專題6.9圖形的相似章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）

【蘇科版】

?題型梳理

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】.............................................................1

【題型2由平行判斷成比例的線段】.............................................................2

【題型3黃金分割】............................................................................3

【題型4證明兩三角形相似】...................................................................4

【題型5證明三角形的對應(yīng)線段成比例】.........................................................5

【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】............................................................6

【題型7相似與翻折】..........................................................................7

【題型8利用相似求坐標(biāo)】......................................................................8

【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】.................................................................9

【題型10相似三角形的應(yīng)用】...................................................................10

，舉一反三

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】

【例I】（2023秋?安徽馬鞍山?九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥校┮阎?=二=彳，求

cab

（a+o）3+c）（c+a）的值

abc

【變式1-1］（2023秋?安徽六安?九年級(jí)?？计谥校┮阎猘、氏c為△48c的三邊長，且a+匕+c=

24,求△ABC三邊的長.

【變式1-2］（2023秋?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知線段a、b滿足a小=1:2,且a+26=10.

⑴求服b的值;

⑵若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求c的值.

【變式1?3】（2023秋?廣東珠海?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a,b,c,d都是互不相等的正數(shù).

⑴若戶2,.=2,則胃,胃（用"V"或填空）；

（2）若三=三請判斷々和三的大小關(guān)系，并證明：

baa+bc+d

（3）令2=，若分式"一警+2的值為3,求，的值.

cda-cb-d

【題型2平行判斷成比例的線段的運(yùn)用】

【例2】（2023秋?安徽六安?九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)Q,E,尸分別在△48。的邊上，,DE\\BC,

oD3

"II力8,點(diǎn)M是"的中點(diǎn)，連接BM并延長交4?于點(diǎn)N,則空的值是（）

AA.—3CB.—2Cc.—1Dc.l—

20967

【變式2”】（2023秋?陜西榆林?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，4。與BC相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在BD上,LABWEFWCD,

若EF=2,CD=3,求48的長.

A

【變式2-2］（2023春?安徽合肥?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△4?。中，。是AC邊上的中點(diǎn)，E在8c上，且

EC=2BE,則竺=（）

FE

A.2B.3C.4D.5

【變式2-3］（2023秋?四川成都?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知&DCE,△FEG是三個(gè)全等的等腰

三角形，底邊BC,CE,EG在同一直線上，B.AB=瓜BC=1,BF分別交4C,DC,DE于P,Q,R,則P0的

長為.

ADF

/\ZAA/\

O

BCG

【題型3黃金分割的運(yùn)用】

【例3】（2023秋?河南鄭州?九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如

圖所示的正五角星中，點(diǎn)C,。為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且48=2,則圖中五邊形CQE/G的周長為（）

A.252B.?C.10遍一20D.10V5-10

【變式3-1］（2023春?山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段4?的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)8作48的

垂線8C,取48的中點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心，8M為半徑畫弧交射線8c于點(diǎn)。，連接AD,再以點(diǎn)。為圓心，DB為

半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與力。交于F兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，"畫"的長度為半徑畫弧交工。于點(diǎn)

，，點(diǎn)”即為4B的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的"□"指的是線段.

【變式3?2】（2023秋?遼寧錦州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割,

黃金分割在日常生活中處處可見：例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感

覺最好.若舞臺(tái)長48=20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)8進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分

割點(diǎn)上.（結(jié)果保留根號(hào)）

IA

B

【變式3-3］（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校校考期末）已知線段48=2,點(diǎn)P是線段的黃

金分割點(diǎn)（AP>8P）,

（2）除（1）中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?

【變式4-3]（2023秋?安徽阜陽?九年級(jí)校考期中）如圖，在矩形4BCD中，E為DC邊上一點(diǎn),把△4DE沿力E

翻折，使點(diǎn)D恰好落在8C邊上的點(diǎn)F處.

（1）求證：△ABF-AFCE；

（2）若A8=2g,AD=4,求CE的長.

⑶當(dāng)點(diǎn)F是線段8c的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF2=AB-AE.

【題型5證明二角形的對應(yīng)線段成比例】

【例5】（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△力8c中，48VAC,在48、AC上分別截取8。=C￡,DE,BC

的延長線相交于點(diǎn)F,證明：ABDF=AC^EF.

