蘇教版七年級數(shù)學上冊學習講義（附習題答案）

第2章有理數(shù)

2.1正數(shù)與負數(shù)

知識點1正數(shù)和負數(shù)

1.比0大的數(shù)是正數(shù)，比0小的數(shù)是負數(shù).0既不是正數(shù)也不是負數(shù).

2.“+〃讀作〃正〃，如“+2〃讀作“正2〃，正號通常省略不寫;“-〃讀作”負〃，如〃-2〃

讀作“負2〃，負數(shù)前面的“?〃號不能省略.

3.〃+〃與加號表示方法相同，"-〃與減號表示方法相同，但它們表示的意義完全

不同，前者表示數(shù)的正負，后者表示的是運算符號.

4.目前學習的數(shù)可分為三類:正數(shù)、負數(shù)和0,正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0.

例1（2020?武威涼州區(qū)校級月考）己知下列各數(shù)：-8,2.89,0,-^--0.25,1

-3；.其中負數(shù)有（）

A.3個R4個C.5個D6個

練習1

（202（）?洛陽西工區(qū)校級月考）以下各數(shù)中，正數(shù)有

負數(shù)有.

120113

5,0.6,—100,0,,368,-2-

乙乙UJL/。

13

1.06、機,368A，-100,-2.

知識點2用正、負數(shù)表示具有相反意義的量

1.把屬性相同，但表示的意義相反的量叫做具有相反意義的量.具有相反意義的量

必須具備兩個條件：（1）同一屬性；（2）意義相反.

2.具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，如規(guī)定向東行為正，則向西行為負.單獨一個

量不能稱為具有相反意義的量.

3.與一個量成相反意義的量不止一個.例如與上升3米成相反意義的量就有下降

0.2米，下降1米等很多量.

4.具有相反意義的量包含兩個要素:一是它們的意義相反；二是都具有數(shù)量.

例2（2020?山西定襄縣校級月考）下列各對量中，具有相反意義的量的是（）

4則進50斤蘋果與庫存200斤蘋果B.高于海平面786m與低于海平面230m

C.東走9m和北走10mD.飛機上升100m與前進100m

練習2

（2020?西藏南木林縣校級月考）《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令

正負以名之“，意思是：今有兩數(shù)，若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負數(shù)，若氣溫

為零上8℃,記為8℃,則-2℃表示氣溫為.

2.零下2℃

知識點3整數(shù)和分數(shù)

1.正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù).正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù).

2.有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，都是分數(shù).

3.引入負數(shù)后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了.奇數(shù)包括正奇數(shù)和負奇數(shù)，偶數(shù)包括

正偶數(shù)、0和負偶數(shù).但質(zhì)數(shù)和合數(shù)的范圍沒有變化，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，2是

最小的質(zhì)數(shù).負數(shù)沒有質(zhì)數(shù)、合數(shù)之說.

4.正數(shù)、0統(tǒng)稱為非負數(shù)；0、負數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù).

5.正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)；0、負整數(shù)統(tǒng)稱為非正整數(shù).

6.數(shù)的集合是指把一些具有相同特征的數(shù)放在一起組成一個集合.

例3（202（）?重慶北暗區(qū)校級月考）在-2.4,0,-2,2這四個數(shù)中，是負整數(shù)的是

（）

4-2.4B.-2GOD.2

練習3

1

（202（）?成都武侯區(qū)校級月考）在三，一2,+3.5,0,-0.7,5,-

1中，負分數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.8

[提示:在"一.-2,+3.5,0,-0.7,5,中，負分數(shù)有-0.7,-共2

個.]

2

——題型總結(jié)——

題型1根據(jù)正負數(shù)確定范圍

例1（2020?西安啤林區(qū)校級月考）一種零件的長度在圖紙上標為20±0.01（單位:mm）

表示這種零件的長度應是20mm,加工要求最大不超過、最小不小于

練習1

（2020?暢州章貢區(qū)月考）某種零件,標明加工要求是＜p（20±0.02）mn（＜p表

示直徑，單位：毫米）經(jīng)檢查，一個零件的直徑是19.7mm,該零件

（填“合格”或“不合格”）.

