第57講正態(tài)分布第十章計數(shù)原理、概率及其分布202X/01/01匯報人：鏈教材夯基固本01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.(人A選必三P87練習(xí)T1)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，則X的密度函數(shù)為_________________，P(X≤0)＝_____，P(|X|≤1)≈_________，P(X＞1)≈_________．(精確到0.0001)【解析】0.50.68270.15872.(人A選必三P87練習(xí)T2)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，22)，隨機(jī)變量Y～N(0，32)，則P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系是___________________________．【解析】如圖，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正態(tài)密度曲線都關(guān)于y軸對稱，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因為σ越大，曲線越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)3.(人A選必三P87習(xí)題T2)某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170，52)，現(xiàn)隨機(jī)選擇一名該市高二年級的男生，則P(165≤X≤175)＝__________．【解析】由題可得身高X作為變量符合均值為μ＝170，σ＝5的正態(tài)分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6827.0.68274.(人A選必三P87習(xí)題T3)若X～N(μ，σ2)，則X位于區(qū)域[μ，μ＋σ]內(nèi)的概率是___________．【解析】0.341355.(人A選必三P87習(xí)題T4)袋裝食鹽標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g，規(guī)定誤差的絕對值不超過4g就認(rèn)為合格．假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取100袋食鹽，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4，可估計這批袋裝食鹽的合格率為__________．【解析】設(shè)誤差為X，則X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率約為95.45%.95.45%X～N(μ，σ2)x＝μx＝μ3.3σ原則：假設(shè)X～N(μ，σ2)，則

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4.正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝_____．μσ2研題型素養(yǎng)養(yǎng)成02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題目標(biāo)1正態(tài)分布的性質(zhì)(多選)若X～N(μ，σ2)，則下列說法正確的是 (

)A.P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)B.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)C.P(X＜μ＋σ)不隨μ，σ的變化而變化D.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)隨μ，σ的變化而變化1【解析】由題意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B錯誤；P(X＜μ＋σ)為定值，不隨μ，σ的變化而變化，故C正確；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)為定值，也不隨μ，σ的變化而變化，故D錯誤．AC(1)當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定．曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．(2)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．變式1

【解析】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)得X，Y的正態(tài)密度曲線分別關(guān)于直線x＝μ1，x＝μ2對稱．對于A，由圖象得μ1＜μ2，所以P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A不正確；對于B，由圖象得X的正態(tài)密度曲線較Y的正態(tài)密度曲線“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B不正確；對于C，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)知函數(shù)F(t)＝P(X＞t)在R上單調(diào)遞減，故C不正確；對于D，根據(jù)3σ原則，無論σ

取何值時，都有P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)≈0.9545，故D正確．【答案】D目標(biāo)2正態(tài)分布下的概率計算2【解析】【答案】BC解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)正態(tài)密度曲線的對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在μ＝0時正態(tài)密度曲線的對稱軸才為x＝0.題組高頻強(qiáng)化AC2.(2024·唐山二模)某地區(qū)5000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X(單位：分)服從正態(tài)分布N(90，σ2)，且成績在[90，100]的學(xué)生人數(shù)約為1800，則估計成績在100分以上的學(xué)生人數(shù)約為 (

)A.200 B.700

C.1400 D.2500【解析】B【解析】【答案】BC目標(biāo)3正態(tài)分布的應(yīng)用(2024·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)單位面積穗數(shù)、穗粒數(shù)、千粒重是影響小麥產(chǎn)量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機(jī)選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計得到如下統(tǒng)計表：3穗粒數(shù)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表．從收獲的小麥粒中隨機(jī)選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質(zhì)量(單位：g)分別為38，46，42，40，44.(1)根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產(chǎn)量(結(jié)果四舍五入到1kg)；【解答】(2)已知該試驗田穗粒數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差．若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的80%，則稱該小麥品種為優(yōu)質(zhì)小麥品種，試判斷該試驗田中的小麥品種是否為優(yōu)質(zhì)小麥品種，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827.【解答】1.(2024·煙臺、德州二模)若隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，且P(ξ＞4)＝0.2，則P(2＜ξ＜3)等于 (

)A.0.2 B.0.3

C.0.4 D.0.5【解析】由隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知P(ξ＞3)＝0.5，因為P(ξ＞4)＝0.2，所以P(3＜ξ≤4)＝P(ξ＞3)－P(ξ＞4)＝0.5－0.2＝0.3.再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知P(2＜ξ＜3)＝P(3＜ξ＜4)＝P(3＜ξ≤4)＝0.3.B【解析】ACD3.(2024·廣州二模)已知一批砂糖橘的果實橫徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(45，52)，其中果實橫徑落在[40，55]的砂糖橘為優(yōu)質(zhì)品，則這批砂糖橘的優(yōu)質(zhì)品率約為(若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545) (

)A.0.6827 B.0.8186

C.0.8413 D.0.9545【解析】B4.(2024·汕頭二模)(多選)某校高三年級選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分X的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30，100]，若等級分X～N(80，25)，則 (

)參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.A.這次考試等級分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B.這次考試等級分超過80分的約有450人C.這次考試等級分在[65，95]內(nèi)的人數(shù)約為997D.P(70＜X≤75)＝0.1359【解析】【答案】CD5.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，則P(X＞2.5)＝_______．【解析】因為X～N(2，σ2)，所以P(X＞2)＝0.5，所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14配套精練03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題一、

單項選擇題1.(2024·廈門四檢)已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，則P(X＜3)＝ (

)A.0.2

B.0.3

C.0.7

D.0.8【解析】已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.3，則P(X≥3)＝P(X≤1)＝0.3，故P(X＜3)＝1－P(X≥3)＝0.7.C【解析】正態(tài)分布N(μ，σ)密度函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且彎曲較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭．故μ1＜μ2，σ1＜σ2.A【解析】D4.(2024·金華義烏三模)某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考(總分150分)，假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布N(95，122)，并按照16%，34%，34%，16%的比例將考試成績從高到低分為A，B，C，D四個等級．若某同學(xué)考試成績?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級為(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.95) (

)A.A

B.B

C.C

D.D【解析】【答案】B【解析】【答案】ABC【解析】【答案】BCD三、

填空題7.(2024·佛山二模)統(tǒng)計學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，簡稱為3σ原則．假設(shè)某廠有一條包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(400，σ2)(單位：g)，某天生產(chǎn)線上的檢測員隨機(jī)抽取了一包食鹽，稱得其質(zhì)量大于415g，他立即判斷生產(chǎn)線出現(xiàn)了異常，要求停產(chǎn)檢修．由此可以得出，σ的最大值是____．【解析】依題意，μ＝400，由3σ原則，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5.58.(2024·蘇中蘇北八市三調(diào))已知隨機(jī)變量X～N(4，42).若P(X＜3)＝0.3，則P(3＜X＜5)＝______；若Y＝2X＋1，則Y的方差為_____．【解析】因為P(X＜3)＝P(X＞5)＝0.3，所以P(3＜X＜5)＝1－2P(X＜3)＝0.4.由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝64.0.464【解析】四、

解答題10.(2024·南昌二模)一條生產(chǎn)電阻的生產(chǎn)線，生產(chǎn)正常時，生產(chǎn)的電阻阻值X(單位：Ω)服從正態(tài)分布N(1000，5