第一章解三角形本章概覽三維目標1．掌握正、余弦定理，能初步利用這兩個定理解斜三角形。能利用計算器解決有關解斜三角形的計算問題，能夠利用正、余弦定理等知識、方法解決一些與測量以及與幾何計算的有關的實際問題。2．通過對三角形的邊角關系的探究學習，體驗數(shù)學探究活動的過程，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識；在運用正、余弦定理解決一些實際問題的過程中，逐步養(yǎng)成實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，學會用數(shù)學的思維方式解決問題、認識世界；通過實習作業(yè)，體會“解三角形在測量中的應用”，提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力和實際操作能力；通過學習和應用，進一步體會數(shù)學的科學價值、應用價值，進而領會數(shù)學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化素養(yǎng)，并且由正、余弦定理的形式能感受到數(shù)學的美。3．通過對正、余弦定理的學習，要求對于三角形的的相關問題的解決能靈活地根據(jù)具體問題去恰當處理?？傊?，有了正、余弦定理之后，又給解決三角形的問題提供了一種新的思路，對于具體問題的解決都要具體分析，靈活地運用所學知識去應對實際生活中的各種可能的問題。4．本章中的有關三角形的一些實際問題，往往動筆計算比較復雜，象這樣的問題的計算就要求大家能用計算器或電腦來幫助計算，能根據(jù)精確度的需要保留相應的位數(shù)。盡管科學技術發(fā)展很快，但必要的計算能力對于一個現(xiàn)代人還是有必要的，所以平時大家還要注意訓練自己的運算速度與準確性，時刻注意鍛煉自己的意志力。5．本章學習了正、余弦定理后，對于以后遇到相關三角形的問題時，應當時時注意考慮運用這兩個定理去解決相關問題，但與此同時也不能忽視其它方面的知識的應用，否則可能問題不能順利解決，時時注意前后知識的關聯(lián)。本章知識網(wǎng)絡解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的變形形式解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的變形形式余弦定理的變形形式解三角形應用舉例測量實習第一版塊三點剖析一、正弦定理及其證明正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦定理揭示的是一般三角形中的重要邊角關系，它們是解三角形的兩個重要定理之一。對于正弦定理，課本首先引導學生回憶任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系，引導學生思考是否能得到這個邊、角關系準確量化表示的問題。由于涉及邊角之間的數(shù)量關系，就比較自然地引導到三角函數(shù)。在直角三角形中，邊之間的比就是銳角的三角函數(shù)。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快證明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察結論是否適用于銳角三角形，可以發(fā)現(xiàn)asinB和bsinA實際上表示了銳角三角形邊AB上的高。這樣，利用高的兩個不同表示，就容易證明銳角三角形中的正弦定理。鈍角三角形中定理的證明要應用正弦函數(shù)的誘導鈍角三角形中定理的證明要應用正弦函數(shù)的誘導公式，教科書要求學生自己通過探究來加以證明?？梢钥紤]采用向量的知識來證明。二、余弦定理及其證明余弦定理在一個三角形中，任一邊的平方都等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角的余弦的積的倍，即；；；余弦定理同樣揭示的是一般三角形中的重要邊角關系，它們是解三角形的兩個重要定理之一。由直角三角形三邊間的關系，歸納猜想任意三角形的邊角間的關系。自己學會探索、并試著去從理論上去解決。通過這個定理的探索并去從理論上證明，作為一個現(xiàn)代中學生，要掌握一些研究事物的方法、要學會學習，善于提出問題，并且試著去解決問題。同樣這個定理的證明也是采用了向量的相關知識很容易得到解決，向量知識在數(shù)學上的一個具體應用，這也體現(xiàn)了數(shù)學科學的特點之一：前后知識間聯(lián)系緊密。這也要求大家能夠?qū)⑶昂笾R聯(lián)系起來，而不應該是孤立地來學習某部分知識，而不善于將所學恰當?shù)貞茫@也要求大家能夠活學活用。當然這兩個定理的證明證明方法，自己還可以考慮采用比如平面幾何知識等其它的方法，以鍛煉自己的能力。三、正弦定理和余弦定理的應用正弦定理的應用：1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一個直接應用，正弦定理可以用于兩類解三角形的問題：（１）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。（２）

已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角.２．三角形解的個數(shù)一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形（已知a,b和A），用正弦定理求B時的各種情況：⑴若A為銳角時:，如下圖所示：⑵若A為直角或鈍角時:余弦定理的應用：利用余弦定理可以解決兩類解斜三角形問題：已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個角。問題與探究【問題1】正、余弦定理都揭示的是同一個三角形的邊角間的關系，有了這兩個重要定理后，對于三角形的問題好似有了兩把“寶劍”，那么這兩把“寶劍”如何恰當?shù)厥褂媚兀俊咎骄俊烤瓦@個問題，通常須具體問題而定、視題中所給的條件而定。一般說來，正弦定理常宜解決下列問題：（1）已知兩角及一邊，求其它元素；（2）已知兩邊及其中一邊的對角，求其它元素。而余弦定理常宜解決下列問題：（3）已知三邊，求各角；（4）已知兩邊及其夾角，求其它元素。由于三角形全等的判定定理有“角角邊”、“角邊角”、“邊邊邊”、“邊角邊”，所以以上的（1）、（3）、（4）情形都只有一解，而（2）這樣的情形可能有一解、兩解或無解。當然這也不是絕對的，有關解三角形的問題，在具體的問題中如何恰當?shù)厥褂眠@兩個定理，這的確必須視具體問題而定，有時在同一個問題中可能這兩個定理要同時使用才能達到目的或者使用其中的任何一個定理都可以達到目的。另外還應當注意使用方式，是利用定理的原始形式還是使用相應的某種變形形式，這都是要在具體問題中去具體地分析才行?！締栴}2】除了正、余弦定理所給出的同一個三角形的邊角間的關系外，是否還有其它的一些邊角關系呢？通過進一步地思考，由這兩個定理還可以得到在三角形中的怎樣一些結論？【探究】其實這兩個定理本身僅揭示的是同一個三角形的基本的邊角關系，還有很多其它的邊角關系。比如，由正弦定理及其它相關知識還可以有這樣的一些邊角關系：，，等。同樣由余弦定理也可得到另外一些邊角關系，以及把正、余弦定理結合在一起還可以得到一些新的結論，如：，等。（注：注意這些結論在解決相關問題時可以考慮恰當?shù)剡x用。）精題精講在中，若，，求的周長。思路解析：本題是是已知兩邊及其一邊所對的角，要求其周長，自然要考慮去尋求第三邊，容易想到由正弦定理去考慮，先找出其中某個內(nèi)角的大小或其正弦的大小，通過分析發(fā)現(xiàn)可以先將角給找出，進而把問題解決。解：由正弦定理得。，。當時，，，的周長為；當時，，，的周長為。綜上，的周長是或。黑色陷阱：此類問題容易漏解。在以上的解題目過程中，由容易簡單地得到，從而造成問題解答不全面，產(chǎn)生這樣的錯誤的原因是對于相關三角函數(shù)的知識模糊?！纠?】在中，分別是的對邊長,且。（1）求；（2）若，且，求的面積。思路解析：本題所給已知條件中，即有邊又有角，第一個問題是求其中一內(nèi)角的正弦，由此容易想到把已知條件中的邊轉化為相應的角，利用正弦定理、余弦定理可知，把已知條件中的邊角之間的關系全部轉化為角之間的關系，從而將問題解決。第二個問題容易想到利用三角形相應的面積公式，從而圍繞著公式去考慮需要些什么條件，決定去尋找相應的條件，把問題解決。解：（1）由正弦定理得，，又，，即，。又，，。又，；（2）在中，由余弦定理得，又，，。綠色通道：對于此類三角形中的問題解決，通常已知條件中既涉及到邊又涉及到角，通?？