【變式5-1]（2023春?江西南昌?九年級(jí)統(tǒng)考期末）⑴已知拋物線y=ax2-6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,-1）,

其對稱軸為x=-l.求拋物線的解析式.

（21如圖，在EABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別是BC,AB邊上的點(diǎn)，且用ADE=E1C.

求證：BD-CD=BEAC

【變式5?2】（2023?上海松江?統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形ABC。中，AD\\BC.E是邊AB上一點(diǎn),CE與對角

線8。交于點(diǎn)/，JSBF2=EF-EC.

求證:

(1)△ABDFCB；

(2)BD-BE=AD-CE.

【變式5-3］（2023春?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，在0ABe中，（3ACB的平分線CD交AB于D,過

B作BE0CD交AC的延長線于點(diǎn)E.

、丁

求-U.證:A而D=商AC

【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例6】（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知點(diǎn)A（1,0）,點(diǎn)8（6,0）⑺>1）,點(diǎn)P

是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為々若△POA和△以4相似，則符合條件的2點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

4

【變式6-1］（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）卜.列五幅圖均是由邊長為1的16個(gè)小正方形組成的

正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn).匕那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖

中的aABC相似的個(gè)數(shù)有（）

【變式6-2］（2023秋?九年級(jí)單元測試）如圖，在中，48=4cm,AC=3cm,BC=6cm,D是4c上

一點(diǎn)，HD=2cm,點(diǎn)P從C出發(fā)沿CTBTA方向，以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)4處，線段DP將△48。分成兩

部分，可以使其中一部分與△48C相似的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A

A.0個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式6-3］（2023秋?安徽宣城?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在0ABe中，M=60°,4B=4,AC=6,將M8C

沿圖示中的虛線剪開，有如下幾種剪法，其中滿足剪下的陰影三角形與曲WC相似的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型7相似與翻折】

【例7】（2023秋?河南深河?九年級(jí)瀑河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）在Rt△ABC中，BC=5,AC=12,點(diǎn)。，

E是線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,B,C重合）沿DE翻折△4DE使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)尸恰好落在直線BC

上，當(dāng)OF與的一條邊垂直的時(shí)候，線段力。的長為.

【變式7-1］（2023秋?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，在△48C中，點(diǎn)。是4c邊上的中點(diǎn)，

連接BD，ftlA48。沿若8。翻折，得到△A'BD.連接4c.若AC=6,乙ACD=30°,BD=4,則力B為（）

A.V3B.2C.3D.2V3

【變式7-2]（2023春?上海徐匯?九年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┘褐涸谥苯翘菪瘟CD中，力。|出。,

乙4=90。，△A8D沿直線80翻折，點(diǎn)4恰好落在腰上的點(diǎn)E處.

⑴如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：△BCD是等邊三角形；

⑵延長?交線段力。的延長線于點(diǎn)F,連接。尸，如果CE2=OE-OC,求證：四邊形48CF是矩形.

【變式7-3]（2023春?山西太原?九年級(jí)山西大附中?？计谥校┤鐖D,已知NABC=135°,AB=3vLBC=6,

點(diǎn)P是邊AC上任意一點(diǎn)，連接BP,將aCPB沿PB翻折，得到△C'PB.當(dāng)C'PIAC時(shí)，AP的長為.

【題型8利用相似求坐標(biāo)】

[ft8J（2023秋?湖北隨州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)：力、8的坐標(biāo)分別為（-4,0）、

（0,4）,點(diǎn)C（3,幾）在第一象限內(nèi)，連接AC、BC.已知上=2/CAO,則幾=.

【變式8-1]（2023秋?四川綿陽?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（4,0）和

B點(diǎn)（0,3）,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與鼬0B相似，那么點(diǎn)P

的坐標(biāo)是.

