4.5.3用尺規(guī)作角第4章

幾何圖形初步【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********4.5.3用尺規(guī)作角匯報(bào)人：[教師姓名]匯報(bào)班級(jí)：[具體班級(jí)]知識(shí)回顧在前面對(duì)角的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了角的定義、表示方法、度量與比較，以及補(bǔ)角和余角的相關(guān)知識(shí)。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)一種重要的幾何作圖方法——用尺規(guī)作角，即只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)作出一個(gè)角等于已知角。這種作圖方法不依賴于度量工具，是幾何推理和作圖的基礎(chǔ)技能。學(xué)習(xí)目標(biāo)了解尺規(guī)作圖的含義和基本工具（圓規(guī)、無(wú)刻度直尺）。掌握用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的步驟，并能獨(dú)立完成作圖。理解作圖的原理，能結(jié)合圖形說(shuō)明每一步操作的依據(jù)。培養(yǎng)動(dòng)手操作能力和幾何推理能力，感受尺規(guī)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。知識(shí)點(diǎn)：尺規(guī)作圖的基本概念定義尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)完成的作圖方法。其中，直尺的作用是連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)線段，圓規(guī)的作用是畫圓或圓弧，截取等長(zhǎng)的線段。特點(diǎn)不使用度量工具，作圖的準(zhǔn)確性依賴于圓規(guī)截取等長(zhǎng)線段和直尺連接直線的規(guī)范性。每一步操作都有嚴(yán)格的幾何依據(jù)，體現(xiàn)了幾何的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。知識(shí)點(diǎn)：用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角已知一個(gè)角∠AOB。求作一個(gè)角∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB。作圖步驟作射線O'A'：用直尺畫一條射線O'A'，作為要作的角的一邊。這是角的起始邊，相當(dāng)于已知角∠AOB的邊OA。以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫?。河脠A規(guī)的針尖固定在已知角的頂點(diǎn)O處，選取一個(gè)適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為半徑（半徑的長(zhǎng)度可以任意，但在后續(xù)步驟中要保持一致），畫一條弧，分別交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D。依據(jù)：圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合），此時(shí)OC=OD（同圓的半徑相等）。以點(diǎn)O'為圓心，OC的長(zhǎng)為半徑畫弧：保持圓規(guī)的半徑不變（即與步驟2中截取的OC長(zhǎng)度相等），將圓規(guī)的針尖固定在射線O'A'的端點(diǎn)O'處，畫一條弧，交O'A'于點(diǎn)C'。依據(jù)：圓規(guī)截取等長(zhǎng)線段，此時(shí)O'C'=OC=OD。以點(diǎn)C'為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫?。河脠A規(guī)量取已知角上弧CD的長(zhǎng)度（即圓規(guī)的針尖固定在點(diǎn)C，筆尖調(diào)整到點(diǎn)D處），然后將圓規(guī)的針尖固定在點(diǎn)C'處，畫一條弧，與步驟3中所畫的弧交于點(diǎn)D'。依據(jù)：等長(zhǎng)線段截取，此時(shí)C'D'=CD。過(guò)點(diǎn)D'作射線O'B'：用直尺連接點(diǎn)O'和點(diǎn)D'，并延長(zhǎng)為射線O'B'。此時(shí)，∠A'O'B'即為所求作的角，且∠A'O'B'=∠AOB。作圖圖示已知角∠AOB：A/|/|/|CO|\|\|D\|B作圖過(guò)程：1.作射線O'A'：O'——A'2.以O(shè)為圓心畫弧交OA于C，交OB于D：A/|/|/|CO———|——D\|\|\|B3.以O(shè)'為圓心，OC為半徑畫弧交O'A'于C'：O'——C'——A'4.以C'為圓心，CD為半徑畫弧交前弧于D'：O'——C'——A'\\D'5.作射線O'B'：D'//O'——C'——A'\\B'最終∠A'O'B'=∠AOB作圖原理在△OCD和△O'C'D'中：OC=O'C'（步驟2和3中截取的半徑相等）CD=C'D'（步驟4中截取的弧長(zhǎng)相等）OD=O'D'（步驟2和3中截取的半徑相等）根據(jù)“邊邊邊”（SSS）全等判定定理，△OCD≌△O'C'D'，因此對(duì)應(yīng)角相等，即∠COD=∠C'O'D'，也就是∠AOB=∠A'O'B'。這就是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的理論依據(jù)。例題解析例1：已知∠α，用尺規(guī)作一個(gè)角，使它等于∠α的2倍。解：作法如下：作∠AOB=∠α（按上述用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的步驟）。以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，OB為一邊，在∠AOB的外部作∠BOC=∠α。則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠α+∠α=2∠α，∠AOC即為所求作的角。例2：用尺規(guī)作圖，已知∠1和∠2，作一個(gè)角等于∠1+∠2。解：作法如下：作射線OA。以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊，作∠AOB=∠1。以O(shè)為頂點(diǎn)，OB為一邊，在∠AOB的外部作∠BOC=∠2。則∠AOC=∠AOB+∠BOC=∠1+∠2，∠AOC即為所求作的角。小練習(xí)填空題：（1）尺規(guī)作圖的工具是______和______。（2）用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角時(shí)，第2步和第3步都要畫弧，其中第2步是以______為圓心，第3步是以______為圓心，且這兩步畫弧的半徑______。（3）用尺規(guī)作角的理論依據(jù)是全等三角形的______判定定理（SSS）。作圖題：（1）已知∠ABC，用尺規(guī)作一個(gè)角等于∠ABC。（2）已知∠α和∠β（∠α＞∠β），用尺規(guī)作一個(gè)角等于∠α-∠β。簡(jiǎn)答題：（1）在“用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角”的步驟中，為什么要保證OC=O'C'，CD=C'D'，OD=O'D'？（2）用尺規(guī)作角與用量角器畫角有什么不同？思考討論除了作一個(gè)角等于已知角，你認(rèn)為用尺規(guī)還能作出哪些特殊角？（如60°、30°