紤]問題有兩個方向：一是將所有的邊之間的關系轉化為角之間的關系；二是將所有的角之間的轉化為邊之間的關系從而將問題解決。當然這樣的問題究竟是將邊全部轉化為角好還是將角全部轉化為邊好，這要視具體問題而定，只有對于此類問題作了一定的練習之后，逐漸就會對于此類問題有所辦法。【例3】在中，分別是的對邊長，若，試判斷的形狀。思路解析：本題是根據(jù)已知條件判斷三角形的形狀問題，而已知條件中既涉及到邊又涉及角，所以容易想到借助于正、余弦定理將邊、角互化，從而將問題解決。解：由得，，即，，，，故為等腰直角三角形。綠色通道：類似本題這樣的的問題，判斷三角形的形狀，常常有兩種方式去考慮，一是從邊的角度去加以判斷，從而可以考慮將已知條件轉化為邊間的關系；二是從角的角度去判斷，從而可以考慮將已知條件轉化為角間的關系。【例4】已知有兩個小島相距21海里，島在島的正南方。現(xiàn)在甲船從島出發(fā)，以9海里/時的速度向島行駛，而乙船同時以6海里/時的速度離開島向南偏東方向行駛。問行駛多少時間后，兩船相距最近？并求出兩船的距離。思路解析：本題是實際生活中的數(shù)學問題，如何恰當?shù)貞盟鶎W數(shù)學知識去解決相關的實際問題，這也是學數(shù)學的真正目的。對于絕大多數(shù)同學來說，往往不能很好地去解決這樣的實際問題，這就說明同學的應用意識不強，只會學那些抽象的知識，并不能真正將其應用到生活中去解決問題，這樣的問題同學常常覺得難，這易入手。另外，這個問題中涉及到方位角，對于方位角的含義要求同學真正清楚，否則也容易出錯。本題在解決時同學自己應該能根據(jù)題意所述，畫出相應的示意圖來，從而幫助恰當?shù)亟鉀Q問題。顯然隨著時間的推移，兩船之間的距離要隨之而變化，故可以試著去建立以時間為變量的函數(shù)關系，從而把問題解決。解：設行駛小時后，甲船到達處，乙船到達處。則，由余弦定理得：當時，有最小值，最小值為海里。綠色通道：本題主要是要能夠根據(jù)題意所述，正確地畫出示意圖，并能根據(jù)題意所述正確列出函數(shù)關系式，從而把問題轉化為二次函數(shù)的最值問題。第二版塊基礎達標在中，已知，則其外接圓的半徑（）A．．Ｃ．.不確定1．思路解析：由于在中，有，故選A。答案：選A。2．在中，是的（）A．充分不必要條件Ｂ．必要不充分條件Ｃ．充要條件D．既不充分也不必要條件2．思路解析：由（其中是的外接圓半徑）得知，是的充要條件，從而得到正確答案。答案：選Ｃ。（注：此題的結論最好記住，這對于求解三角形中的有關三角函數(shù)值的計算很有幫助。）3．在中，分別是的對邊長，下列等式恒成立的是（）。．．．．3．思路解析：根據(jù)正弦定理可知有：，。答案：選。4．在中，分別是的對邊長，且，則（）。．．．．4．思路解析：根據(jù)正弦定理有：，答案：選。5．在中，已知三邊，試判斷的形狀。5．思路解析：本題主要涉及到三角形的形狀問題，在此可以借助于余弦定理判斷好象每個內(nèi)角是銳角、鈍角還是直角，事實上在此只要判斷其中的最大內(nèi)角是怎樣的角就可以了（因為這個三角形顯然不是等腰三角形），而要判斷它是怎樣的角，只要判斷其符號如何，即判斷與的大小即可。解：由題意知，所以最大，而，故內(nèi)角是銳角，故為銳角三角形。6．．在中，分別是的對邊長。已知成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。6．思路解析：本題已知條件中所出現(xiàn)的邊之間的關系及其形式，容易聯(lián)想到余弦定理，從而借助于余弦定理把相應角給找出，進而看后者，然而結合已知條件，看似不可求，但仔細結合正弦定理分析，從整體來看容易發(fā)現(xiàn)問題能夠解決。解：成等比數(shù)列，。又，。在中，由余弦定理得，。在中，由正弦定理得，又，。在中，分別是的對邊長。求證：。7．思路解析：本題要證的等式中既有邊又有角，同樣容易考慮到要么將邊化為角要么將角化為邊，從而借助于正、余弦定理把問題解決。證明：根據(jù)正弦定理知，要證明的等式等價于，又注意到，即要證：，即證：，即證：，亦即證：，而上式顯然成立，故成立。某觀測站在目標的南偏西方向，從出發(fā)有一條南偏東走向的公路，在處測得公路上與相距31千米的處有一人正沿此公路向走去，走20千米后到達處，此時測得、間的距離為21千米，求此人所在處距還有多少千米？