【變式8?2]（2023?江西?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，力，B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）,[4,4）,（0,4）,

點(diǎn)P在％軸上，點(diǎn)0在直線48上，若。力=1,CP上DP于點(diǎn)P,見點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【變式8-3]（2023春?湖北武漢?兀年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線ky=與直線5y=匕一2k+1相交于

點(diǎn)P,且兩直線的夾角為45。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】

【例9】（2023秋?山西臨汾?九年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：

⑴在網(wǎng)格內(nèi)畫出和△ABC以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形△A]8iG，且△48iG和AABC的位似比為2:1.

⑵分別寫出為、Bi、G三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：4:B]；G.

⑶的面積為.

【變式9-1]（2023秋?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?九年級(jí)校考期中）如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形,IM8C

與是關(guān)于點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在個(gè)正方形的格點(diǎn)上.

（1）畫出位似中心Ox

（2）求出0A8C與財(cái)EC的相似比.

【變式9-2］（2023秋?安徽六安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在10x10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長

均為1，點(diǎn)。是格點(diǎn)，△/8C是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線交點(diǎn)上），且點(diǎn)兒是點(diǎn)力以點(diǎn)。為位似中心得到的.

匚匚匚匚［二二二匚【二

⑴畫出△力8c以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形△48iG；

（2）A4當(dāng)口與^ABC的相彳以比為；

（3）A481。1與448c的面積之比為.

【變式9-3］（2023秋?吉林長春,九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是6x6的正方

形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△力BC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻

度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖.

圖①圖②圖③

⑴在圖①中確定格點(diǎn)。，使以小B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形，并畫出這個(gè)四邊形.

⑵在圖②中確定格點(diǎn)。，使以4、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形，并畫出這個(gè)四邊形.

⑶在圖③中△48C的AC、BC邊上分別確定點(diǎn)。、E,使得△（?￡）￡＞與ACAB位似，位似中心為點(diǎn)C,位似比為

1:3.

【題型10相似三角形的應(yīng)用】

【例10】（2023秋?陜西榆林?九年級(jí)?？计谥校┪挥陉兾魇”辈可衲究h紅堿淖景區(qū)的大門口，樹立著一座

精致的王昭君雕像.在當(dāng)?shù)厝丝磥恚?dāng)年王昭君就是走過神木大地，去完成和親使命的.她因?yàn)檫h(yuǎn)離家鄉(xiāng)

而傷心落淚，汨水也因此化作了一顆“沙漠明珠〃一一紅堿淖.某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測量這座雕像（如圖1）

的高度，如圖2,小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD,這時(shí)地面上的點(diǎn)E,標(biāo)桿的頂

端點(diǎn)0,雕像的頂端8正好在同一直線上,測得EC=3米；小明再從點(diǎn)E出發(fā)沿著EG方向前進(jìn)9米,到達(dá)點(diǎn)F.在

點(diǎn)F處放置?平面鏡，小剛站在G處時(shí)，恰好在平面鏡中看到雕像的頂端8的像，此時(shí)測得小夙的眼睛到地

面的距離GH為1.5米，GF=3米.已知點(diǎn)G、F、E、C與雕像的底端力在同一直線上，AB1AG,CD1AG,

GH1AG,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算該雕像的高度48.（平面鏡大小忽略不計(jì)）

圖1

【變式10-1】（2023秋?河南駐馬店?九年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年9月16日，第九批在韓中國人民志愿軍烈士

遺骸歸國，離家還是少年身，歸來已是報(bào)國軀.七十多年前，超過19萬名志愿軍戰(zhàn)士在異國疆場悲壯地倒

下，義無反顧地用血肉之軀把祖國護(hù)衛(wèi)在身后，把炮火擋在了國門之外?.丹心赤誠，鐵骨錚錚，中國人民

志愿軍用鮮血寫就壯麗篇章，英烈們前仆后繼的犧牲奉獻(xiàn)，換來了我們這幾十年的和平，換來了我們國家

的富強(qiáng)和人民的幸福.

面對美帝國主義精良的精確制導(dǎo)武器，中國人民志愿軍戰(zhàn)士沒有被嚇倒，沒有先進(jìn)的武器裝備，志愿軍戰(zhàn)

士只能使用以前一些土辦法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一種簡易測距方法（圖1）,結(jié)合相似三角形原

⑴如圖1,請你幫助小亮計(jì)算條幅G尸長度

⑵若小亮從8點(diǎn)開始以每秒1m的速度向點(diǎn)E行走至。（。正上方點(diǎn)C）,經(jīng)過多少秒后，以八C、。為頂點(diǎn)的

三角形與△GA。相似.

