高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省部分學校2025屆高三下學期5月模擬（二模）數(shù)學試卷一、單選題1．已知集合A={x|x≤1或x>4},B={x|x>2}，則?RA∩B=A．{x|2<x≤4} B．{x|2<x<4} C．{x|1<x≤4} D．{x|1<x<4}【答案】A【解析】由題設(shè)?RA={x|1<x≤4}，則?R故選：A.2．已知數(shù)列an的前n項和Sn=3nA．153 B．161 C．163 D．238【答案】B【解析】因為Sn=3n-n故選:B.3．函數(shù)f(x)=x+lnx-4的零點所在的區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】C【解析】函數(shù)f(x)=x+lnx-4的定義域為(0,+∞)，因為且f(2)=-2+ln2<0,f(3)=-1+ln由零點存在定理可知，函數(shù)f(x)=x+lnx-4的零點所在的區(qū)間是故選：C.4．已知x>0,y>0，則“l(fā)og2x+log2y≥0”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由x>0,y>0，則log2由log2當xy≥1時，∵x+y≥2xy≥2．故例如取x=2,y=18，則x+y>2，但故“l(fā)og2x+log2y≥0”故選：A.5．若一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的平均值x=5，方差A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】由題意得到刪去一個數(shù)之后，平均值沒有改變，所以刪除的數(shù)為5，由題意s2=1nn刪除一個數(shù)后的方差為：1n-1得32nn-1=40，即n=5故選：A.6．已知函數(shù)f(x)=6sinπxR的圖象上，相鄰的一個最高點與一個最低點恰好都在圓xA．4 B．42 C．2 D．【答案】B【解析】∵x2+y2=R2,∴x∈[-R,R].∵f(x)的最小正周期為故選：B.7．若函數(shù)f(x)=lg(x-1),x>1A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由f2(x)-3f(x)+2=0得[f(x)-1][f(x)-2]=0，解得f(x)=1或畫出f(x)的大致圖象如圖所示，由圖可知，此時方程有10個交點．（圖中只顯示了6個交點，當x>2或x<-2時，y=2和y=1與圖象還有4個交點，）故選：D.8．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,H為DD1上三等分點且靠近D1點，在側(cè)面ABB1A1內(nèi)作邊長為1的正方形EFGB1A．12 B．13 C．14 D．17【答案】B【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示，過P作PN⊥BB1，垂足為設(shè)P(x,3,z)，則H(3,0,2)，F(xiàn)(1,3,2),N(0,3,z)，且0≤x,z≤3，由PN=PF，即(x-1)2+(z-2)∴|HP|2=所以當x=2時，|HP|2取最小值故選：B二、多選題9．高考來臨之際，某校食堂的午飯針對高三學生推出了多種營養(yǎng)套餐，其中10元套餐是從A?B?C?D?A．甲選了A的概率為2B．甲選了A且乙不選B的概率為6C．甲乙兩人所選的菜品完全相同的概率為1D．甲乙兩人選的菜品恰有一個相同的概率為3【答案】BD【解析】對于A選項：甲同學選A這道菜的概率為C42C對于B選項：由A選項得甲選了A且乙不選B的概率為C42C對于C選項：甲乙兩人所選的菜完全相同的概率為1×1C5對于D選項：甲乙兩人選的菜恰有一個相同的概率為C51C4故選：BD.10．已知曲線C的方程為x2=y2-1，C與y軸交于A,B兩點，在C上任取一點P（不與A,B重合），作PE⊥yA．C關(guān)于原點O中心對稱 B．C與直線y=x無交點C．AE,PED．若直線PA,PB的斜率分別為k1,【答案】ACD【解析】由題意得,當y2-1≥0，即y≥1當y2-1≥0時，曲線方程為當y2-1≤0，即-1≤y≤1時，曲線方程為x2其圖象如圖所示，所以選項A正確，B錯誤；對于C中，設(shè)Px0,y0所以|PE|2=對于D中，由k1k2故選：ACD.11．已知數(shù)列an滿足an?ean+1=eaA．a(chǎn)2<ln2 B．a(chǎn)n>0【答案】ABD【解析】對于A，由a1=1又e<2，0<e-1<1，因此ln對于BC，設(shè)g(x)=ex-1-x當x<0時，g'(x)>0；當x>0時，g'(x)<0，函數(shù)g(x)在則g(x)<g(0)=0，即xex>當an>0時，ean>ean-1由a1=12，an<0不存在，則數(shù)列an滿足當a對于D，an+1-an=令h(x)=ex-1-x,0<x≤1，求導得h'(x)=exf'(x)=exex-1-1因此a2026-a2025>a故選：ABD三、填空題12．若復數(shù)z滿足z(1-2i)=i，則z在復平面內(nèi)對應的點位于第【答案】二【解析】由z(1-2i)=i則z位于第二象限．故答案為：二．13．已知向量a,b滿足a?b=2,b=(-1,1)【答案】(-1,1)【解析】由已知得，向量a在向量b上投影向量的坐標為a?b|故答案為：(-1,1)14．若函數(shù)f(x)=lnx+ax在定義域(0,+∞)上的最大值為b，則當ab【答案】-【解析】因為f(x)=lnx+ax且定義域為(0,+∞當a≥0時，f'(x)>0恒成立，則當a<0時，f'(x)>0有0<x<-1a，所以f(x)在0,-1a單調(diào)遞增，在所以f(x)在x=-1a處取得最大值，即所以ab=aln-1令g(x)=xln-1令g'(x)>0，得-1e2<x<0，令故g(x)在-∞,-1綜上，a=-1故答案為：-四、解答題15．