數(shù)學(xué)等差數(shù)列多選題專項(xiàng)訓(xùn)練試題含答案一、等差數(shù)列多選題1．公差不為零的等差數(shù)列滿足，為前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．（）C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，解析：BC【分析】設(shè)公差d不為零,由，解得，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)公差d不為零,因?yàn)椋?，即，解得，，故A錯(cuò)誤；，故B正確；若，解得，，故C正確；D錯(cuò)誤；故選：BC2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)1=22 B．d=－2C．當(dāng)n=10或n=11時(shí)，Sn取得最大值 D．當(dāng)Sn>0時(shí)，n的最大值為21解析：BC【分析】分別運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷A，B；由配方法，結(jié)合n為正整數(shù)，可判斷C；由Sn>0解不等式可判斷D．【詳解】由公差，可得，即，①由a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，可得，即，化簡(jiǎn)得，②由①②解得，故A錯(cuò)，B對(duì)；由，可得或時(shí)，取最大值，C對(duì)；由Sn>0，解得，可得的最大值為，D錯(cuò)；故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．在下列四個(gè)式子確定數(shù)列是等差數(shù)列的條件是（）A．（，為常數(shù)，）； B．（為常數(shù)，）；C．； D．的前項(xiàng)和（）.解析：AC【分析】直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列．【詳解】A選項(xiàng)中（，為常數(shù)，），數(shù)列的關(guān)系式符合一次函數(shù)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確，B選項(xiàng)中（為常數(shù)，），不符合從第二項(xiàng)起，相鄰項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，對(duì)于數(shù)列符合等差中項(xiàng)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確；D選項(xiàng)的前項(xiàng)和（），不符合，所以不為等差數(shù)列．故錯(cuò)誤．故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．4．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中的真命題為（）.A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列解析：AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可得正確選項(xiàng).【詳解】，，所以是遞增數(shù)列，故①正確，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故②不正確，，當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列，故③不正確，，因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，故④正確，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B． C． D．解析：AC【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，求出，，由此能求出與．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．，，，解得，，．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A． B．C． D．解析：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為則下列說(shuō)法正確的是（）A．為等差數(shù)列 B．C．最小值為 D．為單調(diào)遞增數(shù)列解析：AD【分析】利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可對(duì)A，B，D進(jìn)行判斷，對(duì)進(jìn)行配方可對(duì)C進(jìn)行判斷【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，由于，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)楣畲笥诹?，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，所以A，D正確，B錯(cuò)誤，由于，而，所以當(dāng)或時(shí)，取最小值，且最小值為，所以C錯(cuò)誤，故選：AD【點(diǎn)睛】此題考查的關(guān)系，考查由遞推式求通項(xiàng)并判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的單調(diào)性和前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題8．定義為數(shù)列的“優(yōu)值”已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項(xiàng)和為，則（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．，，成等差數(shù)列解析：AC【分析】由題意可知，即，則時(shí)，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，判斷C，D的正誤.【詳解】解：由，得，所以時(shí)，，得時(shí)，，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由知，滿足．所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)，所以，所以，故C正確．，，，故D錯(cuò)，故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解及前n項(xiàng)和的求解，難度一般.9．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，則（）A．a(chǎn)6＞0B．C．Sn＜0時(shí)，n的最小值為13D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為第7項(xiàng)解析：ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0時(shí)，n的最小值為13．?dāng)?shù)列中，n≤6時(shí)，＞0.7≤n≤12時(shí)，＜0．n≥13時(shí)，＞0．進(jìn)而判斷出D是否正確．【詳解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a(chǎn)1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0時(shí)，n的最小值為13．?dāng)?shù)列中，n≤6時(shí)，＞0，7≤n≤12時(shí)，＜0，n≥13時(shí)，＞0．對(duì)于：7≤n≤12時(shí)，＜0．Sn＞0，但是隨著n的增大而減??；an＜0，但是隨著n的增大而減小，可得：＜0，但是隨著n的增大而增大．∴n＝7時(shí)，取得最小值．綜上可得：ABCD都正確．故選：ABCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．10．已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項(xiàng)解析：ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)直接判斷AD選項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項(xiàng).【詳解】A.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；D.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以是與的等差中項(xiàng)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題型.11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．12．已知數(shù)列，則前六項(xiàng)適合的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．解析：AC【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列通項(xiàng)公式分別取前六項(xiàng)，看是否滿足題意，得出答案．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)B，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)C，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)D，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；故選：AC13．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：….即從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說(shuō)法正確的是（）A． B．是偶數(shù) C． D．…解析：AC【分析】由該數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，，，，故A正確；對(duì)于B，由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有3的倍數(shù)項(xiàng)是偶數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，，，，各式相加得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是合理利用該數(shù)列的性質(zhì)去證明選項(xiàng).14．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為解析：BD【分析】由題意可知，由已知條件可得出，可判斷出AB選項(xiàng)的正誤，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次不等式可判斷出CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由于等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，可得，B選項(xiàng)正確；，當(dāng)或時(shí)，最小，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，可得，解得或.，所以，滿足時(shí)的最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且，，則（）A． B． C． D．解析：BD【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)結(jié)合前項(xiàng)和公式，求出，可判斷C，D，由等差數(shù)列基本量運(yùn)算，可得公差，判斷出A，B．【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以公差．故選：BD16．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為解析：AD【分析】分類討論大于1的情況，得出符合題意的一項(xiàng).【詳解】①,與題設(shè)矛盾.②符合題意.③與題設(shè)矛盾.④與題設(shè)矛盾.得，則的最大值為.B，C，錯(cuò)誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)及概念.補(bǔ)充：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：.17．已知數(shù)列滿足，且，則（）A． B．C． D．解析：ACD【分析】先計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，判斷AC，然后再尋找規(guī)律判斷BD．【詳解】由題意，，A正確，，C正確；，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為3．，B錯(cuò)；，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的項(xiàng)與和，解題關(guān)鍵是求出數(shù)列的前幾項(xiàng)后歸納出數(shù)列的性質(zhì)：周期性，然后利用周期函數(shù)的定義求解．18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若(，為常數(shù)，)，則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等差數(shù)列，則，，也成等差數(shù)列解析：BCD【分析】利用等差等比數(shù)列的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)判斷得解.【詳解】選項(xiàng)A:,得是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)不是等比數(shù)列，故錯(cuò);選項(xiàng)B:,,得是等差數(shù)列，故對(duì);選項(xiàng)C:,,當(dāng)時(shí)也成立，是等比數(shù)列，故對(duì);選項(xiàng)D:是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)得，，是等差數(shù)列，故對(duì);故選：BCD【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式是解題關(guān)鍵.19．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，….，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．解析：ABCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關(guān)系，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)可得正確答案.【詳解】對(duì)A，寫出數(shù)列的前6項(xiàng)為，故A正確；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，由，，，……，，可得：.故是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng).對(duì)D，斐波那契數(shù)列總有，則，，，……，，，故D正確；故選：ABCD.【點(diǎn)睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景，考查數(shù)列的遞推關(guān)系及性質(zhì)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意遞推關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換.20．在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該