L不合格

題型2時差的計算

例2（202（）?沈陽沈河區(qū)校級月考）悉尼、洛杉磯與北京的時差如下表：（正數(shù)表示

同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負數(shù)表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)）

悉尼洛杉磯

時差+2-15

現(xiàn)在是北京10月8日18時，想要與兩地的親人通話，適合的是_________.

（填“悉尼”或“洛杉磯”）

練習2

（2020?鹽城校級期中）紐約與北京的時差為一13小時（正數(shù)表示同一時刻比北京時

間早的時數(shù)），若北京時間19：30,則此時紐約的時間是.

2、6:30

題型3探究正負數(shù)的規(guī)律

例3（2020?武漢江岸區(qū)校級月考）觀察下面一列數(shù)：-1,2,-3,4,-5,6,-

7,…，將這列數(shù)排成如圖2-1所示的形式.一1

2—34

按照圖中描述的規(guī)律排下去：G67RQ

-56—1o—9

10-1112-1314-1516

3

圖2-】

（1）第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是多少？

（2）從左邊數(shù),數(shù)2020應排在第幾行第幾個數(shù)？

練習3

觀察下列數(shù):-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,-9……

（1）請寫出這一列數(shù)中的第1（）（）個數(shù)和第2（）18個數(shù).

（2）在前2019個數(shù)中，正數(shù)和負數(shù)分別有多少個？

（3）202（）和一2020這兩個數(shù)，哪一個在這一列中？請說明理由.

3.解：（1）第100個數(shù)是100；第2018個數(shù)是2018.

（2）在前2019個數(shù)中,正數(shù)有1009個，負數(shù)有1（）10個.

（3）因為奇數(shù)均為負數(shù)，偶數(shù)均為正數(shù)，所以-2（）2（）不在這一列數(shù)中.

題型4正數(shù)與負數(shù)在實際問題中的應用

例4（2020?成都武候區(qū)校級月考）某股民上周買進甲公司股票1000股，每股20元,

下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況（單位:元）：

星期一二三四五

每股跌價+3-1+4.5+2.5-6

相當于前一天的收盤價而言.

（1）星期三收盤時，每股是多少元？

（2）本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低價是每股多少元?

（3）該股這五天的平均股價為每股多少元？

練習4

（2020?長沙開福區(qū)校級月考）某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車2100輛，平均每

天計劃生產(chǎn)300輛，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入，下表是某周的生產(chǎn)情況.（

超過每天計劃生產(chǎn)數(shù)記為正，不足每天計劃生產(chǎn)數(shù)記為負）

4

六

星期——三四五日

+5~2~5+】370727

（1）該廠星期四實際生產(chǎn)自行車輛

（2）該廠本周實際每天平均生產(chǎn)多少輛自行車？

4.解：（1）300+13=313（輛）.

300+5=305（輛），星期二生產(chǎn)自行車為300-2=298（輛），星期三生產(chǎn)自行車

為300-5=295（輛），星期四生產(chǎn)自行車為300+13=313（輛），星期五生產(chǎn)自

行車為300?10=290（輛），星期六生產(chǎn)自行車為300?12=288（輛），星

期日生產(chǎn)自行車為300-3=297（輛），本周實際每天平均生產(chǎn)自行車（305+

298+295+313+290+288+297）=298（輛）.答:該廠本周實際每天平均生產(chǎn)

298輛自行車.

5

能力培優(yōu)訓練

能力通關(guān)

1.（2020?西藏南木林縣校級月考）在?1,+7.5,0,-*一,-0.9,15中，負分

數(shù)共有（）

A.1個8.2個C.3個D4個

1.8

2.（2020?宣城宣州區(qū)校級月考）先向南走5m,再向南走-4m的意義是

A.先向南走5m,再向南走4m8.先向南走5m,再向北走-4m

C.先向北走-5m,再向南走4m。先向南走5m,再向北走4m

2.D

3.（2020?呼和浩特月考）六（1）班數(shù)學成績R勺平均分是88分，王莉考了95分，

記為+7分，劉樂樂考了80分，應記為分,李曉梅的成績記為?5分，她

考了___分.

