2025年根式方程競(jìng)賽真題及答案本文借鑒了近年相關(guān)經(jīng)典試題創(chuàng)作而成，力求幫助考生深入理解測(cè)試題型，掌握答題技巧，提升應(yīng)試能力。一、選擇題（每題5分，共20分）1.若方程\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1\)的解為\(x=a\)，則\(a\)的值為：A.1B.2C.3D.42.方程\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}=\sqrt{6}\)的解為：A.1B.2C.3D.43.若\(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4\)，則\(x\)的值為：A.6B.8C.10D.124.方程\(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=1\)的解為：A.1B.2C.3D.4二、填空題（每題6分，共24分）1.方程\(\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1\)的解為\(x=\)。2.方程\(\sqrt{3x-1}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{10}\)的解為\(x=\)。3.若\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}\)，則\(x\)的值為\(x=\)。4.方程\(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2\)的解為\(x=\)。三、解答題（每題10分，共40分）1.解方程\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3x+5}\)。2.解方程\(\sqrt{3x-1}-\sqrt{2x+1}=1\)。3.解方程\(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-2}=4\)。4.解方程\(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=1\)。四、附加題（每題15分，共30分）1.解方程\(\sqrt{3x+5}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{7x+3}\)。2.解方程\(\sqrt{4x+3}-\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+1}\)。---答案及解析一、選擇題1.答案：B解析：\[\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1\]兩邊平方：\[x+1-2\sqrt{(x+1)(x-1)}+x-1=1\]化簡(jiǎn)得：\[2x-2\sqrt{x^2-1}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{x^2-1}=2x-1\]兩邊平方：\[4(x^2-1)=(2x-1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4x^2-4=4x^2-4x+1\]化簡(jiǎn)得：\[-4=-4x+1\]解得：\[x=1\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=1\)是方程的解。2.答案：C解析：\[\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}=\sqrt{6}\]兩邊平方：\[2x-1+x+3+2\sqrt{(2x-1)(x+3)}=6\]化簡(jiǎn)得：\[3x+2+2\sqrt{(2x-1)(x+3)}=6\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(2x-1)(x+3)}=4-3x\]兩邊平方：\[4(2x-1)(x+3)=(4-3x)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(2x^2+6x-x-3)=16-24x+9x^2\]化簡(jiǎn)得：\[8x^2+20x-12=16-24x+9x^2\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+44x-28=0\]解得：\[x=2\quad\text{或}\quadx=\frac{14}{3}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=3\)是方程的解。3.答案：C解析：\[\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=4\]兩邊平方：\[x+2+x-2+2\sqrt{(x+2)(x-2)}=16\]化簡(jiǎn)得：\[2x+2\sqrt{x^2-4}=16\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{x^2-4}=16-2x\]兩邊平方：\[4(x^2-4)=(16-2x)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4x^2-16=256-64x+4x^2\]化簡(jiǎn)得：\[-16=256-64x\]解得：\[x=7\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=7\)是方程的解。4.答案：B解析：\[\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=1\]兩邊平方：\[x+3-2\sqrt{(x+3)(x-1)}+x-1=1\]化簡(jiǎn)得：\[2x+2-2\sqrt{x^2+2x-3}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{x^2+2x-3}=2x+1\]兩邊平方：\[4(x^2+2x-3)=(2x+1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4x^2+8x-12=4x^2+4x+1\]化簡(jiǎn)得：\[4x-12=4x+1\]解得：\[x=2\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=2\)是方程的解。二、填空題1.答案：2解析：\[\sqrt{2x+3}-\sqrt{x+1}=1\]兩邊平方：\[2x+3-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}+x+1=1\]化簡(jiǎn)得：\[3x+4-2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+3\]兩邊平方：\[4(2x+3)(x+1)=(3x+3)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(2x^2+2x+3x+3)=9x^2+18x+9\]化簡(jiǎn)得：\[8x^2+20x+12=9x^2+18x+9\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+2x+3=0\]解得：\[x=3\quad\text{或}\quadx=-1\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=2\)是方程的解。2.答案：3解析：\[\sqrt{3x-1}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{10}\]兩邊平方：\[3x-1+2x+1+2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}=10\]化簡(jiǎn)得：\[5x+2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}=10\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}=10-5x\]兩邊平方：\[4(3x-1)(2x+1)=(10-5x)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(6x^2+3x-2x-1)=100-100x+25x^2\]化簡(jiǎn)得：\[24x^2+4x-4=100-100x+25x^2\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+104x-104=0\]解得：\[x=3\quad\text{或}\quadx=\frac{104}{3}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=3\)是方程的解。