專題6.9圖形的相似章末十大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)

【蘇科版】

，題型梳理

【題型?由比例的性質(zhì)求值或證明］.............................................................I

【潁型2由平行判斷成比例的線段】.............................................................2

【題型3黃金分割】............................................................................3

【題型4證明兩三角形相似】...................................................................4

【題型5證明三角形的對應(yīng)線段成比例】.........................................................5

【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】............................................................6

【題型7相似與翻折】..........................................................................7

【題型8利用相似求坐標(biāo)】......................................................................8

【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】.................................................................9

【題型10相似三角形的應(yīng)用】...................................................................10

，舉一反三

【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】

【例I】(2023秋?安徽馬鞍山?九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)?？计谥?已知"2=竺￡=譽(yù)，求

cab

(a+b)(/+c)(c+a)的值

abc'

【答案】8或一1

【分析】觀察婦竺=~=誓與(*b)(b：c)(c+a)發(fā)現(xiàn)，后者是通過前者相乘得來，那么只要找出

cababc

"也="。=等的值解出，因此設(shè)"竺=空包=審=上通過變換化為(a+b+c)(k-2)=0那么

ccibccib、，、，

可能是a+b+c=0或k=2對這兩種情況分別討論；

【詳解】設(shè)F=等=詈k,

則a+b=kc,b+c=ka,c+Q=kb

(a+b)+(b+c)+(c+a)=Ac+ka+kb

2(。+b+c)=k(a+b+c)

即(a+b+c)(k-2)=0

所以a+b+c=?；騥=2

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a+b=-c,

警二一1,同理誓二一1于c+a一_T1

所以(a+b)(b+c)(c+a)=gx~xB=(—l)X(—l)X(-1)=-1

當(dāng)A=2時(shí)，

(a+b)9+c)(c+a).

------=-------=---;---=2

cab

x(b1￡)x(c1a)=2x2x2=8

abccab

故答案為8或-1

【點(diǎn)睛】做好本題的關(guān)鍵是找出“仄C三個(gè)變量間的關(guān)系，因而假設(shè)警=等=詈=乜做到這步已經(jīng)成

功了一半，因而同學(xué)們在解題中一定要仔細(xì)觀察已知與結(jié)論找出其存在或隱含的關(guān)系

【變式l-l】(2023秋?安徽六安?九年級(jí)?？计谥?已知Q、氏c為△4BC的三邊長，且m=X，a+力+c=

24,求△力ZJC二邊的長.

【答案】△ABC三邊的長為6,8,10

【分析】設(shè)?=[=g=1，則a=3鼠b=4k,c=5k,根據(jù)a+b+c=24進(jìn)行計(jì)算求出Z的值即可.

【詳解】解：設(shè)?=[=(=匕則Q=3k,b=4k,c=5fc,

???Q+力+c=24,

A3k+4k+Jk=24.

解得：k=2,

???a=3k=6,b=4k=8fc=5k=10,

A484三邊的長為6,8,10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023秋?浙江嘉興?九年級(jí)校聯(lián)考期中)已知線段a、b滿足a:b=l:2,月.a+26=10.

(1)求a、b的值；

⑵若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求c的值.

【答案】⑴a=2/=4

(2)c=2V2

【分析】(1)利用a:b=l:2,可設(shè)a=k,b=2k,則k+4k=10,然后解出k的值即可得到a、b的值;

（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到c2=ab,即,2=8,然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解.

【詳解】（1）???a:b=l:2

,設(shè)a=k,b=2k,

a+2b=10,

???k+4k=10,

:?k=2,

a=2,b=4

（2）??,c是a、h的比例中項(xiàng)，

:.c2=ab=8,

,:c是線段，c>0,

:.c=2\/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩

條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.注意利用

代數(shù)的方法解決較為簡便.

【變式1-3］（2023秋?廣東珠海?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a,b,c,d都是互不相等的正數(shù).

