河南省偃師市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編專題測評考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A．2 B． C． D．42、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．153、如圖，以Rt△ABC的兩直角邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，則斜邊AB的長是（

）A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm4、如圖，中，，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作：①以點C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點G；分別以點G、B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交點K，作射線CK；②以點B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點M，交AB的延長線于N，分別以M、N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作直線BP交AC的延長線于點D，交射線CK于點E．請你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題；過點D作交AB的延長線于點F，若，，則CE的長為（

）A．13 B． C． D．5、下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）個A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6、如圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b，且，大正方形的面積是9，則小正方形的面積是（

）A．3 B．4 C．5 D．67、如圖，嘉嘉在A時測得一棵4米高的樹的影長為，若A時和B時兩次日照的光線互相垂直，則B時的影長為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：________．2、如圖，在的網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，的頂點、、都在格點上，點為邊的中點，則線段的長為________．3、如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結(jié)果保留根號）．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC∶BC=1∶7，AB=100米，則AC=_________米．5、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，正方形A、B、C的面積分別是，，，則正方形D的面積是______．6、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積等于_________cm2．7、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個問題：已知甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據(jù)勾股定理可列得方程為______．8、若△ABC中，cm，cm，高cm，則BC的長為________cm．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，，，于A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求E應(yīng)建在距A多遠(yuǎn)處？2、如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF．(1)求證：；(2)連接EF，取EF中點G，連接DG并延長交BC于H，連接BG．①依題意，補全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．3、如圖，小明家在一條東西走向的公路北側(cè)米的點處，小紅家位于小明家北米（米）、東米（米）點處．（1）求小明家離小紅家的距離；（2）現(xiàn)要在公路上的點處建一個快遞驛站，使最小，請確定點的位置，并求的最小值．4、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2．求整式B．聯(lián)想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中B的值；直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ8勾股數(shù)組Ⅱ355、如圖，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，AB＝AC．(1)求證：△ABD≌△ACE．(2)連接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面積．6、如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的長．7、我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈八，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部6尺遠(yuǎn)．問：折處離地還有多高的竹子？（1丈=10尺）-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴，由翻折得AE=AB=10，DE=BD，∴CE=AE-AC=10-8=2，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故選：B．【考點】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．2、D【解析】【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理的應(yīng)用并能得出平面展開圖是解題的關(guān)鍵．3、D【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根據(jù)勾股定理即可得到AB2，從而可以求得AB的值．【詳解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故選：D．【考點】本題考查正方形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確正方形的面積是邊長的平方．4、D【解析】【分析】先證明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，設(shè)CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1=∠2=∠3，∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，∴∠CEB=∠CDE，∴CD=CE，在△DBC和△DBF中，，∴△BDC≌△BDF（AAS），∴CD=DF，BC=BF=5，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，設(shè)EC=CD=DF=x，在Rt△ADF中，則有（12+x）2=x2+182，∴x=，∴CE=，故選D．【考點】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．5、A【解析】【分析】分別計算圖形的面積進(jìn)行證明即可．【詳解】解：A、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；B、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；C、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；D、由可得，故該項的圖形能夠驗證勾股定理；故選：A．【考點】此題考查了圖形與勾股定理的推導(dǎo)，熟記勾股定理的計算公式及各種圖形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．6、A【解析】【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積?4個直角三角形的面積，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面積為9，可以得出直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面積為：a2+b2=9，∴2ab=15?9=6，即ab=3，∴直角三角形的面積為：，∴小正方形的面積為：，故選：A．