拉氏變換及反變換第1頁，共72頁。定義當(dāng)f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)，此項(xiàng)0拉氏變換積分上限說明：一、拉普拉斯變換F(s)=?[f(t)]f(t)=?

-1[F(s)]表示為：0—第2頁，共72頁。f(t)，t[0,)稱為原函數(shù)，屬時(shí)域。原函數(shù)用小寫字母表示，如f(t)

，i(t)，u(t)

F(s)稱為象函數(shù)，屬復(fù)頻域。象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。稱為復(fù)頻率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯變換對(duì)，記為：第3頁，共72頁。2.2常用函數(shù)的拉普拉斯變換（單位階躍函數(shù)）tu(t)F(s)=第4頁，共72頁。??(指數(shù)函數(shù))F(s)=第5頁，共72頁。=1?（單位脈沖函數(shù)）δ(t)t0第6頁，共72頁。（單位斜坡函數(shù)）

f(t)t0F(s)=L[f(t)]=第7頁，共72頁。??（冪函數(shù)）

第8頁，共72頁。?????第9頁，共72頁。常用函數(shù)的拉普拉斯變換表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δ(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw第10頁，共72頁。第11頁，共72頁。1f1(t)e-tt0例題求圖示兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式

1f2(t)e-tt0解由于定義的拉氏變換積分上限是0－，兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式相同當(dāng)取上式的反變換時(shí)，只能表示出區(qū)間的函數(shù)式?-1第12頁，共72頁。2.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)???例1?例2??第13頁，共72頁。二、微分定理??例1????第14頁，共72頁。初態(tài)為r(0-)及r/(0-)，原始值為e(0-)=0，求r(t)的象函數(shù)。解：設(shè)r(t)，e(t)均可進(jìn)行拉氏變換即有E(S)=L[e(t)],R(S)=L[r(t)]對(duì)方程兩端進(jìn)行拉氏變換，應(yīng)用線性組合與微分定理可得[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0例3

某動(dòng)態(tài)電路的輸入—輸出方程為第15頁，共72頁。三、積分定理例??第16頁，共72頁。四、時(shí)域平移f(t)f(t-t0)平移?第17頁，共72頁。例1例2??五、S域平移??例3?第18頁，共72頁。六、初值定理和終值定理初值定理若?[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0處無沖激，則終值定理f(t)及其導(dǎo)數(shù)f

(t)可進(jìn)行拉氏變換，且第19頁，共72頁。例1例2例3?第20頁，共72頁。例4：已知F(s)=

解：由初值定理得，求f(0)和f(∞)由終值定理得第21頁，共72頁。例右圖所示電路中，電壓源為，試用時(shí)域卷積定理求零狀態(tài)響應(yīng)電流i(t)。七、時(shí)域卷積性i(t)RL解（1）寫出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（2）作Laplace變換得系統(tǒng)方框圖h(t)Ui(s)H(s)I(s)第22頁，共72頁。零狀態(tài)響應(yīng)電流I(s)=Ui(s)H(s)=?[ui(t)]

H(s)

=??-1[I(s)]i(t)=（4）應(yīng)用時(shí)域卷積定理（3）求系統(tǒng)傳遞函數(shù)h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作Laplace反變換得第23頁，共72頁。八、S域卷積性九、尺度變換性第24頁，共72頁。拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表第25頁，共72頁。拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表第26頁，共72頁。拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表第27頁，共72頁。本講小結(jié)：拉普拉斯變換定義常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)第28頁，共72頁。第29頁，共72頁。(1)?利用第30頁，共72頁。第31頁，共72頁。第32頁，共72頁。第33頁，共72頁。第34頁，共72頁。第35頁，共72頁。第36頁，共72頁。第37頁，共72頁。作業(yè)1、寫出拉普拉斯變換定義式2、第38頁，共72頁。1(s-1)2__第39頁，共72頁。第40頁，共72頁。二、拉普拉斯反變換1、由象函數(shù)求原函數(shù)（2）經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式

較麻煩

第41頁，共72頁。象函數(shù)的一般形式：

2、將F(s)進(jìn)行部分分式展開第42頁，共72頁。等式兩邊同乘(s-s1)=0(t≥0)第43頁，共72頁。例1

解：

F(S)第44頁，共72頁。例2

（m=n，用長除法）解：

F(S)第45頁，共72頁。（k1,k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)）

假設(shè)只有兩個(gè)根設(shè)解：則歐拉公式第46頁，共72頁。例1

法一：

部分分式法展開，求系數(shù)。

第47頁，共72頁。法二：將F2(s)改寫為(s＋

)2+2F(S)=第48頁，共72頁。等式兩邊同乘第49頁，共72頁。例1

等式兩邊乘

得

第50頁，共72頁。例2

等式兩邊乘

第51頁，共72頁。第52頁，共72頁。第53頁，共72頁。（4）一般多重根情況

第54頁，共72頁。練習(xí)1:求其原函數(shù)第55頁，共72頁。s第56頁，共72頁。練習(xí)2:因?yàn)閙>n，故采用第57頁，共72頁。第58頁，共72頁。同理可求第59頁，共72頁。練習(xí)3:第60頁，共72頁。第61頁，共72頁。（t≥0）第62頁，共72頁。練習(xí)4:第63頁，共72頁。第64頁，共72頁。第65頁，共72頁。

2.5用拉氏變換法求解常微分方程,n作Laplace變換第66頁，共72頁。第67頁，共72頁。例1:1(t>0)0(t≤0)第68頁，共72頁。第69頁，共72頁。第70頁，共72頁。例如圖所示