等）可以作出60°

角：因?yàn)榈冗吶切蔚娜齻€(gè)角都是60°，所以可以用尺規(guī)作一個(gè)等邊三角形，其中的一個(gè)角就是60°。具體步驟：作一條線段AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧，以B為圓心，AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC和BC，則∠CAB=60°。在此基礎(chǔ)上，可以作出30°

角（作60°

角的角平分線）、90°

角（作兩個(gè)60°

角的和減去30°

角，或利用等腰直角三角形）等。尺規(guī)作圖在幾何學(xué)習(xí)中的意義是什么？尺規(guī)作圖是幾何的基本技能之一，它不依賴于度量，能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間想象能力；每一步操作都有嚴(yán)格的幾何依據(jù)，有助于學(xué)生理解幾何概念和定理，培養(yǎng)邏輯推理能力；同時(shí)，尺規(guī)作圖體現(xiàn)了幾何的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，是后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何作圖和證明的基礎(chǔ)。課堂小結(jié)尺規(guī)作圖的定義：只用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺進(jìn)行的作圖，強(qiáng)調(diào)不依賴度量，注重操作的規(guī)范性和依據(jù)的邏輯性。用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的步驟：作射線（起始邊）；已知角上畫弧（定半徑，得兩點(diǎn)）；新作射線上畫弧（同半徑，得對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；截取等長(zhǎng)?。ǘ硪稽c(diǎn)）；作射線（終邊）。作圖原理：通過(guò)構(gòu)造全等三角形（SSS），保證所作角與已知角相等。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們掌握了用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法，理解了作圖的原理和每一步操作的依據(jù)。這種作圖方法是幾何學(xué)習(xí)中的重要工具，在后續(xù)學(xué)習(xí)角的和差、角平分線的作圖等內(nèi)容時(shí)會(huì)經(jīng)常用到，希望同學(xué)們勤加練習(xí)，熟練掌握。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解圖形的繪制，圖案的設(shè)計(jì)，時(shí)常需要畫線段和角.新課導(dǎo)入之前我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用尺規(guī)作線段，那我們這節(jié)課來(lái)學(xué)一下如何用尺規(guī)作角吧！新知探究知識(shí)點(diǎn)作一個(gè)角等于已知角例