【考點】此題主要考查了完全平方公式及勾股定理的應(yīng)用，熟練應(yīng)用完全平方公式及勾股定理是解題關(guān)鍵．7、A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，由勾股定理，得FC=，EC2=，EC2=，∴=，令DE=x，則EF=x+8，∴，整理，得16x=32，解得x=2．故選：A．【考點】本題考查利用勾股定理求線段長，拓展一元一次方程，正確的運算能力是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題1、11，60，61【解析】【分析】由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，知第5組第一個數(shù)是11，第二、第三個數(shù)相差為1，設(shè)第二個數(shù)為x，則第三個數(shù)為，由勾股定理得：，計算求解即可．【詳解】解：由所給勾股數(shù)發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，∴知第5組第一個數(shù)是11，第二、第三個數(shù)相差為1，設(shè)第二個數(shù)為x，則第三個數(shù)為，由勾股定理得：，解得x＝60，∴第5組數(shù)是：11、60、61故答案為：11、60、61．【考點】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)規(guī)律．2、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，則AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵點O為AB邊的中點，∴CO=AB=2.5，故答案為：2.5．【考點】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．3、．【解析】【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【考點】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．4、【解析】【分析】首先根據(jù)BC，AC的比設(shè)出BC，AC，然后利用勾股定理列式計算求得a，即可求解．【詳解】解：∵AC∶BC=1∶7，∴設(shè)AC=a，則BC=7a，∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴1002=a2+(7a)2，解得：a=10，∴AC=10米．故答案為：10．【考點】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5、15【解析】【分析】根據(jù)勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】解：如圖，根據(jù)勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面積=49-8-12-14=15（cm2）；故答案為：15．【考點】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積．6、24【解析】【分析】利用勾股定理，可得：a2+b2＝c2＝100，即（a+b）2﹣2ab＝100，可得ab＝48，即可得出面積．【詳解】解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2＝100，∴（a+b）2﹣2ab＝100，∴196﹣2ab＝100，∴ab＝48，∴S△ABC＝＝24cm2；故答案為：24．【考點】本題考查勾股定理、完全平方公式的變形求值、三角形面積計算的運用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．7、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇，這時乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．8、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不確定，應(yīng)分情況進(jìn)行討論：（1）高在內(nèi)部；（2）高在外部，依此即可求解．【詳解】解：如圖（1）cm，cm，，則，，則；如圖（2），由（1）得，，則．則的長為或．故答案為或．【考點】此題考查了勾股定理，本題需注意高的位置不確定，應(yīng)根據(jù)三角形的形狀分兩種情況討論．三、解答題1、E應(yīng)建在距A點15km處【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得和，再根據(jù)列式計算即可；【詳解】設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，E應(yīng)建在距A點15km處．【考點】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．2、(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）證△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再證∠EDF＝90°，即可得出結(jié)論；（2）①依題意，補全圖形即可；②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DG＝EF，BG＝EF，即可得出結(jié)論；③先證△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再證DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后證△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；(2)①解：依題意，補全圖形如圖所示：②證明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中點，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③BG2＋HG2＝4AE2，證明：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G為EF的中點，∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，∵∠DHF＋∠HFG＝∠DHF＋∠CDH＝90°，∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，∴∠CDF＝∠GDF?∠HDC＝22.5°＝∠CDH，又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，∴△CDH≌△CDF（ASA），∴CH＝CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2＋HG2＝HF2，∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，∴BG2＋HG2＝（2AE）2，∴BG2＋HG2＝4AE2．【考點】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．3、（1）米；（2）見解析，米【解析】【分析】（1）如圖，連接AB，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，作點A關(guān)于直線MN的對稱點A'，連接A'B交MN于點P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，連接AB，由題意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，∵AB＞0∴AB=1300米；（2）如圖，作點A關(guān)于直線MN的對稱點A'，連接A'B交MN于點P．驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值即為A'B，由題意知AD=200米，A'C⊥MN，∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，∵∠ACB=90°，∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，∵A'B＞0，∴A'B=1500米，即從驛站到小明家和到小紅家距離和的最小值為1500米．【考點】本題考查軸對稱-最短問題，勾股定理，題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題．4、A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根據(jù)整式的混合運算法則求出A，進(jìn)而求出B，再把n的值代入即可解答．【詳解】A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，當(dāng)2n＝8時，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝1