第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪星f浪一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(?1,2,1)，b=(3,x,1)，且a⊥b，那么|A.10 B.23 C.2.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，則Δx→0limf(1+Δx)?f(1?Δx)3ΔxA.f′(1) B.13f′(1) C.123.如圖，A1B1C1?ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1A.3010 B.12 C.4.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且滿(mǎn)足OM=2MA，點(diǎn)N為A.23a?12b?125.曲線y=2sinx+cosxA.x?y?π?1=0 B.2x?y?2π?1=0

C.2x+y?2π+1=0 D.x+y?π+1=06.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2?32x，若x=1是函數(shù)f(x)A.ln2?2 B.ln2?1 C.ln3?2 D.ln3?17.若關(guān)于x的不等式e2x?alnx≥12a恒成立，則實(shí)數(shù)A.[0,2e] B.(?∞,2e] C.[0,2e2]8.正四棱錐S?ABCD中，O為頂點(diǎn)S在底面ABCD內(nèi)的正投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD=2，則異面直線PC與BD的距離為(

)A.1010 B.105 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)函數(shù)f(x)=exlnx，則下列說(shuō)法正確的是A.f(x)定義域是(0,+∞) B.x∈(0,1)時(shí)，f(x)圖象位于x軸下方

C.f(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn) D.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間10.如圖，在四面體ABCD中，點(diǎn)P，Q，M，N分別是棱AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，截面PQMN是正方形，則下列結(jié)論正確的是(

)A.AC⊥BD

B.AC/?/截面PQMN

C.AC=CD

D.異面直線PM與BD所成的角為45°11.下列說(shuō)法正確的是(

)A.曲線y=ex+1在x=0處的切線與直線y=0和y=2x圍成的三角形的面積為2

B.函數(shù)f(x)=lnx與函數(shù)g(x)=ax2?a的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線相同，則實(shí)數(shù)a=12

C.曲線f(x)=3lnx+x+2在點(diǎn)P0處的切線方程為4x?y?1=0，則點(diǎn)P0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若x=1是函數(shù)f(x)=x3+ax13.如圖，在正四棱錐S?ABCD中，底邊AB=2，側(cè)棱SA=3，P為側(cè)棱SD上一點(diǎn)，若SD⊥平面PAC，則二面角P?AC?D的余弦值是______．

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CM上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①平面CMN截正方體ABCD?A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；

②直線B

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+x2?x．

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為?16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

(1)證明PA//平面EDB；

(2)證明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C?PB?D的大?。?7.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x

(1)討論f(x)的單調(diào)性

(2)當(dāng)a<018.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：C1M⊥19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ln1?x2+ax．

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(?1,f(?1))處的切線方程；

(Ⅱ)當(dāng)a=?12時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)當(dāng)x<0答案解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查空間向量的基本運(yùn)算，要求熟練掌握空間向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)公式．

利用向量a⊥b，求出x，然后利用向量的模長(zhǎng)公式求【解答】

解：因?yàn)閍=(?1,2,1)，b=(3,x,1)，且a⊥b，

所以?1×3+2x+1×1=0，即x=1，

所以b=(3,1,1)，

所以|2.【答案】D

【解析】解：∵△x→0limf(1+△x)?f(1?△x)32?2△x=233.【答案】A

【解析】【分析】

本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．

先取BC的中點(diǎn)D，連接D1F1，F(xiàn)1D，將BD1平移到F1D，則∠DF1A就是異面直線BD1與AF1所成角，在△DF1A中解三角形求出此角即可．

【解答】

解：取BC的中點(diǎn)D，連接D1F1，F(xiàn)1D，如圖所示：

易證D1F1平行且等于BD，四邊形BDF1D1為平行四邊形，∴D1B//D4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理，空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

利用空間向量基本定理，空間向量的線性運(yùn)算求解即可．【解答】

解：∵OA=a，OB=b，OC=c，OM=2MA，點(diǎn)N為5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點(diǎn)處的切線方程，熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)在x=π時(shí)的函數(shù)值，即切線斜率，再由點(diǎn)斜式直線方程得答案．【解答】

解：由y=2sinx+cosx，得y′=2cosx?sinx，

∴y′|x=π=2cosπ?sinπ=?2，

∴曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π,?1)處的切線方程為y+1=?2(x?π)，

6.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

先求導(dǎo)，再根據(jù)x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出極小值．【解答】

解：∵f(x)=lnx+ax2?32x，x>0，

∴f′(x)=1x+2ax?32，

∵x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，

∴f′(1)=1+2a?32=0，解得a=14，

∴f′(x)=1x+12x?32=x2?3x+22x，

再令f′(x)=0，解得7.【答案】C

【解析】解：當(dāng)a<0時(shí)，f(x)=e2x?alnx為(0,+∞)的增函數(shù)，f(x)無(wú)最小值，不符合題意；

當(dāng)a=0時(shí)，e2x?alnx≥12a即為e2x≥0顯然成立；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=e2x?alnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2e2x?ax，

