90.解析幾何中雙切線問題的常見應(yīng)用情境情境1.圓的雙切線模型及應(yīng)用圓的雙切線模型是圓中常見的一類考題，由于其結(jié)論豐富，變化多端，頗受命題人的熱愛，2020年的理數(shù)全國一卷的選擇題11題就是一個(gè)典例應(yīng)用.對于圓的雙切線，我的建議就是多推導(dǎo)，遇到最值就往切線長上轉(zhuǎn)化！如圖1，從圓外任一點(diǎn)向圓引兩條切線，圓心，兩切點(diǎn)，我們把線段的長度叫做切線長，設(shè)圓的半徑為，則四邊形具有如下的性質(zhì)：1.；.2.切線長的計(jì)算：,當(dāng)半徑給定，切線長最小等價(jià)于最小.3.四點(diǎn)共圓，的外接圓以為直徑（托勒密定理）.4.平分.5.，當(dāng)半徑給定，四邊形最小等價(jià)于最小.6.假設(shè)且.由基本的三角恒等關(guān)系可知：，故可得：.對使用均值不等式可得最小值.圖17.假設(shè)，圓的方程為（）則切點(diǎn)弦的方程為：.例1.（2023年新高考1卷）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．解析：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以.例2.（2020全國1卷）已知⊙M：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B． C． D．解析：綜合考察性質(zhì)3，5,7.圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．情境2.圓錐曲線的雙切線1.知識要點(diǎn).如何合理的處理雙切線，我總結(jié)如下：已知曲線外一點(diǎn),向二次曲線引兩條切線，設(shè).第1步：分別寫出切線的方程（注意斜率）；第2步：聯(lián)立與曲線的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系①，②式從而以的或坐標(biāo)為參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造點(diǎn)橫或縱坐標(biāo)滿足的同構(gòu)方程方程③；第3步：利用方程③根與系數(shù)的關(guān)系判斷與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問題.常見案例1.彭賽列閉合例3.（2021全國甲卷20）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，直線交于兩點(diǎn)，且.已知點(diǎn)，且?與相切.（1）求，?的方程；（2）設(shè)是上的三個(gè)點(diǎn)，直線均與?相切，判斷直線與?的位置關(guān)系，并說明理由.解：（1）設(shè)的方程為，由對稱性可知，，并假設(shè)點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，故將代入拋物線方程解得：，又因?yàn)椋?，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得：，故的方程為.再由直線與?相切可得?：.（2）直線與?相切.理由如下：假設(shè)直線的斜率都存在，設(shè)，則設(shè)的方程為：，整理可得：，由直線與?相切得：，整理得：①同理：的方程為，由與?相切，即②.由①，②可知分別是下列方程的兩根，③.若，代入③式得：，與是三個(gè)不重合的點(diǎn)矛盾，故，則④,最后，由于直線的方程為，那么圓心到直線的距離為，代入④式得：.故直線與?相切.當(dāng)直線斜率有一條不存在時(shí)，根據(jù)?的位置關(guān)系可知，此時(shí)切線要么為，要么為.不妨假設(shè)當(dāng)切線為時(shí)，那么此時(shí)切線為，不合題意.假設(shè)當(dāng)切線為時(shí)，可取兩點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)切線的方程為，其與?相切，故.即此時(shí)，切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)與?相切，即.這樣：的方程為：，與關(guān)于軸對稱，如圖1所示，根據(jù)對稱性可知與?相切，綜上所述，與?相切.常見案例2：橢圓雙切線與蒙日圓曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓.證明：當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時(shí)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)是，或.當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是且，所以可設(shè)曲線的過點(diǎn)P的切線方程是.由，得由其判別式的值為0，得因?yàn)槭沁@個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，所以由此，得例4.已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過圓：上一動點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).（i）求證：；（ii）求的面積的取值范圍.解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn).①當(dāng)直線，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)與橢圓相切的直線方程.由，消去，得..令，整理得.設(shè)直線，的斜率分別為，.∴.又，∴.∴，即為圓的直徑，∴.②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，則直線的方程為.∴，，也滿足.綜上，有.（ii）設(shè)點(diǎn)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.