線(xiàn)性代數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.二階行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.設(shè)矩陣$A$為$3$階方陣，且$|A|=2$，則$|2A|$等于（）A.4B.8C.16D.323.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線(xiàn)性相關(guān)，則（）A.其中必有零向量B.其中必有兩個(gè)向量成比例C.至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示D.每一個(gè)向量都可由其余向量線(xiàn)性表示4.設(shè)$A$為$n$階可逆矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.$A^T$可逆B.$A^{-1}$可逆C.$|A|\neq0$D.$A$的秩小于$n$5.齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$（$A$為$m\timesn$矩陣）有非零解的充分必要條件是（）A.$r(A)=m$B.$r(A)=n$C.$r(A)\ltn$D.$r(A)\gtn$6.矩陣$A$的特征值為$1,2,3$，則$|A|$等于（）A.6B.5C.3D.27.若矩陣$A$與$B$相似，則（）A.$A=B$B.$|A|=|B|$C.$A$與$B$有不同的特征值D.$r(A)\neqr(B)$8.設(shè)$A$為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則$A$的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量（）A.線(xiàn)性相關(guān)B.線(xiàn)性無(wú)關(guān)C.正交D.長(zhǎng)度相等9.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2$的矩陣是（）A.$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&2\\3&2&3\end{pmatrix}$10.若矩陣$A$經(jīng)過(guò)初等行變換化為矩陣$B$，則（）A.$A$與$B$相等B.$A$與$B$等價(jià)C.$A$與$B$相似D.$A$與$B$合同二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$A(B+C)=AB+AC$2.向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線(xiàn)性相關(guān)的充分條件有（）A.$s\gtn$（向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)）B.向量組中含有零向量C.有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例D.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示3.設(shè)$A$為$n$階方陣，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若$|A|\neq0$，則$A$可逆B.若$A$可逆，則$A$的伴隨矩陣$A^$可逆C.若$A$可逆，則$A$可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積D.若$A$的秩為$n$，則$A$可逆4.下列屬于矩陣的初等變換的有（）A.交換矩陣的兩行B.用一個(gè)非零數(shù)乘以矩陣的某一行C.將矩陣某一行的$k$倍加到另一行D.交換矩陣的兩列5.關(guān)于齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$，下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)$r(A)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)，只有零解B.當(dāng)$r(A)\ltn$時(shí)，有非零解C.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為$n-r(A)$D.任意解都可由基礎(chǔ)解系線(xiàn)性表示6.設(shè)$\lambda$是矩陣$A$的特征值，$\xi$是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.$A\xi=\lambda\xi$B.$(\lambdaE-A)\xi=0$C.$\lambda$滿(mǎn)足特征方程$|\lambdaE-A|=0$D.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)7.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣具有的性質(zhì)有（）A.特征值都是實(shí)數(shù)B.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交C.必可相似對(duì)角化D.其相似對(duì)角矩陣主對(duì)角線(xiàn)元素為其特征值8.二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$為正定的充分必要條件有（）A.二次型的矩陣$A$的特征值全大于零B.二次型的矩陣$A$的順序主子式全大于零C.對(duì)于任意非零向量$x$，$f(x)\gt0$D.二次型的規(guī)范形為$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$9.下列關(guān)于矩陣的秩說(shuō)法正確的有（）A.矩陣$A$的秩等于它的行向量組的秩B.矩陣$A$的秩等于它的列向量組的秩C.經(jīng)過(guò)初等變換矩陣的秩不變D.若$A$為$m\timesn$矩陣，$r(A)\leq\min\{m,n\}$10.若矩陣$A$與$B$等價(jià)，則（）A.它們有相同的秩B.存在可逆矩陣$P$，$Q$使得$PAQ=B$C.它們的行數(shù)和列數(shù)分別相等D.它們的行列式相等三、判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣$A$，$B$滿(mǎn)足$AB=BA$，則$(AB)^n=A^nB^n$。（）2.若向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（）3.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。（）4.齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$一定有解。（）5.若矩陣$A$有一個(gè)特征值為$0$，則$A$不可逆。（）6.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以正交相似對(duì)角化。（）7.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2$是正定二次型。（）8.若矩陣$A$的秩為$r$，則$A$中存在一個(gè)$r$階子式不為零，而所有$r+1$階子式都為零。（）9.相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式。（）10.矩陣$A$的伴隨矩陣$A^$滿(mǎn)足$AA^=|A|E$。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的判定條件。答案：$n$階方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$；或$r(A)=n$；或$A$可表示為若干初等矩陣的乘積。2.求向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,6)^T,\alpha_3=(3,5,7)^T$的秩。答案：對(duì)矩陣$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣，可得$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2$。3.簡(jiǎn)述特征值與特征向量的定義。答案：設(shè)$A$是$n$階方陣，若存在數(shù)$\lambda$和非零$n$維列向量$\xi$，使得$A\xi=\lambda\xi$，則$\lambda$是$A$的特征值，$\xi$是屬于特征值$\lambda$的特征向量。4.簡(jiǎn)述二次型正定的判定方法。答案：二次型正定的判定方法有：二次型矩陣的特征值全大于零；二次型矩陣的順序主子式全大于零；對(duì)任意非零向量$x$，二次型值$f(x)\gt0$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣相似對(duì)角化的條件及意義。答案：矩陣$A$可相似對(duì)角化的條件是$A$有$n$個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量。意義在于簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算，如計(jì)算矩陣的冪等，可通過(guò)相似對(duì)角矩陣方便得出結(jié)果，在實(shí)際問(wèn)題如動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析中有重要應(yīng)用。2.討論線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)及如何求解。答案：對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組$Ax=b$，其解的結(jié)構(gòu)是特解加上對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$的通解。求解時(shí)，先對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，確定有無(wú)解，有解時(shí)求出齊次通解和非齊次特解。3.討論向量組線(xiàn)性相關(guān)性的實(shí)際應(yīng)用。答案：在數(shù)據(jù)壓縮、信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有應(yīng)用。比如在數(shù)據(jù)降維中，利用向量組線(xiàn)性相關(guān)性去除冗余信息；在圖像識(shí)別里判斷特征向量的相關(guān)性來(lái)提高識(shí)別效率。4.討論矩陣的初等變換在不同方面的作用。答案：在求矩陣的秩、逆矩陣、解線(xiàn)性方程組、判斷向量組線(xiàn)性相關(guān)性等方面有重要作用。通過(guò)初等行變換可將矩陣化為階梯形求秩；化為行最簡(jiǎn)形求逆和解方程組；對(duì)向量組構(gòu)成的矩陣作變換判斷相關(guān)性。答案一、單項(xiàng)選擇題1.A2.C3.C4.D5.