龍巖市學(xué)年第二學(xué)期期末高二教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：分鐘滿分：分）注意事項(xiàng)：考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號及所有的答案均填寫在答題卡上.答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”.8小題，每小題5分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)函數(shù)，若，則（）A.3B.2C.1D.02.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.14B.0.36C.0.86D.0.643.已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（）A.2B.1C.D.04.現(xiàn)有6張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，3，4，5，6.從這6張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則（）A.B.C.D.5.如圖，在平行六面體中，已知，，則直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.7.一個(gè)箱子里有4個(gè)球，分別標(biāo)號為1，2，3，4，每次取一個(gè)球，若有放回的取三次，記至少取出一次的球的個(gè)數(shù)為，則（）A.B.C.D.8.設(shè)函數(shù)，若存在（為自然對數(shù)的底數(shù)，）使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.3小題，每小題6分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.有一個(gè)零點(diǎn)D.點(diǎn)是曲線的對稱中心10.近年來我國新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對不可再生資源的開發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向.某地區(qū)近幾年新能源汽車的購買情況如下表所示：年份20202021202220232024新能源汽車購買數(shù)量（萬輛）0.400.701.101.501.80則關(guān)于的（）A.線性回歸系數(shù)B.線性回歸系數(shù)C.相關(guān)系數(shù)D.相關(guān)系數(shù)參考公式：，，.參考數(shù)值：，已知正三棱柱的底面邊長為1，滿足，，下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，的最小值為二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，，若，則的值為_.13.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.4，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為_.14.已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本題滿分13分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)的極大值.16.（本題滿分15分）某疾病預(yù)防中心隨機(jī)調(diào)查了340名50歲以上的公民，研究吸煙習(xí)慣與慢性氣管炎患病的關(guān)系，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示.不吸煙者吸煙者總計(jì)不患慢性氣管炎者120160280患慢性氣管炎者154560總計(jì)135205340（1）是否有95%的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān)？（2）現(xiàn)從不患慢性氣管炎者的樣本中，按分層抽樣的方法選出7人，從這7人里再隨機(jī)選取3人，求這3人中，吸煙者的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.63517.（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，，，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的動(dòng)點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求.18.（本題滿分17分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：；（3）已知對于任意，直線與曲線有唯一公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)的值組成的集合為，求證：.19.（本題滿分17分）..（1）若進(jìn)行一次交換后，從甲袋中任取一個(gè)球，求這個(gè)球是黑球的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3.編號的黑白小球?qū)嶒?yàn)可以在一定程度上對信息傳遞與整合進(jìn)行簡單的信息模擬.現(xiàn)有個(gè)不同的袋子，每個(gè)袋子裝有一黑一白兩個(gè)小球，這些小球除顏色和編號外，其它均相同，袋中的黑白小球代表該信息源所擁有的基礎(chǔ)信息單元.若將每個(gè)黑球和白球看作不同的信息單元，每個(gè)袋子代表一個(gè)信息源.現(xiàn)將袋中的所有反映了信息的組織和整合形式.若這串圓環(huán)上的小球黑白相間且同個(gè)袋子中的黑白兩球相鄰，這樣產(chǎn)生了種不同的信號.求證：.龍巖市～學(xué)年第二學(xué)期期末高二教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分.題號12345678選項(xiàng)DACCCBCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分.題號910選項(xiàng)ACDBCABD8.解：易知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，若，則，若，則.故存在使成立，則，即在上有解.故，設(shè)，則，在上單增，在上單減，故又，，故.對于A.設(shè)，為，的中點(diǎn)，∵∴，∴∴平面∴三棱錐的體積為定值∴A正確對于B.過在平面內(nèi)作，以為原點(diǎn)，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，為，的中點(diǎn)，∵∴，∴，，設(shè)∴，∵平面∴，解得∴僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面∴B正確對于C.∵∴，把平面繞旋轉(zhuǎn)到與平面共面，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)的最小值∵∵∴∴∴的最小值為∴C不正確對于D.點(diǎn)P滿足，其中，，∴在含邊界的矩形區(qū)域內(nèi)以為原點(diǎn)，以，為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)∴∴，∵∴∴的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓弧∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小∴的最小值為∴D正確三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.-313.14.14.解：，是單調(diào)遞增函數(shù)，則有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，等式，不符合題意，故，等式轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根，即和有一個(gè)交點(diǎn).設(shè)，求得，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單增.故的圖象如下，由圖可得，的取值范圍為.15.（131）因?yàn)?，所?又，所以所以在處的切線方程為：即（2）因?yàn)?由或；由.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以是的極大值點(diǎn).所以的極大值為.16.（151）零假設(shè)：患慢性氣管炎與吸煙無關(guān)，，由，而，從而否定原假設(shè)，即有95%的把握認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).（2）按分層抽樣，不吸煙者3人，吸煙者4人，的可能值為0，1，2，3.，，，，所以.17.（151）證明：∵平面，平面∴又∵平面∴平面平面∴平面平面（2在平面內(nèi)作，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖∵，∴∴，，，∵為中點(diǎn)，∴設(shè)設(shè)平面的法向量為∴令，，即由（1）知平面∴為平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面所成角為∴解得或由（1）知，當(dāng)為中點(diǎn)即時(shí)∴平面又∵二面角的余弦值為，∴二面角為銳角，∴∴∴∴∴18.（17分）1）.由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）設(shè)，則令，，由于，所以從而，即，在上單調(diào)遞增.，即.∵，且在上單調(diào)遞增，∴，即.（3）法一：設(shè)，令，，則設(shè)，，所以，即存在使，所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點(diǎn).令以下證明，當(dāng)，對任意，函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn).易知.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程，即有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為，，不妨設(shè)，可得.易知，函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的極小值..而，又，所以.所以在區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)，得證.法二：由已知得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，即，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有唯一公共點(diǎn).19.（17分）1）假設(shè)一次交換后甲的黑球?yàn)?個(gè)，1個(gè)、2個(gè)的事件分別為，，，再從甲口袋任取一個(gè)球?yàn)楹谇虻挠洖槭录?則（