人教版平面向量多選題專項訓練單元綜合模擬測評學能測試試題一、平面向量多選題1．題目文件丟失！2．下列說法中錯誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°答案：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B解析：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項錯誤.故錯誤的選項為ACD故選：ACD【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準確度要求比較高，中檔題.3．是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是單位向量 B．C． D．答案：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A.因為是邊長解析：ABD【分析】A.根據(jù)是邊長為2的等邊三角形和判斷；B.根據(jù)，，利用平面向量的減法運算得到判斷；C.根據(jù)，利用數(shù)量積運算判斷；D.根據(jù)，，利用數(shù)量積運算判斷.【詳解】A.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又，所以是單位向量，故正確；B.因為，，所以，所以，故正確；C.因為，所以，故錯誤；D.因為，，所以，所以，故正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查平面向量的概念，線性運算以及數(shù)量積運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4．在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊BC和AC上的中點，P是AE與BF的交點，則有（）A． B．C． D．答案：AC【分析】由已知結(jié)合平面知識及向量共線定理分別檢驗各選項即可.【詳解】如圖：根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，,A是正確的；因為EF是中位線，所以B是正確的；根據(jù)三角形重心解析：AC【分析】由已知結(jié)合平面知識及向量共線定理分別檢驗各選項即可.【詳解】如圖：根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，,A是正確的；因為EF是中位線，所以B是正確的；根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，CP=2PG，所以，所以C是正確的，D錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的簡單應(yīng)用，熟記一些基本結(jié)論是求解問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且()∥，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b方向上的投影為C．2m+n=4D．mn的最大值為2答案：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(解析：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結(jié)論，2m+n=4，結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有mn(2m?n)()2=2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A． B．C． D．答案：BC【分析】根據(jù)題設(shè)條件和三角形解的個數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于選項A中：由，所以，即三角形的三個角是確定的值，故只有一解；對于選項B中：因為，且，所以角有兩解析：BC【分析】根據(jù)題設(shè)條件和三角形解的個數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】對于選項A中：由，所以，即三角形的三個角是確定的值，故只有一解；對于選項B中：因為，且，所以角有兩解；對于選項C中：因為，且，所以角有兩解；對于選項D中：因為，且，所以角僅有一解.故選：BC.【點睛】本題主要考查了三角形解得個數(shù)的判定，其中解答中熟記三角形解得個數(shù)的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，不解三角形，確定下列判斷錯誤的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有兩解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，無解答案：ABC【分析】根據(jù)判斷三角形解的個數(shù)的結(jié)論：若為銳角，當時，三角形有唯一解；當時，三角形有兩解；當時，三角形無解：當時，三角形有唯一解.逐個判斷即可得解.【詳解】對于，因為為銳角且，所以三角解析：ABC【分析】根據(jù)判斷三角形解的個數(shù)的結(jié)論：若為銳角，當時，三角形有唯一解；當時，三角形有兩解；當時，三角形無解：當時，三角形有唯一解.逐個判斷即可得解.【詳解】對于，因為為銳角且，所以三角形有唯一解，故錯誤；對于，因為為銳角且，所以三角形有兩解，故錯誤；對于，因為為銳角且，所以三角形無解，故錯誤；對于，因為為銳角且，所以三角形無解，故正確.故選：ABC.【點睛】本題考查了判斷三角形解的個數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.8．中，，，面積，則邊（）A． B． C． D．答案：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或故選：AB【點睛】本題主要考查三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9．八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．在向量上的投影為答案：AB【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對于；故正確．對于，故正確．對于，，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故錯誤．對于解析：AB【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】圖2中的正八邊形，其中，對于；故正確．對于，故正確．對于，，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立．故錯誤．對于在向量上的投影，，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．10．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為答案：ACD【分析】先根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)正余弦定理計算并逐一判斷即可.【詳解】因為所以可設(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為解析：ACD【分析】先根據(jù)已知條件求得，再根據(jù)正余弦定理計算并逐一判斷即可.【詳解】因為所以可設(shè)：（其中），解得：所以，所以A正確；由上可知：邊最大，所以三角形中角最大，又，所以角為銳角，所以B錯誤；由上可知：邊最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角為銳角,可得：，所以，所以C正確；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正確.故選:ACD.【點睛】本題考查了正弦定理和與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.11．設(shè)、、是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．答案：AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，B選項錯誤；對于C選項，解析：AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，B選項錯誤；對于C選項，，C選項正確；對于D選項，，D選項正確.故選：AB.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查平面向量數(shù)量積的定義與運算律，考查計算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12．