3.?883[提示:選88分為標準，記為0分，超過部分為正，

不足部分為負，計算可得.]

4.（2020?洛陽潤西區(qū)校級月考）觀察下面一列數(shù)，根據(jù)規(guī)律在橫線上填上第7個數(shù):

123456

■_16-,~32~'-T2F,--------------,

4

大256

5.（2020?長沙雨花區(qū)校級月考）把下列各數(shù)填入相應的大括號里：

-3,0.2,3.14,8,0,-2，20，14,-6.5,17%,-182,

負數(shù)集：{

正分數(shù)集:{...）；

自然數(shù)集:{…};

非正整數(shù)集:{...）；

6

5.解：負數(shù)集：|?3,-2,-6.5,?182,???1；正分數(shù)集：0.2.3.14,17%.-^-…;

自然數(shù)集：18,(),2(),14…I；非正整數(shù)集：|-3,(),-2,-182,…

巔峰訓練

6.（2020?龍巖上杭縣校級月考）小明同學為參加秋季運動會的百米短跑項目，進行

了五次訓練，以13秒為標準，比標準慢的記為負數(shù)，比標準快的記為正數(shù)，統(tǒng)計

成績?nèi)缦卤恚?/p>

次數(shù)第一次第二次第三次第四次第五次

-0.2-0.10—0.30.1

（1）這五次訓練中最好成績是多少秒？

（2）第一次訓練的成績比第五次訓練的成績慢多少秒？

（3）這五次訓練的平均成績是多少秒？

6.解：（1）這五次訓練中成績最好的是第五次,為13?0.1=12.9（秒）；第一次訓

練的成績比第五次訓練的成績慢0.1+0.2=（）.3（秒）.（3）這五次訓練的平均成

績是一卜x（13.2+

13.1+13+13.3+12.9）=13.1（秒）.

7.（2020?沈陽沈河區(qū)校級月考）下表是今年某水庫一周內(nèi)的水位變化情況（正號表

示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降），該水庫的警戒水位是34m.

（上周末的水位正好達到警戒水位）

（2）與上周末相比，本周末河流水位上升了還是下降了？變化了多少米?

7.（1）二35.03-34.22

7

（2）本周末水位為34.63m,因為34.63m>34m,34.63-34=0.63（m）.答：本

周末河流水位是上升了.變化了0.63m.

素養(yǎng)提升

8.（聊城中考）紐約、悉尼與北京的時差如下表（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的

時數(shù)，負數(shù)表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)）：

悉尼紐約

時差/時+2-13

當北京6月15日23時、悉尼、紐約的時間分別是（）

A.6月16日1時；6月15日10時

A6月16日1時；6月14日10時

C.6月15B21時；6月15日10時

0.6月15日21時；6月16日12時

8.4［提示:悉尼的時間是6月15日23時+2小時二6月16日1時，紐約時間是6月

15日23時-13小時=6月15日10時二］

2.2有理數(shù)與無理數(shù)

知識點1有理數(shù)的概念

我們把能寫成分數(shù)形式手（m,n是整數(shù)，n/0）的數(shù)叫做有理數(shù).如:5二十，-4

40

,0=—o即我們學過的整數(shù)（正整數(shù)、負整數(shù)、零）都是有理數(shù)。如:0.3=

—,-3.11=一3二,0.333...=—,0.2666...=「一.即有限小數(shù)和無限摘環(huán)小數(shù)

10100315

都可以化為分數(shù)，它們都是有理數(shù).

例1（曲阜校級月考）①一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)；②一個有理數(shù)不是正數(shù)就是

負數(shù)；③一個整數(shù)不是正的，就是負的；④一個分數(shù)不是正的，就是負的.