（1）若？=2,9=2,貝暇（用“>"，"V〃或"=〃填空）；

bda-cc-d

（2）若合；，請判斷白和亮的大小關(guān)系，并證明；

（3）令巴=3=t,若分式"一警+2的值為3,求/的值.

cda-cb-d

【答案】（1）=;=:（2）七二三，理由見解析；（3）：

a+bc+d2

【分析】（1）由2,：=2,得到a=2〃，c=2d,代入化簡即可得到結(jié)論；

ba

（2）設(shè)：=3則*3得到。加，c=力，代入化簡即可得到結(jié)論；

（3）由已知得到：a=ct,加力.代入分式，化簡后解方程即可得H結(jié)論.

【詳解】（1）哼=2,”2,

團(tuán)a=2b,c=2d,

nbdIb2aa

I?a!-=c—=-2>d—=2—c=c—.

故答案為：==：

（2）六二六?理由如下:

設(shè)：=￡,=t,

0?=Z?/?c=dt,

b_1

bt+b~t+1

d=d=J_

c+ddt+dt+1

喘味;

（3）唾=，=3

^\a=ct,b=dl.

「2。+。3b+d,__

0----------------+2=3,

a-cb-d

件一業(yè)=1.

t-1t-1

解得：/日.

經(jīng)檢驗(yàn)：r=,是原方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設(shè)參法是解答本題的關(guān)鍵.

【題型2平行判斷成比例的線段的運(yùn)用】

【例2】（2023秋?安徽六安?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)、D,E,產(chǎn)分別在的邊上，,DE\\BC,

BD3

"II力。，點(diǎn)M是“的中點(diǎn)，連接并延長交AC于點(diǎn)N,則空的值是（）

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作FGII8N交47于點(diǎn)G,可證EN=GN.同理，可得整=黑=；,EC=3AE,各=2=；；

cCDo3cCrC3

由FGIIBN,得費(fèi)=四=%于是"=3NG；設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,EC=5a,"苧從而得祟=小

【詳解】解：過點(diǎn)尸作FGIIBN交AC于點(diǎn)G,

-EM=1y

FM

I3EN=GN.

(2DEII8C,

0EC=3AE.

HFF||AB,

13FGII8N,

0GC=3NG.

設(shè)EN=NG=a,則GC=3a,

BEC=EN+NG+GC=5a

回￡C=3AE=5a.

團(tuán)=-u.

3

回AC=AE+EC=-a+5a=—a

33

AC—a20

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023秋?陜西榆林?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，40與8C相交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在8。上，L.AB\\EF\\CD,

若E~=2,CD=3,求48的長.

A

【答案】6

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論一一“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截

得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例〃，先由幽以，得尖=案，再由4811"?得寞=給即可

CDDUADUD

求解.

【詳解】解：I3ABC。中,EFWCD,

晦中

0FF=2,CD=3,

疇噴，

回力B||EF,

理="=2，

ABDB3

團(tuán)AB=3EF=6.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題的關(guān)鍵是從圖形中找準(zhǔn)成比例的線段.

【變式2-2](2023春?安徽合肥?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在A/BC中，。是邊上的中點(diǎn)，E在8C上，且

EC=2BE,則,=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】取CE的中點(diǎn)M,連接DM,根據(jù)三角形中位線定理得DMII/IE,DM=\AE,再根據(jù)平行線分線段

成比例得益=囂=3即可得出答案.

DMDMN

【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)“，連接。M,

A

回。是AC邊上的中點(diǎn)，

0DW||AE,DM=^AE,EM=MC

0EC=2BE,

^EF=-DM,

2

屋4E=2EF,

2

團(tuán)AE=4EF,

噫=3，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023秋?四川成都?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC,△05,△產(chǎn)EG是三個(gè)全等的等腰

三角形，底邊BC,CE,EG在同一克線上，RAB=V3,BC=1,8尸分另U交4C,DC,DE于P,Q,R,貝iJPQ的

長為.

【分析】過點(diǎn)F作FH1BG于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=^EG=^FH=

y/EF2-EH2=—,BF=VF/724-BH2=3,根據(jù)平行線的判定得出ACIIDE||FG,得出些=空=竺，根

2BCCEEG

據(jù)BC=CE=EG=1,結(jié)合BF=3,得出8P=PR=RF=1,根據(jù)平行線的判定得出CDIIE",得出言=

笠=1,從而求出8Q=QP="P=I即可求出結(jié)果.