如圖所示，梯形為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根據(jù)向量的模及共線向量的定義解答即可；【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故解析：BD【分析】根據(jù)向量的模及共線向量的定義解答即可；【詳解】解：與顯然方向不相同，故不是相等向量，故錯誤；與表示等腰梯形兩腰的長度，所以，故正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故錯誤；等腰梯形的上底與下底平行，所以，故正確；故選：.【點睛】本題考查共線向量、相等向量、向量的模的理解，屬于基礎(chǔ)題.13．某人在A處向正東方向走后到達B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達C處,結(jié)果他離出發(fā)點恰好,那么x的值為()A． B． C． D．3答案：AB【分析】由余弦定理得，化簡即得解.【詳解】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.【點睛】本題主要考查余弦定理的實際應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.解析：AB【分析】由余弦定理得，化簡即得解.【詳解】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.【點睛】本題主要考查余弦定理的實際應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14．下列命題中正確的是()A．對于實數(shù)m和向量,恒有B．對于實數(shù)和向量,恒有C．若,則有D．若,則答案：ABD【詳解】解：對于：對于實數(shù)和向量、，根據(jù)向量的數(shù)乘滿足分配律，故恒有：，故正確．對于：對于實數(shù)，和向量，根據(jù)向量的數(shù)乘運算律，恒有，故正確．對于：若，當時，無法得到，故不正確．對解析：ABD【詳解】解：對于：對于實數(shù)和向量、，根據(jù)向量的數(shù)乘滿足分配律，故恒有：，故正確．對于：對于實數(shù)，和向量，根據(jù)向量的數(shù)乘運算律，恒有，故正確．對于：若，當時，無法得到，故不正確．對于：若，則成立，故正確．故選：．【點睛】本題考查相等的向量，相反的向量的定義，向量的數(shù)乘法則以及其幾何意義，注意考慮零向量的情況．15．題目文件丟失！二、平面向量及其應(yīng)用選擇題16．在中，若，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形解析：B【分析】利用兩角和與差公式化簡原式，可得答案．【詳解】因為，所以所以所以所以,所以,所以.所以三角形是等腰三角形.故選：B.【點睛】本題考查三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查兩角和與差公式以及兩角和與差公式的逆用，考查學生計算能力，屬于中檔題．17．在中，，則的形狀為（）．A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．不確定解析：B【分析】根據(jù)向量運算可知三角形中中線與垂線重合，可知三角形為等腰三角形，即可確定三角形形狀.【詳解】因為，所以，即，所以在中，與邊上的中線垂直，則，同理，，所以，是等邊三角形．故選：B【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積，向量垂直，考查了運算能力，屬于中檔題.18．已知，，，(m，).存在，，對于任意實數(shù)m，n，不等式恒成立，則實數(shù)T的取值范圍為（）A． B． C． D．解析：A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放縮，轉(zhuǎn)化即求最小值，再轉(zhuǎn)化為等邊三角形的邊的中點和一條直線上動點的距離最小值.當運動到時且反向時，取得最小值得解.【詳解】，,易得設(shè)，中點為，中點為則在單位圓上運動，且三角形是等邊三角形,，所在直線方程為因為恒成立，,(當且僅當與共線同向，即與共線反向時等號成立)即求最小值.三角形是等邊三角形，在單位圓上運動，是中點，的軌跡是以原點為圓心，半徑為的一個圓.又在直線方程為上運動，當運動到時且反向時，取得最小值此時到直線的距離故選：A【點睛】本題考查平面向量與幾何綜合問題解決向量三角不等式恒成立.平面向量與幾何綜合問題的求解坐標法：把問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的研究，再把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關(guān)點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．19．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4解析：D【分析】本題考查的知識點是向量的加減法及其幾何意義、及零向量，我們根據(jù)已知中的圖形，結(jié)合向量加減法的三角形法則，對題目中的四個結(jié)論逐一進行判斷，即可得到答案．【詳解】①如圖可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正確．②＝＋＝＋＝＋，故②正確．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正確．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正確．故選D.【點睛】本題考查的主要知識點是向量加減法及其幾何意義，關(guān)鍵是要根據(jù)向量加減法及其幾何意義，將未知的向量分解為已知向量．20．已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．解析：B【分析】將轉(zhuǎn)化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.21．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，點F在線段CD上，且，AE與BF交于點P，若，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】設(shè)出，求得，再利用向量相等求解即可.【詳解】連接AF，因為B，P，F(xiàn)三點共線，所以，因為，所以，所以.因為E是BC的中點，所以.因為，所以，則，解得.故選：A【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.22．在中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若，則等于（）A． B． C． D．解析：D【分析】由，利用余弦定理、三角形的面積計算公式可得：，化為，與．解出即可．【詳解】解：，，，所以，因為．解得或．因為，所以舍去．．故選：．【點睛】本題考查了余弦定理、三角形的面積計算公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．23．在中，角、、所對的邊分別是、、，若，，，則等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得，進而可得，再利用正弦定理即可得出．【詳解】解：，．，．．由正弦定理可得：，．故選：．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、正弦定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．24．已知，且關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是()A． B． C． D．解析：B【分析】根據(jù)方程有實根得到，利用向量模長關(guān)系可求得，根據(jù)向量夾角所處的范圍可求得結(jié)果.【詳解】關(guān)于的方程有實根設(shè)與的夾角為，則又又本題正確選項：【點睛】本題考查向量夾角的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用方程有實根得到關(guān)于夾角余弦值的取值范圍，從而根據(jù)向量夾角范圍得到結(jié)果.25．內(nèi)有一點，滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：由題意，在內(nèi)有一點，滿足，利用三角形的奔馳定理，即可求解結(jié)論．詳解：由題意，在內(nèi)有一點，滿足，由奔馳定理可得，所以，故選A．點睛：本題考查了向量的應(yīng)用，對于向量的應(yīng)用問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用，利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．26．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．解析：B【分析】選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.27．下列說法中說法正確的有（）①零向量與任一向量平行；②若，則；③④；⑤若，則，，為一個三角形的三個頂點；⑥一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥解析：A【分析】直接利用向量的基礎(chǔ)知