由于y=2e2x?ax在(0,+∞)遞增，設(shè)f′(x)=0的根為m，即有a=2me2m，

當(dāng)0<x<m時(shí)，f′(x)<0，f(x)遞減；當(dāng)x>m時(shí)，f′(x)>0，f(x)遞增，

可得x=m處f(x)取得極小值，且為最小值e2m?alnm，

由題意可得e2m?alnm≥12a，即a2m?alnm≥12a，

化為m+2mlnm≤1，設(shè)g(m)=m+2mlnm，g′(m)=1+2(1+lnm)，

當(dāng)m=1時(shí)，g(1)=1，m>1時(shí)，g′(m)>0，g(m)遞增，

8.【答案】B

【解析】【分析】

以O(shè)C、OD、OS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量，利用空間向量的距離公式求解即可．

本題考查空間向量距離公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．

【解答】

解：∵S?ABCD為正四棱錐且O是S在底面ABCD內(nèi)的正投影，

∴SO⊥面ABCD，

連接AC、BD，則AC⊥BD且交于O，

∵OC、BD?面ABCD，

∴SO⊥OC、SO⊥OD，

∴以O(shè)C、OD、OS為x、y、z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵SO=OD=2，

∴S(0,0,2)、D(0,2,0)、C(2,0,0)、B(0,?2,0)、P(0,22,22)，

∴BD=(0,22,0),PC=(2,?22,?22)，

設(shè)異面直線BD與PC的公垂線向量為n=(x,y,z)9.【答案】BD

【解析】解：函數(shù)f(x)=exlnx，則其定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞)，故A錯(cuò)誤，

求導(dǎo)f(x)可得，f′(x)=ex(lnx?1x)ln2x，

令g(x)=lnx?1x，g′(x)=1x+1x2>0恒成立，

∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

∵g(1)=?1，g(2)=ln2?12>0，

∴存在x0∈(1,2)，使得g(x0)=0，

∴當(dāng)x∈(0,1)，(1,x0)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x0,+∞)

時(shí)，f′(x)>0，

故f(x)在(0,1)，(1,x0)10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由PQ//AC，QM/?/BD，PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B：由PQ//AC，可得AC/?/截面PQMN，故選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C：由已知可得AC=2MN，BD=2MQ，

因?yàn)镸N=MQ，所以AC=BD，不能證明AC=CD，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)锽D/?/PN，所以異面直線PM與BD所成的角為∠NPM，

又因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，所以∠NPM=45°，故選項(xiàng)D正確，

故選：ABD．

由三角形中位線定理結(jié)合PQ⊥QM，可得AC⊥BD，所以A正確，由PQ//AC，可得AC/?/截面PQMN，所以B正確，由已知條件只能證得AC=BD，不能證明AC=CD，所以C錯(cuò)誤，由BD/?/PN可得異面直線PM與BD所成的角為∠NPM=45°，所以D正確．

本題主要考查了線面平行的判定和異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由y=ex+1，可得y′=ex，∴y′|x=0=1，y|x=0=2，

∴曲線y=ex+1在點(diǎn)

(0,2)處的切線方程為y?2=x?0，即x?y+2=0．

令y=0解得x=?2，令y=2x解得x=2，y=4，

∴切線與直線y=0和y=2x圍成的三角形的面積為S=12×2×4=4，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由f(x)=lnx，可得f′(x)=1x，g(x)=ax2?a，g′(x)=2ax，

∵函數(shù)f(x)=lnx與函數(shù)g(x)=ax2?a的圖象在點(diǎn)(1,0)的切線相同，

∴f′(1)=g′(1)，可得1=2a，∴a=12，∴B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)

P0(x0,y0)，由f(x)=3lnx+x+2，可得f′(x)=3x+1，

則切線的斜率為f′(x0)=3x0+1，

∵切線方程為4x?y?1=0，即y=4x?1，即切線的斜率為4，

∴3x0+1=4，解得x0=1，∴4?y0?1=0，解得y0=3，

∴點(diǎn)P0的坐標(biāo)是(1,3)，∴C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由函數(shù)f(x)=x+lnx，得f′(x)=1+1x，