【詳解】解：過點(diǎn)F作FH1BG于點(diǎn)H,

團(tuán)△ABC,ADCE,△PEG是三個(gè)全等的等腰三角形，

團(tuán)BC=CE=EG=1,AB=AC=DC=DE=EF=FG=V3,

Z.ABC=LACH=乙DCE=乙DEC=LFEG=乙FGE,

0F/71BG,

囹EH=HG=\EG="

22

團(tuán)FT/=y/EF2-EH2=—,

2

=FC+CE+EH=-,

2

團(tuán)=7FH2+8H2=3,

0Z.4CF=乙DEC,

0/4CIIDE,

同理可得:DE||FG,

團(tuán)4cliDE||FG,

%比=-還竺=.而竺

0FC=CE=EG=1,

回BP=PR=RF,

團(tuán)BP+PR+RF=8F=3,

團(tuán)BP=PR=RF=1,

^BCD=180°-￡DCE,LBEF=180°-zFE（；,

又ENDCE=乙FEG,

0ZFCD=乙BEF,

0CDIIEF,

6BQ=QP=：1BP=*3

團(tuán)戶Q=BQ-BP=^-1=^.

故答案為：z

D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成

比例定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出8P=1,BQ=1.

【題型3黃金分割的運(yùn)用】

【例3】（2023秋?河南關(guān)B州?九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如

圖所示的正五角星中，點(diǎn)C,D為線段的黃金分割點(diǎn)，且43=2,則圖中五邊形CQE/G的周長為（）

A.2V5-2B.yC.10V5-20D.IOA/5-IO

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)C,。分別為線段A8的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，可得4c=8。=合48=逐一1,AD=

BC=^BD=3-底再根據(jù)CD=8D-8C求出C。的長度，然后乘以5即可求解.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)C。分別為線段4B的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，

^C=BD=^AB=V5-1,AD=BC=^BD=3-V5,

（3CD=BO—BC二遍—1-3+遍=2遙-4,

回五邊形CDEFG的周長5（2遙一4）=1075-20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線

段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn).

【變式3?1】（2023春?山東威海?九年級(jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段A8的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)8作A8的

垂線BC,取力B的中點(diǎn)M,以點(diǎn)8為圓心，BM為半徑畫弧交射線8c于點(diǎn)0,連接4D,再以點(diǎn)。為圓心，DB為

半徑畫孤，前后所畫的兩弧分別與4。交于E,F兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“雷”的長度為半徑畫弧交于點(diǎn)

H,點(diǎn)〃即為48的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“西r指的是線段

【答案】AF

【分析】根據(jù)作圖可知，/-ABD=90°,DB=DF=BM=^AB,設(shè)DB==Q,則48=2%根據(jù)勾股

定理得，AD=yjAB2+BD2=y/Sa,求出力F=V5Q—Q,得出竺=爐」，即可得出結(jié)論.

2

【詳解】解：根據(jù)作圖可知，Z-ABD=90°,DB=DF=BM=^ABt

設(shè)D8=DF=a,則48=2a,

???根據(jù)勾股定理得，AD=7AB2+BD?=6a,

:.AF=AD—DF=y/5a—Q,

.AP_\[sa-a_石-1

**A3~2a~2'

二以力為圓心，“F”的長度為半徑畫弧交力8丁點(diǎn)H,點(diǎn)H即為48的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn).

故答案為:AF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求田蕓=華三=

【變式3-2]（2023秋?遼寧錦州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割,

黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感

覺最好.若舞臺(tái)長48=20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)B進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分

割點(diǎn)上.（結(jié)果保留根號(hào)）

fi

IA

PB

【答案】（30-10花）

【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出/IP,BP,即可求解.

【洋解】由題意知48=20米，

BPAPV5-1

-=-----,

APAB2

...4P=20x竽=（10>/5-10）,

???BP=20-（10A/5-10）=（30-106）米，

故主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走（30-10V5）米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，

故答案為：（30-10V5）.