已知橢圓C：x2a2+y2b2（1）求該橢圓的方程；（2）直線l交橢圓C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0，且∠PAQ=π2，求△PAQ解：（1）由題意得1-b2a故橢圓C：x2（2）如圖，設(shè)直線AP的傾斜角為α，由∠PAQ=π2，得α=π4，kAP即AP：y=x-3，AQ：y=-x+1，聯(lián)立y=x-3x28+y22聯(lián)立y=-x+1x28+y22又A2,-1AP=145故S△PAQ16．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且1+sin（1）判斷△ABC的形狀；（2）設(shè)AB=1，且D是邊BC的中點，當∠CAD最大時，求△ABC的面積．解：（1）因為1+sin2Acos2A=1+sin整理得sinAcosB-cos因為A,B∈(0,π)，則A-B∈-即A=B，則△ABC為等腰三角形．（2）由（1）及題設(shè)，有AC=BC=2CD，所以cos∠CAD=A=3AC8AD+AD又∠CAD為三角形內(nèi)角，所以∠CAD≤π6，即∠CAD的最大值為π此時ADAC=32，又CDAC故AD2+CD2=A可得△ABC為正三角形，又AB=1，所以當∠CAD最大時，△ABC的面積S=34×17．某微信群群主統(tǒng)計了本群最近一周內(nèi)隨機紅包（假設(shè)每個紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如下頻率分布直方圖.（1）群主預告今天晚上6點將有2個隨機紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包．小李是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小李至少一次搶到5元以上金額的紅包的概率；（2）群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)開展“紅包接龍游戲”，規(guī)則如下：第一個紅包由群主發(fā)，搶到“手氣最佳”者發(fā)下一輪，每個紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包，群主發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為12；其他成員發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為14．設(shè)前n輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為X，第n輪由群主發(fā)紅包的概率為Pn．求Pn及解：（1）由題知，每個紅包搶到5元以上金額的概率為(0.054+0.040+0.032+0.008)×5=0.67，且2次紅包相互獨立，由獨立重復試驗概率公式，至少一次搶到5元以上金額的概率為C21×0.67×（2）由題意，P1=1,P由Pn+1-1∴Pn-13∴Pn-定義ξk=0為第k輪群主不發(fā)紅包，ξk故ξk服從兩點分布：P∴Eξk=1×則E(X)=Eξ1=P1+18．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2,AB=1,AB//CD且AB⊥AD.（1）當平面PAD⊥平面ABCD時，證明：平面PBC⊥平面PCD；（2）若BC⊥PB，求二面角B-PC-D的余弦值.（1）證明：由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，得AB⊥平面PAD，又AP，PD?平面PAD，則AB⊥AP，AB⊥PD，又AB//CD，于是PD⊥CD，由PA=PD=AD=CD=2，AB=1，得PB=PBD=AD2+AB取PC中點M，連接BM，DM，有PC⊥BM，PC⊥DM，又DM=12PC=2，BM=P而PC∩DM=M，PC?平面PCD，DM?平面PCD，因此BM⊥平面PCD，又BM?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.（2）解：取AD中點O，以O(shè)為原點，向量AB,OD的方向分別為垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，點P在平面xOz內(nèi)，OP=PD2-OD則P(3cosθ,0,PB=(1-3cosθ,-1,-3即(1-3cosθ)于是P(-1,0,2)，設(shè)平面PBC與平面PCD的法向量分別為n1=則n1?PB=2xn2?PD=x設(shè)二面角B-PC-D的平面角為θ，由圖觀察得該二面角所成角為鈍角，因此cosθ=-|所以二面角B-PC-D的余弦值為-10519．已知函數(shù)f(x)=2ax+axcos（1）當a=1時，求f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；（2）若對任意x≥0，都有f(x)≥0，求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：n∑解：（1）當a=1時f(x)=2x+xcosx-sinx，則所以當a=1時，f(x)在(0,f(0))處的切線方程為2x-y=0.（2）因為f(0)=0,f'(x)=2a+a要使f(x)≥0對任意x≥0恒成立，必有f'(0)≥0，即法一：令h(x)=sinx2+故h(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以h(x)≤h(0)=0，即sin此時，f(x)=ax(2+cos當a<13時，f'(0)<0，必存在x0所以f(x)在0,x0上單調(diào)遞減，所以實數(shù)a的取值范圍為13法二：當a≥13時，f(x)=ax(2+cos令g(x)=13x(2+令g'(x)=h(x)，則令h'(x)=t(x)，則①當0≤x<π時，t'(x)≥t'所以h'(x)≥h'(0)=0所以g'(x)≥g'(0)=0