共線的向量，所以與不一定相等，故D錯(cuò)誤．故選：D.3.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得解得，所以橢圓的方程為.故選：A4.已知，，，若，，共面，則（）A.0 B.1 C.2 D.－1【答案】D【解析】因?yàn)楣裁?，所以，即，則解得.故選：D.5.圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬，水面下降后，水面寬度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).設(shè)拋物線的方程為，由點(diǎn)可得，解得，所以.當(dāng)時(shí)，，所以水面寬度為.故選：C.6.已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若線段軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.7.若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且和定圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）A.（） B.（）C.（） D.（）【答案】D【解析】定圓的圓心為，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)，由兩圓外切可得，所以,所以的軌跡為雙曲線的右支.設(shè)的軌跡方程為，則，所以軌跡方程為.故選：D.8.已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，因，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與在第一象限的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，下列結(jié)論正確的是（）A.直線過(guò)點(diǎn) B.直線的傾斜角為C. D.是等邊三角形【答案】ABD【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，而，所以直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；設(shè)直線的傾斜角，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.10.圓和圓的交點(diǎn)為，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.直線的方程為B.線段的中垂線方程為C.D.點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為8【答案】ABD【解析】對(duì)于A，將兩圓的方程作差，可得，即直線的方程為，A正確.對(duì)于B，圓，圓，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，，線段的中垂線經(jīng)過(guò)和的圓心，故線段的中垂線方程為，故B正確.對(duì)于C，圓的圓心到直線的距離為，故，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的最大值為，D正確.故選：ABD.11.若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（）A.若，則B.存在點(diǎn)H，使得平面C.線段長(zhǎng)度的最小值是D.存在點(diǎn)H，使得【答案】ABC【解析】對(duì)于A：因?yàn)闉橹彼睦庵?，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對(duì)于B：過(guò)點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確.對(duì)于D：若，則，得，無(wú)解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與互相垂直，則______.【答案】1【解析】直線的斜率，則直線的斜率，解得.故答案為：113.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，則____.【答案】6【解析】棱長(zhǎng)為的正方體中，連接，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，.14.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)與在第一象限的交點(diǎn)為，且，記的離心率分別為，則__________.【答案】2【解析】由題意可知，，所以.因?yàn)椋?，即，所?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知在中，，，，記的外接圓為圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線的方程.解：（1）（方法一）直線的方程為，、的中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，直線的方程為，、的中點(diǎn)為，線段的中垂線方程為.直線與直線的交點(diǎn)為，即圓的圓心為.點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，即圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法二）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，解得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓的圓心為，，直線的斜率為，所以切線斜率為，所求切線方程為，整理得.16.如圖，長(zhǎng)方體的底面是正方形，分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則.證明：.因?yàn)椋?，平面ACD1，所以平面.（2）解：易知為平面的一個(gè)法向量，且..易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.17.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，.（1）求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.解：（1）記，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.因?yàn)椋?，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，記，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，?由解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.設(shè)直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設(shè).聯(lián)立得，則，故.18.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面.（1）證明：.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則即令，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0左?右頂點(diǎn)分別為，圓過(guò)點(diǎn)，與雙曲線（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與雙曲線的左?右兩支的交點(diǎn)分別為，，連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，記直線與直線的交點(diǎn)為，證明：