3.答案：6解析：\[\sqrt{x+4}+\sqrt{x-2}=4\]兩邊平方：\[x+4+x-2+2\sqrt{(x+4)(x-2)}=16\]化簡(jiǎn)得：\[2x+2+2\sqrt{x^2+2x-8}=16\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{x^2+2x-8}=14-2x\]兩邊平方：\[4(x^2+2x-8)=(14-2x)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4x^2+8x-32=196-56x+4x^2\]化簡(jiǎn)得：\[64x-228=0\]解得：\[x=6\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=6\)是方程的解。4.答案：3解析：\[\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=1\]兩邊平方：\[2x+1-2\sqrt{(2x+1)(x-1)}+x-1=1\]化簡(jiǎn)得：\[3x-2\sqrt{(2x+1)(x-1)}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(2x+1)(x-1)}=3x-1\]兩邊平方：\[4(2x+1)(x-1)=(3x-1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(2x^2-2x+x-1)=9x^2-6x+1\]化簡(jiǎn)得：\[8x^2-4x-4=9x^2-6x+1\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+2x-5=0\]解得：\[x=3\quad\text{或}\quadx=\frac{5}{3}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=3\)是方程的解。三、解答題1.解析：\[\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3x+5}\]兩邊平方：\[2x+3+x+1+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+5\]化簡(jiǎn)得：\[3x+4+2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=3x+5\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(2x+3)(x+1)}=1\]兩邊平方：\[4(2x+3)(x+1)=1\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(2x^2+2x+3x+3)=1\]化簡(jiǎn)得：\[8x^2+20x+12=1\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[8x^2+20x+11=0\]解得：\[x=-\frac{5+\sqrt{3}}{4}\quad\text{或}\quadx=-\frac{5-\sqrt{3}}{4}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=1\)是方程的解。2.解析：\[\sqrt{3x-1}-\sqrt{2x+1}=1\]兩邊平方：\[3x-1-2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}+2x+1=1\]化簡(jiǎn)得：\[5x-2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(3x-1)(2x+1)}=5x-1\]兩邊平方：\[4(3x-1)(2x+1)=(5x-1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(6x^2+3x-2x-1)=25x^2-10x+1\]化簡(jiǎn)得：\[24x^2+4x-4=25x^2-10x+1\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+14x-5=0\]解得：\[x=\frac{14+\sqrt{56}}{2}\quad\text{或}\quadx=\frac{14-\sqrt{56}}{2}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=3\)是方程的解。3.解析：\[\sqrt{x+4}+\sqrt{x-2}=4\]兩邊平方：\[x+4+x-2+2\sqrt{(x+4)(x-2)}=16\]化簡(jiǎn)得：\[2x+2+2\sqrt{x^2+2x-8}=16\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{x^2+2x-8}=14-2x\]兩邊平方：\[4(x^2+2x-8)=(14-2x)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4x^2+8x-32=196-56x+4x^2\]化簡(jiǎn)得：\[64x-228=0\]解得：\[x=6\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=6\)是方程的解。4.解析：\[\sqrt{2x+1}-\sqrt{x-1}=1\]兩邊平方：\[2x+1-2\sqrt{(2x+1)(x-1)}+x-1=1\]化簡(jiǎn)得：\[3x-2\sqrt{(2x+1)(x-1)}=1\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(2x+1)(x-1)}=3x-1\]兩邊平方：\[4(2x+1)(x-1)=(3x-1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(2x^2-2x+x-1)=9x^2-6x+1\]化簡(jiǎn)得：\[8x^2-4x-4=9x^2-6x+1\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[-x^2+2x-5=0\]解得：\[x=3\quad\text{或}\quadx=\frac{5}{3}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=3\)是方程的解。四、附加題1.解析：\[\sqrt{3x+5}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{7x+3}\]兩邊平方：\[3x+5+2x-1+2\sqrt{(3x+5)(2x-1)}=7x+3\]化簡(jiǎn)得：\[5x+4+2\sqrt{(3x+5)(2x-1)}=7x+3\]移項(xiàng)得：\[2\sqrt{(3x+5)(2x-1)}=2x-1\]兩邊平方：\[4(3x+5)(2x-1)=(2x-1)^2\]展開并化簡(jiǎn)：\[4(6x^2-3x+10x-5)=4x^2-4x+1\]化簡(jiǎn)得：\[24x^2+28x-20=4x^2-4x+1\]移項(xiàng)并化簡(jiǎn)：\[20x^2+32x-21=0\]解得：\[x=\frac{-8+\sqrt{148}}{10}\quad\text{或}\quadx=\frac{-8-\sqrt{148}}{10}\]經(jīng)檢驗(yàn)，\(x=1\)是方程的解。2.解析：\[\sqrt{4x+3}-\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+1}\]兩邊平方：\[4x+3-2\sqrt{(4x+3)(2x+1)}+2x+1=x+1\]化簡(jiǎn)得：\[6x+4-2\sqrt{(4x+3)(2x+1)}=x