第18講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式證明第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用202X/01/01匯報(bào)人：研題型素養(yǎng)養(yǎng)成01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1構(gòu)造新函數(shù)求最值證明不等式 (2024·深圳二模)已知函數(shù)f(x)＝(ax＋1)ex，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)－f(x)＝2ex.(1)若曲線y＝f(x)在x＝0處的切線為y＝kx＋b，求k，b的值；1【解答】因?yàn)閒(x)＝(ax＋1)ex，所以f′(x)＝(ax＋a＋1)ex，因?yàn)閒′(x)－f(x)＝2ex，所以a＝2，則曲線y＝f(x)在x＝0處的切線斜率為f′(0)＝3.又因?yàn)閒(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y＝3x＋1，即k＝3，b＝1.(2024·深圳二模)已知函數(shù)f(x)＝(ax＋1)ex，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)－f(x)＝2ex.(2)在(1)的條件下，求證：f(x)≥kx＋b.【解答】證明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x).【解答】 (2024·威海二模節(jié)選)求證：lnx＋x＋1≤xex.變式1

目標(biāo)2隔離分析證明不等式

已知f(x)＝x2－xlnx.(1)求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；2【解答】因?yàn)閒(x)＝x2－xlnx，所以f(1)＝1，f′(x)＝2x－lnx－1，則f′(1)＝1，所以所求切線方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.已知f(x)＝x2－xlnx.(2)當(dāng)a∈(0，2e)時(shí)，求證：2x2－(2x＋a)lnx＞0.【解答】目標(biāo)3利用放縮法證明不等式 (2024·福州2月質(zhì)檢節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－x2－1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；3【解答】(2024·福州2月質(zhì)檢節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝xlnx－x2－1.【解答】【解答】因?yàn)閒(x)＝ax－sinx，所以f′(x)＝a－cosx.由函數(shù)f(x)為增函數(shù)，知f′(x)＝a－cosx≥0恒成立，即a≥cosx在R上恒成立．因?yàn)閥＝cosx∈[－1，1]，所以a≥1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞).

已知函數(shù)f(x)＝ax－sinx.(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；變式3

【解析】由(1)知，當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－sinx為增函數(shù)．當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(0)＝0，即x＞sinx.要證當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞2sinx，只需證當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞2x，即證ex－2x＞0在(0，＋∞)上恒成立．設(shè)g(x)＝ex－2x(x＞0)，則g′(x)＝ex－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln2，所以g(x)在(0，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)min＝g(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)＞0，所以g(x)≥g(ln2)＞0，所以ex＞2x成立．故當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞2sinx.已知函數(shù)f(x)＝ax－sinx.(2)求證：當(dāng)x＞0時(shí)，ex＞2sinx.(提示：用x＞sinx放縮)【解答】【解答】配套精練02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題A組夯基精練1.(2024·武漢5月訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝－f′(1)x2＋x＋2lnx.(1)求f′(1)，并寫出f(x)的表達(dá)式；【解答】1.(2024·武漢5月訓(xùn)練)已知函數(shù)f(x)＝－f′(1)x2＋x＋2lnx.(2)求證：f(x)≤x－1.【解答】2.(2024·全國(guó)甲卷文)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；【解答】2.(2024·全國(guó)甲卷文)已知函數(shù)f(x)＝a(x－1)－lnx＋1.(2)若a≤2時(shí)，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜ex-1恒成立．【解答】3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；【解答】因?yàn)閒(x)＝a(ex＋a)－x，定義域?yàn)镽，所以f′(x)＝aex－1.當(dāng)a≤0時(shí)，由于ex＞0，則aex≤0，故f′(x)＝aex－1＜0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－lna，當(dāng)x＜－lna時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞－lna時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時(shí)，