令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，則f(1)=1，f′(1)=2，

∴函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y?1=2(x?1)，即y=2x?1，

又由直線y=2x?112.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查計(jì)算能力．

求導(dǎo)數(shù)，利用x=1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，f′(1)=0，可得a的值．

【解答】

解：∵函數(shù)f(x)=x3+ax，

∴f′(x)=3x2?ax2，

13.【答案】7【解析】解：連接BD交AC于O，

在正四棱錐S?ABCD中，可得SO⊥平面ABCD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OS

分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)榈走匒B=2，側(cè)棱SA=3，則高SO=SA2?AO2=7，

所以S(0,0,7)，C(0,2,0)，D(?2,0,0)，

可得DS=(2,0,7)，OS=(0,0,7)，

因?yàn)镾D⊥平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為DS=(2,0,7)，

平面14.【答案】①③

【解析】解：對(duì)于①，如圖直線MN與C1B1、C1D1的延長(zhǎng)線分別交于M1，N1，連接CM1，CN1分別交BB1，DD1于M2，N2，連接MM2，NN2，

則五邊形MM2CN2N即為所得的截面圖形，故①正確；

對(duì)于②，由題可知MN/?/B1D1，MN?平面CMN，B1D1?平面CMN，

∴B1D1/?/平面CMN，故點(diǎn)B1到平面CMN的距離即為直線B1D1到平面CMN的距離，

設(shè)點(diǎn)B1到平面CMN的距離為?，由正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2可得，

CM=CN=3,MN=2，S△CMN=12×2×32?(22)2=172，

∴VB1?CMN=13S△CMN??=13×172×?=176?，

VC?B1MN=13S△B1MN?CC1=13×12×2=13，

∴由VB1?CMN15.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

求導(dǎo)得f′(x)=3x2+2x?1，

因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為?43，

所以f′(x0)=?43，

即3x02+2x0?1=?43，

解得x0x?1(?1,1(1f′(x)0?0+f(x)1單調(diào)遞減?單調(diào)遞增1所以f(x)在區(qū)間[?1,1]上的最大值是1，最小值是?527【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；

(2)先求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值，比較極值和端點(diǎn)值最大的為最大值，最小的為最小值．

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：方法一：

(1)證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)

在△PAC中，EO是中位線，∴PA//EO

而EO?平面EDB且PA?平面EDB，

所以，PA//平面EDB

(2)證明：

∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，

∴DE⊥PC.①

同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB?平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

(3)解：由(2)知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C?PB?D的平面角．

由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB．

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

則PD=DC=a,??BD=2aPB=PD2+BD2=3a，PC=PD2+DC2=2aDE=12PC=22a．

在Rt△PDB中，DF=PD?BDPB=a?2a3a=63a．

在Rt△EFD中，sinEFD=DEDF=22a63a=32，∴∠EFD=π3．

所以，二面角C?PB?D的大小為π3．

方法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．

(1)證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．

依題意得A(a,??0,??0),??P(0,??0,??a),??E(0,??a2,??a2)．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a2,??a2,??0)且PA=(a,??0,???a),??EG=(a2,??0,???a2)．

∴PA=2EG，這表明PA//EG．

而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA/?/平面EDB．

(2)證明；依題意得B(a,a,0)，PB=(a,??a,???a)．

又【解析】法一：(1)連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA//平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO；

(2)要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF，即可；

(3)必須說(shuō)明∠EFD是二面角C?PB?D的平面角，然后求二面角C?PB?D的大?。?/p>

法二：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=a．

(1)連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出PA=2EG，即可證明PA//平面EDB；

(2)證明EF⊥PB，PB?DE=0，即可證明PB⊥平面EFD；

(3)求出FE?FD17.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，

∴f′(x)=1x+2ax+2a+1=(2ax+1)(x+1)x，x>0，

①當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0恒成立，此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)=0，解得x=?12a，

當(dāng)x∈(0,?12a)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(?12a,+∞)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

綜上所述當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,?12a)上單調(diào)遞增，在(?12a,+∞)上單調(diào)遞減；

證明：(2)由(1)可知，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,?12a)上單調(diào)遞增，

在(?12a,+∞)上單調(diào)遞減，

∴f(x)max=f(?12a)=?1?ln2?14a?ln(?a)，

從而要證f(x)≤?34a?2，只要證?1?ln2?14a【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，是一道綜合題．

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)由(1)求出函數(shù)的最大值，令t=?1a，則t>0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明?118.【答案】解：根據(jù)題意，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，

A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3)，

(Ⅰ)方法一：在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，