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┮阎€段48=2,點(diǎn)P是線段的黃

金分割點(diǎn)（4PABP）,

（1）求線段4P的長；

⑵以48為三角形的一邊作使得BQ=力匕連接QP,若QP平分iAQB,求/Q的長.

【答案】⑴^一1

（2）2

【分析】（1）根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得出BP=與XA8=V5-1：

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到加、BQ的距離相等，可得出洛絲=鐵=喘，求出。8=48-位=3-

S&PBQBQPB

V5；即可得出答案.

【洋解】（1）解：團(tuán)點(diǎn)P是線段4B的黃金分割點(diǎn)（4P>BP）,

Q/4P=、用-1xAB=x2=VS1；

22

（2）解：回QP平分匕/Q8,

回。到力Q、BQ的距離相等，

岸四:=絲="，

S??BQBQPB

又由（1）AP=BQ=遍-1,

團(tuán)4B=2,

團(tuán)PB=—力P=2一(遍-1)=3一通，

西Q=9=&！#=2.

YPB3-V5

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)的定義，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用.

【題型4證明兩三角形相似】

【例4】(2023秋?廣東清遠(yuǎn)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知正方形/BCD中，BE平分WBC且交CD邊于點(diǎn)凡

將A繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△的位置，并延長HE交〃”于點(diǎn)G.求證：

(1)ABDGDEG；

(2)BG1DF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先判斷出"OC=ABC,再利用角平分線判斷出即可得出結(jié)論;

(2)由三角形的內(nèi)角和定理可求乙。GE=48CE=90。，可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可知：ABCE三4DCF,

???Z.FDC=Z-EBC.

???BE平分匕DBC,

Z.DBE=Z.EBC>

:.Z.FDC=乙DBE,

vZ.DGE=乙DGB,

.*,△BDGDEG；

(2)證明：.:乙EBC=CGDE,乙BEC=^DEG,

￡DGE=乙BCE=90°.

???BG1DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題

是本題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023秋?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知N8==90°,AB=6,BF=3,CF=5,DE=

15,DF=25.

⑴求CE的長;

（2）求證：XABC八DEF.

【答案】（1）CE=15

（2）見解析

【分析】（1）利用勾股定理求出E凡再用EF—C尸即可求出CE的長；

（2）先求出8c的長，得到,=能再根據(jù)=ZF=90°,即可得證.

DEEr

【詳解】（1）解：WE=15,DF=25,zE=90°,

回"二，D廣=二20,

回C￡=EF-CF=15；

（2）證明：回8尸=3,CF=5,

12BC=BF+CF=8,

—2.—BC=—8=―2

0ZF=ZE=90°,

0AABCDEF.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定.熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的

關(guān)鍵.

【變式4-2]（2023秋?費(fèi)州貴陽?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，LACB=90\CDLAB,垂足為

點(diǎn)。，點(diǎn)M是4C上的一點(diǎn)，連接8M,作MN_L8M,且交AB于點(diǎn)N.

(1)求證：4BCP?AMAN；

(2)除(1)中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?

【答案】（1）詳見解析；（2）AACD^AABC；AACD-ABCD,ABCD^AABC；ABDP?ABMN.

【分析】（1）由4力。8=90°,CD_L4B證得乙A=再利用MN_L8M證得N71MN=4CBM,即可得

至必力CO?/4BC；

（2）利用直角與公共角的關(guān)系得到ZL4CO?ZL4BC；AACD-ABCD；ABCD^AABC；ABDP?ABMN.

【詳解】（1）AD1CD,AC1DC,

...NA+Z,ACD=90°,zBCD+Z.ACD=90°,

:.Z.A=乙BCD,

又???NM1BM,AC1BC,

Z.AMN+乙BMC=9Q°,z.CBM+Z.BMC=90°,

Z.AMN=乙CBM,

A4MN?"8P；

（2）-ABJ.CD,ACIBC,

00ACB=0ADC=0BCD=9O°,

E0A=0A,

（344CO?44BC;

00ABC=0CBD,

團(tuán)4BCO?zMBC;

回44CD~48C0；

團(tuán)MN1BM,

00BMN=aBDP=9O0,

X（?0DBP=0MBN,

MBDP?ABMN.