由，消去，得..令，整理得.則∴直線的方程為.化簡可得，即.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，也滿足.同理，可得直線的方程為.∵在直線，上，∴，.∴直線的方程為.由，消去，得.∴，.∴.又點(diǎn)到直線的距離.∴.令，.則.又，∴的面積的取值范圍為.案例3.阿基米德三角形（拋物線）如圖，假設(shè)拋物線方程為，過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過拋物線的焦點(diǎn).證明：參見下面的例1.結(jié)論2.直線的方程為.證明：參見下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.進(jìn)一步，設(shè)：，則.則，顯然由于過焦點(diǎn)，代入可得.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.上述結(jié)論的逆向也成立，即：（凌晨講數(shù)學(xué)）結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對稱軸.（凌晨講數(shù)學(xué)）例5.（2021年全國乙卷）知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．解析：（1）．（2）（方法1）拋物線的方程為,即,對該函數(shù)求導(dǎo)得,設(shè)點(diǎn)、、,直線的方程為,即,即,同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.（方法2）同方法一得到．過P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．例6.（2019年全國三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（凌晨講數(shù)學(xué)）（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.解析：（1）設(shè),,則．又因?yàn)?，所?故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，四邊形的面積為或.三．習(xí)題演練1.（廣東省廣州市2025屆高三二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在的右支上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，一條與的左支交于點(diǎn)，另一條與的右支交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）.（?。┳C明：；（ⅱ）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線和直線的方程.2.（江蘇省南京市2025屆高三一模）設(shè)是由直線構(gòu)成的集合，對于曲線，若上任意一點(diǎn)處的切線均在中，且中的任意一條直線都是上某點(diǎn)處的切線，則稱為的包絡(luò)曲線.（1）已知圓為的包絡(luò)曲線，判斷直線（為常數(shù)，）與集合的關(guān)系；（2）已知的包絡(luò)曲線為，直線.設(shè)與的公共點(diǎn)分別為，記的焦點(diǎn)為.①證明：是、的等比中項(xiàng)；②若點(diǎn)在圓上，求的最大值.3.（武漢市2025屆高三二月調(diào)考）雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，且其離心率為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一條直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲線的切線，定義該公共點(diǎn)為切線的切點(diǎn)，已知點(diǎn)在直線上，且過點(diǎn)恰好可作雙曲線E的兩條切線，設(shè)這兩條切線的切點(diǎn)分別為和．（i）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的取值范圍；（ii）設(shè)直線和直線分別與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，證明：直線和直線交點(diǎn)在定直線上．（附：雙曲線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為）參考答案1.解析：（1）的方程為.（2）由（?。┩砜傻茫匀c(diǎn)共線.則的面積.設(shè)切線與圓的切點(diǎn)為，則.在中，，在中，，則，當(dāng)時(shí)，，即的面積的最小值為3.此時(shí)，直線平行軸，則的縱坐標(biāo)絕對值為圓的半徑.得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，直線的方程為.2.【詳解】（1）圓心到的距離，即直線與圓相切，所以.（2）解法一：①證明：由，知的準(zhǔn)線方程為，.設(shè).因?yàn)?，且與的公共點(diǎn)為，所以是曲線在點(diǎn)處的切線，其方程為，即，則（*），同理，，則（**），由（*）（**）得直線的方程為，即.由，消去整理得，則.又因?yàn)椋瑒t.又因?yàn)?，所以，故是、的等比中?xiàng).②由①知，，則.因?yàn)椋?，則，又因?yàn)?，則，從而可得，解得，當(dāng)時(shí)等號成立，故的最大值為.解法2：①證明：由題意知，則.設(shè).因?yàn)椋遗c的公共點(diǎn)為，所以是曲線在點(diǎn)處的切線，所以，即（*）同理（**）聯(lián)立（*）（**）得，即，所以，注意到，因此，所以是的等比中項(xiàng).②解：由①知，，設(shè)，則.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，于是，從而，解得，即.又當(dāng)時(shí)，，故的最大值為.

3.解析：（1）直線方程中，令，