導(dǎo)數(shù)的概念及其意義（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）一、【單元目標(biāo)】（1）通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想．（2）體會(huì)極限思想．（3）通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．二、【單元知識(shí)結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】本節(jié)課面對的學(xué)生群體已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對函數(shù)的概念、性質(zhì)以及圖像有了初步的了解．然而，導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，對學(xué)生來說可能相對抽象和難以理解．因此，在教學(xué)過程中，需要注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際出發(fā)，通過具體實(shí)例來感受導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生背景和實(shí)際意義．同時(shí)，要關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，針對不同層次的學(xué)生采取不同的教學(xué)策略，確保每位學(xué)生都能理解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念及其在計(jì)算、解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．四、【教學(xué)設(shè)計(jì)思路/過程】課時(shí)安排：約4課時(shí)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，極限思想．教學(xué)難點(diǎn)：極限思想，導(dǎo)數(shù)概念，導(dǎo)數(shù)符號(hào)．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景1：同學(xué)們，大家平時(shí)在高速路上可能會(huì)經(jīng)?？吹健皡^(qū)間測速”的提示牌，這是為了提醒我們司機(jī)朋友要安全駕駛．區(qū)間測速其實(shí)是通過測量你在一段固定路程上所用的時(shí)間，來計(jì)算出你的平均速度．另外，大家可能也常聽到家長們談?wù)撈嚨挠秃?，比如“你的車幾個(gè)油？”這里的“幾個(gè)油”指的是汽車每行駛百公里所消耗的油量．而有些汽車還能顯示瞬時(shí)油耗，即當(dāng)前時(shí)刻的油耗情況．今天，我們就一起來深入探討一下生活中的這種變化率問題，看看它是如何在我們身邊無處不在地發(fā)揮著作用的．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析1．平均速度問題1：在高臺(tái)跳水中，運(yùn)動(dòng)員相對于水面的高度與起跳后的時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上述探究，你能求該運(yùn)動(dòng)員在內(nèi)的平均速度嗎?【破解方法】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度是，但實(shí)際情況是，該運(yùn)動(dòng)員仍在運(yùn)動(dòng)，可以說明平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．【歸納新知】平均變化率問題（1）變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”．如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；（2）平均變化率一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：知識(shí)點(diǎn)詮釋：①本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為，且，相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為，，則函數(shù)從到的平均變化率為②函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢．即遞增或遞減幅度的大?。畬τ诓煌膶?shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義．如位移運(yùn)動(dòng)中，位移從秒到秒的平均變化率即為秒到秒這段時(shí)間的平均速度．（3）如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）是的一個(gè)“增量”，可用代替，同樣．（2）是一個(gè)整體符號(hào)，而不是與相乘．（3）求函數(shù)平均變化率時(shí)注意，，兩者都可正、可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零．若函數(shù)為常函數(shù)，則．2．瞬時(shí)速度問題2：我們也發(fā)現(xiàn)了高速路上區(qū)間測速的弊端，因?yàn)槿绻橙税l(fā)現(xiàn)超速了，他只需踩下剎車，讓車輛低速行駛一段時(shí)間即可，你認(rèn)為，我們應(yīng)該如何改進(jìn)高速路上的區(qū)間測速問題？【破解方法】由可知，我們可以減小路程區(qū)間的長度，在最小路程下，看所用的時(shí)間，或者在較少的相同時(shí)間內(nèi)，看汽車所經(jīng)過的路程，這樣似乎都不可避免違法行為的產(chǎn)生，于是，我們有了一個(gè)大膽的想法，如果我們能測量汽車的瞬時(shí)速度就好了．我們把函數(shù)值的增量記為，即，自變量的增量記為，即，這里的可以看成是的一個(gè)增量，可用來表示，則平均變化率可記為，我們發(fā)現(xiàn)如果時(shí)間的增量無限小，此時(shí)在極短的時(shí)間內(nèi)的平均速度就可近似等于在時(shí)間的瞬時(shí)速度，這就需要用到我們數(shù)學(xué)中的“極限”思想，意思就是讓無限趨近于0．【歸納新知】（1）瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．（2）瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時(shí)間間隔無限趨近于0時(shí)，平均速度就無限趨近于時(shí)的瞬時(shí)速度．（3）瞬時(shí)速度的計(jì)算：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移的函數(shù)關(guān)系式為，則物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為問題3：在點(diǎn)的附近任取一點(diǎn)，考察拋物線的割線P0P有什么變化趨勢？【破解方法】當(dāng)點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置．【歸納新知】切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔無限變小時(shí)，點(diǎn)P無限趨近于點(diǎn)，于是割線無限趨近于點(diǎn)P0處的切線，這時(shí)，割線的斜率k無限趨近于點(diǎn)P0處的切線的斜率．3．導(dǎo)數(shù)的概念問題4：瞬時(shí)變化率的幾何意義是什么？它的數(shù)學(xué)意義又是什么？【破解方法】瞬時(shí)變化率的幾何意義是曲線的切線斜率．實(shí)際上，上節(jié)課我們通過研究拋物線的切線斜率就大致了解了瞬時(shí)變化率在數(shù)學(xué)中的意義．【歸納新知】導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義：函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即知識(shí)點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)．②時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)．即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近．③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率．（2）求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：①求函數(shù)的增量：；②求平均變化率：；③求極限，得導(dǎo)數(shù)：．也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)．4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義問題5：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？【破解方法】我們知道導(dǎo)數(shù)f′（x0）表示函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y＝f（x）在x＝x0附近的變化情況，如下圖．容易發(fā)現(xiàn)，平均變化率表示的是割線的斜率，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線，因此函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，即，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【歸納新知】導(dǎo)數(shù)幾何意義（1）平均變化率的幾何意義——曲線的割線函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率．如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線的斜率．事實(shí)上，．換一種表述：曲線上一點(diǎn)及其附近一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)、作曲線的割線，則有．知識(shí)點(diǎn)詮釋：根據(jù)平均變化率的幾何意義，可求解有關(guān)曲線割線的斜率．