2026《高考數學一輪復習微專題106講》含答案15.雙變量導數中的主元法15.雙變量導數中的主元方法偏導數是高等數學中多元函數微分學里的重要概念之一.例如二元函數，其偏導數的基本求法便是：對求導時，就假定是常數，僅對函數中所有變元求導得到，對求導時，方法亦然.比如：若函數，則求導可得：.我們都知道，高中階段很多函數問題都是含參數的，對于含參數的函數，可以將其簡記為，若將參數也視為自變量的話，那么就是一個二元函數，那么我們就可以用偏導數的思想來研究該函數，這就產生了一個重要的方法：主元法.近年來，在高考試題中，主元法思想考察的相當頻繁，例如2019年浙江卷導數壓軸題和2020年天津卷導數壓軸題，2022北京卷等，在這些問題中，使用主元法往往會起到意想不到的好處，從而使得整個問題得到圓滿的解決.典例分析例1．已知函數(1)討論函數的單調性；(2)當時，對任意的買數，證明：.解析：（1）①當時，，此時，在單調遞增；②當時，令，可以判斷在是單調遞減的注意到：,,則必存在使得，即,且當時，，于是，此時在單調遞增；當時，，于是，此時在單調遞減；（2）當時，對于給定的，令則,因此在是遞增的，于是，，即：進而例2．若定義在區(qū)間上的函數，其圖象上存在不同兩點處的切線相互平行，則稱函數為區(qū)間上的“曲折函數”，“現已知函數.(1)證明：是上的“曲折函數”；(2)設，證明：，使得對于，均有.解析：（1）要證是上的曲折函數，即證存在兩個不同的，使得，令，即證：，使得.任取，考慮方程的正數解的情況.，判別式，故方程有兩個不等實根，由韋達定理可知：，從而.即有兩個不同的正實數解，所以，即是上的曲折函數.（2）取代入函數，可得：，設，則，所以在上單調遞減，，所以……①.再取代入函數，可得：，設，，則，因為，所以在上單調遞減，所以，所以在上單調遞減，所以，所以……②.又因為在上單調遞減，結合①與②，由零點存在性定理，必存在唯一的，使得，且對任意的，均有.例3.已知函數，若，試比較與的大?。馕觯翰环猎O，，，令(a)，則，當時，；當時，，在上單調增，在上單調減，當時，(a)，由，故，則．例4.設函數．（1）求的極值；（2）若，證明：．解析：（1）函數，則，令，解得：，且當時，，時，因此：的極小值為（2）構造函數，，，，，在上是單調遞增的；故(b)(a)，即：另一方面，構造函數，，在上是單調遞減的，故即：綜上，．例5．已知函數．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意，都有，求實數k的取值范圍；（3）當時，對任意的，且，試比較與的大?。馕觯海?）當時，，所以，，所以在點處的切線方程為．（2）對都有且，而，則，所以，此時，故，則，在上，即單調遞增，且，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，滿足題意，綜上，．（3）不妨設，令，所以，則，又，，，且，當，，而，，所以，故，在上單調遞增，所以，所以單調遞增，故，所以，即．例6．（2022年北京卷）已知函數．（1）求曲線在點，處的切線方程；（2）設，討論函數在，上的單調性；（3）證明：對任意的，，有．解析：（1）對函數求導可得：，將代入原函數可得，將代入導函數可得：，故在處切線斜率為1，故，化簡得：.（2）由（1）有：，，令，令，設，恒成立，故在，單調遞增，又因為，故在，恒成立，故，故在，單調遞增.設,其中s>0,t>0.，由（2）有在,單調遞增，又因為t>0,所以在，即,所以在，單調遞增，因為，則,而，故，得16.雙變量放縮中的“剪刀”模型一．典例分析（2025屆杭州市高三一模）已知函數.（1）若，求的單調區(qū)間;（2）若，求證:;（3）若使，求證:.解析：（3）因為，所以，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以.不妨設，則.先證:，易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點的橫坐標.易知，所以.再證.設，易知直線方程為，直線方程為，則直線與直線交點的橫坐標分別為，所以.因為，同理可證，所以.類似的可以證明.所以，即，所以.雙變量導數中的剪刀模型起源于2015年天津卷，在2021年新高考1卷中名滿天下！該模型的實質是凸凹函數切割線放縮（牛頓切線法），值得注意的是，該方法已經出現在人教版新教材選擇性必修二82頁閱讀材料中，未來完全可能再度出現在高考試題中！本節(jié)我們就通過這兩道高考題展示其基本原理與解題方法.函數凸凹性：若函數在區(qū)間上有定義，若，則稱為區(qū)間上的凸函數.反之，稱為區(qū)間上的凹函數.切線不等式：在上為凸函數，，有.反之，若為區(qū)間上的凹函數，則，有.證明：取定，令，則，再次求導可得.故在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，故存在最小值，即，即證畢.注：切線不等式是剪刀模型的理論依據.3.剪刀模型已知函數為定義域上的凸函數，且圖象與交于兩點，其橫坐標為，這樣如下圖所示，我們可以利用凸函數的切線與的交點將的范圍予以估計，這便是切線放縮的基本原理.如圖，在函數圖象先減后增的情形下，兩條切線和兩條割線即可估計出零點的一個上下界，而切割線的方程均為一次函數，這樣我們就可以得到一個顯式解（精確解）的估計，下面我們通過例子予以分析.三.更多案例例2.（2021新課標1卷22題）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設為兩個不相等的正數，且，證明：.解析：注意到函數不含參數，那就求導分析凸凹性.，再求,,,在其定義域上分別是凹函數與凸函數.另一方面，，即，若令，則原命題等價于，已知證明：.證明③.由于，不妨假設這是函數假設的圖象與直線的兩個交點，考慮到的圖象性質可知.故而，即為方程的兩根，結合函數的凸凹性，我們使用切線放縮來證明③.觀察③的結構及可得在點處切線為.由前文背景理論常用性質（2）可知：.如圖所示，假設與，交于兩點，其橫坐標為.與切線交于點，其橫坐標.由圖1可知：.顯然，再做函數圖象的割線：，則顯然：由圖象可知：，，故.證畢.例3．已知函數在點處的切線方程為.（1）求；（2）設曲線與軸負半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數，都有；（3）若關于的方程有兩個