回共4對相彳以三角形：AACD^AABC；AACD^ABCD；ABCD-AABC；ABDP?ABMN.

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定，注意公共角在證明三角形相似中的作用，再由已知條件所給的都是

關(guān)于角的條件，因此通過證明兩組角分別相等證明兩個(gè)三角形相似比較簡單.

【變式4-3]（2023秋?安徽阜陽?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D,在矩形4BCD中,E為DC邊上一點(diǎn),把△4OE沿力E

翻折，使點(diǎn)。恰好落在8。邊上的點(diǎn)F處.

（1）求證：&ABFs&FCE：

[2}^AB=2V3,AD=4,求CE的K.

⑶當(dāng)點(diǎn)尸是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF2=AB^AE.

【答案】⑴證明見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明乙8AF=乙￡7（,再利用相似三角形的判定得結(jié)論；

（2）先利用勾股定理求出8F,再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可.

（3）由△%"一△%￡,可得券=含=能結(jié)合F為8c的中點(diǎn)，可得券=條結(jié)合4AFE==90。，可

得?AAFE,從而可得答案.

【詳解】（1）證明：團(tuán)四邊形力BC。是矩形，

0ZF=ZC=ZD=90°.

（21A71OE沿/E翻折得至AFE,

團(tuán)ZD=Z.AFE=90°.

回乙84尸+Z,AFB=90°=Z.AFB+乙EFC,

團(tuán)484尸=LEFC.

又"B=LC,

(?!△ABFFCE.

(2)回四邊形力BCD是矩形，AB=2>/3,AD=4,

^AB=CD=2遍，AD=BC=4,

團(tuán)△4DE沿AE翻折得到△力FE,

0/4P=AF=4,DE=EF.

在Rta7189中，BF=\/AF2-A82=2.

設(shè)CE的長為x,則。E=￡F=2百一%.

(HAABFFCE,

脛="

CEFE

?AF=BF?EF,

即4x=2(28一%).

以=乎,

3

即EC=氈.

3

(3)ABFFCE,

M為BC的中點(diǎn),

魴尸=CF,

的=竺，

BFEF

^Z-AFE=LB=90°,

（?!△ABF?匕AFE,

嘮嚕

0AF2=ABAE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直

角、矩形的對邊相等"、"折疊前后的兩個(gè)圖形全等〃、“兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似"及"相似三角形的對

應(yīng)邊的比相等〃是解決本題的關(guān)鍵.

【題型5證明三角形的對應(yīng)線段成比例】

【例5】（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△力8C中，48V4C,在88、4c上分別截取8。=CE,DE,BC

的延長線相交于點(diǎn)證明：ABDF=AC-EF.

【答案】見解析

【分析】過點(diǎn)E作EM//4B交BC于點(diǎn)M,可得到△CEMYC4B,AFEM?AFDB,進(jìn)而有器=器

/itSTIC

翳吟,根據(jù)BD=CE,可得至嘿盜，即證.

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作CM〃42交BC于點(diǎn)、M,

A

^E14//AB,

0ACEM~ACAB,△FEM—△FDB,

EM_CEEM_EF

AB~ACDB~DF

團(tuán)4B-CE=EMAC,

rjn/lBEM

即——=—,

ACCE

(3BD=CE

脛=也

CEDB

嗯審

回AB-DF=AC-EF

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì).

【變式5-1](2023春?江西南昌?九年級(jí)統(tǒng)考期末)⑴已知拋物線y=ax2-6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,-1),

其對稱軸為x=-l.求拋物線的解析式.

(2|如圖，在BABC中，AB=AC,點(diǎn)D,匚分別是BC,AB邊上的點(diǎn)，H0ADC=13C.

求證：BD-CD=BEAC

【答案】(1)尸=一3--6%-1；(2)詳見解析.

【分析】1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

(2)由AB=AC可得用B=(3C,由已知條件0ADE=(3C可證ISBDEWCAD,根據(jù)相似三角形的判定定理即可證

團(tuán)BDE宛1CAD,由相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】⑴解：由題意得，_16=_1,解得｛，二

2a