（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義——曲線的切線圖1圖1如圖1，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí)，割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線．定義：如圖，當(dāng)點(diǎn)沿曲線無限接近于點(diǎn)，即時(shí)，割線的極限位置直線叫做曲線在點(diǎn)處的切線．也就是：當(dāng)時(shí)，割線斜率的極限，就是切線的斜率．即：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）曲線上一點(diǎn)切線的斜率值只與該點(diǎn)的位置有關(guān)．（2）切線斜率的本質(zhì)———函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)．（3）曲線的切線的斜率的符號(hào)可以刻畫函數(shù)的增減性．①若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直．②，切線與軸正向夾角為銳角，瞬時(shí)遞增；，切線與軸正向夾角為鈍角，瞬時(shí)遞減；，切線與軸零度角，瞬時(shí)無增減．5．導(dǎo)函數(shù)問題6：如何利用的定義以及函數(shù)的概念給出導(dǎo)函數(shù)的概念？【破解方法】如果函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，即任給，總有，從而對開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一個(gè)值，都有唯一確定的函數(shù)值與對應(yīng)，所以在開區(qū)間（a，b）內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)——導(dǎo)函數(shù)．【歸納新知】導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)函數(shù)定義：由函數(shù)在處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)確定的數(shù)，那么，當(dāng)變化時(shí)，便是的一個(gè)函數(shù)，我們叫它為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．記作：或，即：知識(shí)點(diǎn)詮釋：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系．（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)．（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)而言的，也就是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值．導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)，所以所以求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)值．導(dǎo)函數(shù)求法：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般方法是：（1）求函數(shù)的改變量．（2）求平均變化率．（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例1．設(shè)，求．【解析】．題型二：求瞬時(shí)速度例2．將原油精煉為汽油、柴油等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱．如果在第xh時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為．計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義．【解析】在第2h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為：，其意義表示當(dāng)x＝2h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率即原油溫度的瞬時(shí)變化速度．也就是說，在第2h附近，原油溫度大約以的速率下降．在第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為：，其意義表示當(dāng)x＝6h時(shí)原油溫度的瞬時(shí)變化率即原油溫度的瞬時(shí)變化速度．也就是說，在第6h附近，原油溫度大約以的速率上升．例3．一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度（單位：）為，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義．【解析】在第2s和第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是和．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，，所以．同理可得．在第2s與第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度分別是與．說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加；在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少．題型三：利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4．如圖是高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員的重心相對于水面的高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，請描述、比較曲線在，，附近的變化情況．

【解析】我們用曲線從在，，處的切線斜率，刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況．（1）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于t軸，．這時(shí)，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．（2）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率．這時(shí)，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．（3）當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率．這時(shí)，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近也單調(diào)遞減．從圖中可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降得緩慢．例5．如圖是人體血管中藥物濃度（單位：）隨時(shí)間t（單位：）變化的函數(shù)圖象．根據(jù)圖象，估計(jì)，0．4，0．6，0．8時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到0．1）．

【解析】血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率．如圖，作處的切線，并在切線上取兩點(diǎn)，如，，則該切線的斜率為，所以．同理可得處藥物濃度的瞬時(shí)變化率，下表給出了藥物濃度的瞬時(shí)變化率的估計(jì)值．t0．20．40．60．8藥物濃度的瞬時(shí)變化率0．40例6．吹氣球時(shí)，氣球的半徑r（單位：）與體積V（單位：L）之間的函數(shù)關(guān)系是，利用信息技術(shù)工具，畫出時(shí)函數(shù)的圖象，并根據(jù)其圖象估計(jì)，時(shí)，氣球的瞬時(shí)膨脹率．【解析】函數(shù)圖象如下所示：，則，，題型四：求切線方程例7．求曲線在點(diǎn)（處的切線的傾斜角．【解析】，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則傾斜角為．例8．你認(rèn)為應(yīng)該怎樣定義拋物線在點(diǎn)處的切線？試求拋物線在點(diǎn)處切線的斜率．【解析】在點(diǎn)的附任取一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)無限趨近于點(diǎn)時(shí)，割線無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置稱為拋物線在點(diǎn)處的切線．拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題7：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）如何計(jì)算平均速度與瞬時(shí)速度?（2）割線斜率和切線斜率有什么關(guān)系?（3）什么是導(dǎo)數(shù)？導(dǎo)數(shù)的意義是什么？導(dǎo)數(shù)蘊(yùn)含著什么重要思想？（4）用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的基本步驟是什么？（5）導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？【破解方法】學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流后，學(xué)生代表發(fā)言，教師引導(dǎo)完善．六、【教學(xué)成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測，檢驗(yàn)效果1．函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，，，又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，故．故選：A．2．在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的中心相對于水面高度（單位：）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．【解析】，所以，．所以，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為．3．火箭發(fā)射后，其高度（單位：m）為．求：（1）在這段時(shí)間里，火箭爬高的平均速度；（2）發(fā)射后第時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度．【解析】（1）因?yàn)?，所?/p>