3已知∠M，畫∠AOB，使得∠AOB=∠M.M解用量角器量得∠M=110°.畫∠AOB=110°，∠AOB即為符合題意的角.MOAB操作如圖，張開(kāi)圓規(guī)，當(dāng)圓規(guī)兩足末端的距離為a時(shí)，圓規(guī)的張角為∠α.將圓規(guī)閉合后重新張開(kāi)，如何調(diào)整圓規(guī)使張角仍為∠α？調(diào)整圓規(guī)，使圓規(guī)兩足末端的距離為a

，這時(shí)圓規(guī)張角仍為∠α.基于上面的發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角.已知：∠AOB.求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.AOB作法：（1）作射線EG.（2）在∠AOB上以點(diǎn)O

為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線OA和OB于點(diǎn)P，Q；（3）以點(diǎn)E為圓心，線段OP長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線EG于點(diǎn)D.AOBEGPQDAOBEGPQD（4）以點(diǎn)D

為圓心，線段PQ長(zhǎng)為半徑畫弧，與（3）中所畫弧交于點(diǎn)F；（5）作射線EF.∠DEF即為所求作的角.F例

4

如圖，已知兩個(gè)角∠1和∠2（∠1＞∠2），求作這兩個(gè)角的和.12作法

作∠AOB=∠1，以O(shè)為頂點(diǎn)，OB為一邊在∠AOB外作∠BOC=∠2，那么∠AOC=∠1+∠2.12OABC121.如圖，已知∠α，用尺規(guī)作∠AOB=2∠α.練習(xí)α【教材P162練習(xí)第1題】解:如圖所示.作法:（1）作射線OD.（2）以∠α的頂點(diǎn)M為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫弧,分別與∠α的兩邊交于點(diǎn)P,Q.（3）以點(diǎn)О為圓心,線段MP長(zhǎng)為半徑畫弧,交射線OD于點(diǎn)A.（4）以點(diǎn)A為圓心,線段PQ長(zhǎng)為半徑畫弧,與（3）中所畫弧交于點(diǎn)E.（5）以點(diǎn)E為圓心,線段PQ長(zhǎng)為半徑畫弧,交（3）中所畫弧于點(diǎn)B（不在OD上）.（6）作射線OB.∠AOB=2∠α即為所求作的角.2.參考例4，作給定兩角的差.αβ【教材P162練習(xí)第2題】解：如圖所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.作法:①作∠AOC=∠α.②以點(diǎn)О為角的頂點(diǎn),OC為一邊,在∠AOC的內(nèi)部作∠COB=∠β,則∠AOB=∠α-∠β即為所求作的角.1.如圖，利用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點(diǎn)О為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作?、伲謩e交OA、OB于點(diǎn)E、F，那么作圖痕跡②的作法是（）A.以點(diǎn)F為圓心、OE長(zhǎng)為半徑作弧B.以點(diǎn)F為圓心、EF長(zhǎng)為半徑作弧C.以點(diǎn)E為圓心、OE長(zhǎng)為半徑作弧D.以點(diǎn)E為圓心、EF長(zhǎng)為半徑作弧隨堂練習(xí)D2.如圖①，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，射線BC為一邊，利用尺規(guī)作圖在∠CAD內(nèi)部作∠EBC，使∠EBC=∠A.解:如圖②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，BC為一邊在∠CAD內(nèi)部作∠EBC=∠A.∠EBC即為所求作的角.3.如圖①，已知∠α，∠β，求作一個(gè)角使它等于2∠α-∠β（保留作圖痕跡，不寫作法）.解:如圖，∠AOC即為所求作的2∠α-∠β.1星題

基礎(chǔ)練知識(shí)點(diǎn)

利用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角1.如圖，作一個(gè)角等于已知角(尺規(guī)作圖)的正確順序是____________.