64.空間向量中的常見建系策略一．前言毋庸置疑，用好空間向量的第一步就是建好直角坐標系，即找到共起點的三條兩兩相互垂直的線.在一些問題中，它確實很容易實現(xiàn)，但在另一些問題或者說近年新高考卷的立體幾何題目中，它就不太好實現(xiàn)了！這些題目中，建系的過程也意味著一定的幾何推演，即找到那個共起點的三條兩兩相互垂直的線.這就在無形之中提高了幾何論證的強度，所以，但凡題目稍稍復雜就建不了系的學生，基本就是必修二的空間幾何體學的太差，垂直關系的探尋與證明基礎較差，所以還是必須得在那里下功夫.基于上述討論，本文總結(jié)一些常見的建系策略，下面所有的策略都首先依賴于一個基本點：將盡可能多的幾何體頂點放到坐標軸上.1.“墻角模型”（共起點的三條兩兩相互垂直的線）的建系策略2.利用線面垂直關系進行建系3.利用面面垂直關系進行建系4.以底面（某個面）內(nèi)的垂直關系“暴力”建系5.基底法二．典例分析★1.“墻角模型”的建系策略例1（2023年新高考1卷）如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱，上，．

(1)證明：；(2)點在棱上，當二面角為時，求．解析：（1）以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.★2.利用線面垂直關系進行建系（多出現(xiàn)直棱柱）例2．已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點分別在棱上運動，且滿足：，.(1)求證：四點共面，并證明平面；(2)是否存在點使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.解析（1）如圖：在棱分別取點，使得，

易知四邊形是平行四邊形，所以，連結(jié)，則，且所以四邊形為矩形，故，同理，且，故四邊形是平行四邊形，所以，所以故四點共面；又平面平面，所以平面.以點為原點，以為軸，以為軸，軸過且平行，如圖建系，由已知，，設，因為，則，平面中向量，設平面的一個法向量為n1=x1,y則，取，可得其一個法向量為平面中，，設平面的一個法向量為，因為，則，取，所以其中一個法向量，若，則，即有，解得或，所以.★3.利用面面垂直關系進行建系例3．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．解析：（1）（方法1）由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BCCM=C，所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.（方法2）建立直角坐標系，如圖2，設，所以，設平面的一個法向量為，所以，即，取平面的一個法向量，同理可得，平面的一個法向量，因為點在以為圓心，半徑為的圓上，所以，，即，而，所以平面平面．（2）以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz.當三棱錐M?ABC體積最大時，M為的中點.由題設得，設是平面MAB的法向量，則即，可取.是平面MCD的一個法向量，因此，，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.例4．如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．解析：（1）因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以，在中，，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.★4.以底面（某個面）內(nèi)的垂直關系建系這種情況下，我們可以用底面某個垂直關系再做一條z軸或者將幾何體中的線面垂直平移過來，此時，除了幾何演繹外，還可以關注下面的一些常見垂直關系：1.等腰梯形：如圖1，我們可以證得，這是底邊為等腰梯形的四棱錐中常出現(xiàn)的垂直情形.圖1圖2圖32.內(nèi)角為的菱形，如圖2，，為中點，則.3.內(nèi)角為的平行四邊形，如圖3，，，則.例5．如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．解析：（1）證明：連接并延長交于點，連接、，因為是三棱錐的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以，所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面

（2）過點作，如圖建立空間直角坐標系，因為，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以；設平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

例6．如圖，在四棱臺中，四邊形是邊長為4的菱形，，平面，．

(1)證明：；(2)求二面角的正弦值．解析：（1）菱形中，，則是正三角形，在平面內(nèi)過作，由平面，得直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，于是，，因此，所以.

（2）由（1）知，，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，設二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值為.★5.基底法例7．如圖，在平行六面體中，，.

（1）求證：四邊形為正方形；（2）求體對角線的長度；（3）求異面直線與所成角的余弦值.解析：（1）因為，，所以，而不共線，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，即，所以四邊形為正方形；（2）由題意易知，所以，因為，，所以，，所以，即；（3）因為，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.三．習題演練1．已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點到平面的距離．【詳解】（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，由是的中點，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點到平面的距離為.2．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【詳解】（1）因為為的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；（2）如圖所示，作交于，連接，因為四邊形為等腰梯形，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點，所以，又因為四邊形為等腰梯形，為中點，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點重合，，，因為，所以，所以互相垂直，以方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，，，，，設平面的法向量為m=x1,y1,z1，平面的法向量為n=x2,y2,z2，則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.3．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，由是的中點，得，所以，設平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.4．如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的