2.2.2正、余弦定理的應(yīng)用舉例知識(shí)梳理2.解斜三角形的應(yīng)用問題，通常需根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過解這些三角形，得出所要求的量，從而得到實(shí)際問題的解，其中建立數(shù)學(xué)模型的方法是我們的歸宿，用數(shù)學(xué)手段來解決實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的。3.解題應(yīng)根據(jù)已知合理選擇正余弦定理，要求算法簡(jiǎn)潔、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確。典例剖析題型一正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用例1如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)＝2sin(θ－)＋∴當(dāng)θ－＝即θ＝時(shí)，ｙmax＝2＋評(píng)述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)定理的重要性另外，在求三角函數(shù)最值時(shí)，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)予以重視題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用例2如圖，有兩條相交成角的直線、，交點(diǎn)是，甲、乙分別在、上，起初甲離點(diǎn)千米，乙離點(diǎn)千米，后來兩人同時(shí)用每小時(shí)千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，（1）起初，兩人的距離是多少？（2）用包含的式子表示小時(shí)后兩人的距離；（3）什么時(shí)候兩人的距離最短？解：（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是、， 則， ∴起初，兩人的距離是．（2）設(shè)甲、乙兩人小時(shí)后的位置分別是， 則，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， 所以，．（3）， ∴當(dāng)時(shí)，即在第分鐘末，最短。答：在第分鐘末，兩人的距離最短。評(píng)析：（2）中，分0t和t>兩種情況進(jìn)行討論，但對(duì)兩種情形的結(jié)果進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)有統(tǒng)一的表達(dá)式，從而（3）中求最值是對(duì)這個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算的。備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用ABCMN例3如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G，設(shè)ABCMN（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S1與S2）；表示為的函數(shù)，（2）求y＝的最大值與最小值。D解析：（1）因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，D所以AG＝，MAG＝，由正弦定理得，則S1＝GMGAsin＝。同理可求得S2＝。（2）y＝＝＝72（3＋cot2）因?yàn)?，所以?dāng)＝或＝時(shí)，y取得最大值ymax＝240，當(dāng)＝時(shí)，y取得最小值ymin＝216。點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點(diǎn)。點(diǎn)擊雙基1．在△ABC中，，則△ABC的面積為 （） A.B. C. D.1解：S==4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80====答案：CC2.如圖所示:在一幢20m高的樓頂A測(cè)得對(duì)面一塔頂C的仰角為60,塔基D的俯角為45,則這座塔的高是()CA.20mB.10mC.(10+10)mD.(20+20)mA解：可知BAD=45,AE=20,AB=20,BAC=60,ABDECB=ABtan60=20所以這座塔的高CD=(20+20)mBDE答案：D3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是 （） A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100° C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°

D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°解：A,B可根據(jù)余弦定理求解，只有一解，選項(xiàng)C中，A為銳角，且a>b,只有一解.選項(xiàng)D中所以有兩個(gè)解。答案：D4.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西600，另一燈塔在船的南偏西750，則這艘船是每小時(shí)航行____。解：10海里DCBA5．某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車與第三輛車的距離之間的關(guān)系為（）DCBAA.B.C.D.不能確定大小E解：依題意知BC=,CD=,BAC=CAD.E△ABC中,△ACD中,BC<CD,即答案：C課后作業(yè)1.有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（） A.1公里B.sin10°公里C.cos10°公里D.cos20°公里答案：A2.邊長(zhǎng)分別為5，7，8的三角形的最大角與最小角的和是（）A.90B.120C.135D.150解：用余弦定理算出中間的角為60.答案：B3.下列條件中，△ABC是銳角三角形的是（）A.sinA+cosA= B.·＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=3，B=30°解：由sinA+cosA=得2sinAcosA=－＜0，∴A為鈍角.由·＞0，得·＜0，∴cos〈，〉＜0.∴B為鈍角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都為銳角.由=，得sinC=，∴C=或.答案：C4、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（ ）A． B． C． D．解：<a<答案：B5.某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮至少要（）A． 450a元 B．225 a元 C． 150a元 D.300a元20米30米20米30米150°解：S==150購買這種草皮至少要150a元答案：C6.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）A． 分鐘 B．分鐘 C．21.5分鐘 D．2.15分鐘解：設(shè)航行時(shí)間為t小時(shí)，則兩船相距=t=-小時(shí)=分鐘答案：A7.飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為60°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D．米解：=30°,DBC=60°,AB=1000.CB=10000.BD=5000答案：A8如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽棚，A、B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角為A75° B60° C50° D45°解：作CE⊥平面ABD于E，則∠CDE是太陽光線與地面所成的角，即∠CDE=40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于F，連結(jié)CF，則∠CFD是遮陽棚與地面所成的角，設(shè)為α要使S△ABD最大，只需DF最大在△CFD中，=∴DF=∵CF為定值，∴當(dāng)α=50°時(shí)，DF最大答案：C二．填空題9.某船在海面A處測(cè)得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測(cè)得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向。船由向正北方向航行到D處，測(cè)得燈塔B在南偏西方向。這時(shí)燈塔C與D相距海里答案：10.在△ABC中，已知60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍是解：asinB<b<a,即xsin60<2<x 答案： 11．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行,船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東，這時(shí)船與燈塔的距離為km答案：三．解答題12.某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開始時(shí)，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,則sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC===35從而有MB=MC-BC=15答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。13．如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知，，于A處測(cè)得水深，于B處測(cè)得水深，于C處測(cè)得水深，求∠DEF的余弦值。解：作交BE于N，交CF于M．，，．在中，由余弦定理，14.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，，又的面積為.（1）求角C的大?。唬?）求的值.解：（1）由已知得，所以，；（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以所以?==5●思悟小結(jié)1.三角形中的邊角問題的求解，或三角