8．思路解析：本題是與實際生活有關的問題，對于這樣的問題也是學數(shù)學、用數(shù)學的一個方面的體現(xiàn)，數(shù)學從實際生活中來，又反過來為實際生活服務。此題主要涉及到方位角，對于方位角不要要分清東南西北四個基本方向，然后對于一些方位術語要有清楚的認識才行，否則就容易出錯。解：由題意知，，，。在中，。由余弦定理得即，，或（舍）。故（千米），此人所在處距還有15千米。9.在中，分別是的對邊長，已知，且，求內(nèi)角的大小。9.思路解析：本題由第一個條件容易想到應用余弦定理從而可以將角求出,再由第二個條件容易想到從正弦定理出發(fā)，利用相關的邊角關系將問題解決。解：由得，。由得，即，，。綜合發(fā)展我緝私巡邏艇在一小島南西，距小島12海里的處，發(fā)現(xiàn)隱藏在小島邊上的一走私船正向島北西方向行駛，測得其速度為10海里/時，試問我巡邏艇必須用多大的速度朝什么方向航行才能恰好在兩小時后截獲走私船？（參考數(shù)據(jù)：）10．思路解析：本題來源于實際生活，涉及到方位角，所以象這樣的題目最好先根據(jù)題意畫出相應的示意圖，以幫助問題正確解決。對于題中所涉及的方位角，這就要求學生對于基本的方位一定要清楚，否則就會在解決問題的過程中出現(xiàn)問題，從而導致出錯。解；設我巡邏艇恰在處截獲走私船，我巡邏艇的航行速度為海里/時，則。依題意，，由余弦定理得，，。又由正弦定理得，，從而易知，我巡邏艇必須用14海里/時的速度向北東的方向航行。11．在一很大的湖岸邊（可視湖岸為一直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風刮起跑，其方向與湖岸成，速度為千米/時，同時岸邊有一人，從同一地點開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為千米/時。試問此人能否追上小船？若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？11．思路解析：本題是從實際生活中抽象出來的數(shù)學問題，要求學生根據(jù)已知條件畫出其示意圖來，以幫助思考、解決問題。另外還要求學生能將生活語言恰當?shù)剞D化為數(shù)學語言，要求人能追上小船這樣的生活語言，這樣的要求反映在數(shù)學上又是什么意思，這些都要求同學能正確地轉化。解：設小船的速度為千米/時，顯然當時，人不可能追上小船；當時，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段后再游水追趕，當人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個封閉的三角形時，人才能追上小船。設人追上小船所用時間為小時，其中人在岸上跑的時間為，則人在水中游的時間為小時，人要追上小船，則人船的運動路線必構成一個三角形。，由余弦定理得，即，整理得，要使這個關于的一元二次方程在內(nèi)有實數(shù)解，則必須有：且，由此解得，即。故當船速在時，人船運動路線可構成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為千米/時，由此可見當船速為千米/時時，人能追上小船。探究創(chuàng)新已知有兩座城市，根據(jù)你所學過的知識，試給出城市，使三點恰好構成以為斜邊的直角三角形的多種條件。12．思路解析：這個問題是從實際生活中所抽象出來的，只要能恰當?shù)貙⑵鋽?shù)學化，充分地利用所學數(shù)學知識，不難發(fā)現(xiàn)要給出使為以為斜邊的直角三角形的條件很多?？梢詮囊郧八鶎W的勾股定理的逆定理來考慮，也可以從這里學過的正、余弦定理來考慮，使得它為以為斜邊的直角三角形的條件是多種多樣的。解：下面僅列出一部分可以使為以為斜邊的直角三角形的條件：（注：記分別是的對邊長）（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）或；（6）；（7）；（8）；（9）。請同學們自己繼續(xù)思考是否還有其它的一些不同條件，也能夠保證為以為斜邊的直角三角形。并思考為什么以上的條件都能夠使得為以為斜邊的直角三角形。第三版塊合作共贏現(xiàn)在我們將全班同學分成個研究小組，閱讀下面的材料，并思考材料后的問題