以上說法正確的個數(shù)是（）

8

/1.1B.2C.D.4

練習1

（2020?沈陽朝陽校級月考）在下列數(shù)中:一-，，11.1111,一一1,95助0,

+2004,-2,1.1212212222,兀。非負整數(shù)有,有理數(shù)有

0.+2004-11.1111.95.57.0.+2004.-2.

1.1212212222222,-

9

知識點2有理數(shù)的分類

根據(jù)有理數(shù)的概念，有理數(shù)可以進行如下的分類:

1.按整數(shù)、分數(shù)的關(guān)系分類

正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)負整數(shù)

正分數(shù)

分數(shù)

負分數(shù)

2.按正數(shù)、0、負數(shù)的關(guān)系分類

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分數(shù)

有理數(shù)零

負整數(shù)

負有理數(shù)

負分數(shù)

例2（德州市德城區(qū)校級月考）①正有理數(shù)是正整數(shù)和正分數(shù)的統(tǒng)稱；②整數(shù)是

正整數(shù)和負整數(shù)的統(tǒng)稱:③有理數(shù)是正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)的統(tǒng)彌；④（）不

是自然數(shù)；⑤偶數(shù)包括正偶數(shù)、負偶數(shù)和零。以上說法正確的有（）

41個5.2個C.3個D4個

練習2

下列說法：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③正整數(shù)、負整數(shù)、

正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；④非負數(shù)就是正數(shù)；⑤不僅是有理數(shù)，而且是分

數(shù)；⑥,是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)；⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)；⑧正數(shù)

中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù)。其中錯誤的說法有（）

A.7個B.6個C.5個D.4個

2.B

[提示:①沒育最小的整數(shù)，故錯誤:②后理數(shù)包括正數(shù)、。和負數(shù)，故錯誤:③正整數(shù)、

負整數(shù)、0、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故錯誤:④非負數(shù)就是正數(shù)和0,故錯誤:

（3）-冬是無理數(shù)，故錯誤:⑥子-是無限循環(huán)小數(shù).所以是有理數(shù).故錯誤:⑦無限

小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù)，所以無限小數(shù)不都是有理數(shù)，故正確:⑧

正數(shù)中沒有最小的數(shù).負數(shù)中沒有最大的數(shù)，故正確.故其中錯誤的說法有6個.]

10

知識點3無理數(shù)的概念（難點；掌握）

1.無理數(shù)的概念

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如小學學過的圓周率71,它是無限不循環(huán)小數(shù)，不能

寫成分數(shù)形式旦（m,n是整數(shù)，/0），它的值是3.141592653589...,n是無理數(shù).

n

此外，像?0.1010010001…這樣的無限不循環(huán)小數(shù)也是無理數(shù).

2.目前我們學習過的無理數(shù)類型

（1）含有n的；

（2）小數(shù)形式無規(guī)律的；

（3）小數(shù)形式有規(guī)律但不循環(huán)的.

隨著知識的增加，我們還會接觸其他類型的無理數(shù).如面積為2的正方形的邊長就

是一個無理數(shù).

例3（江陰校級月考）下列各數(shù):0.3333…，0,100,-1.5,?，年，

-0.121221222無理數(shù)的個數(shù)是（）

A0個B1個C2個D3個

練習3

（202（）?南京鼓樓區(qū)期末）在3.14,與71,1.6中，無理數(shù)的個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

3.A[提示：只有n為無理數(shù)，共1個.]

——題型總結(jié)——

題型1識別有理數(shù)和無理數(shù)

例1把下列各數(shù)分別填入相應的大括號內(nèi).

3

-5,0.05,--,-4.2,26,-36,10.8,0,+1,10%,花，1.414,

4

-1.212212221...,--.

2

正有理數(shù)集合：{

負分數(shù)集合:{…};

非正整數(shù)集合：{

無理數(shù)集合:{...);

H

練習1

把下列各數(shù)填入相應的大括號內(nèi)：-3,5,卜-3.14,-040,

1.2121121112...,2.5,—,—：3兀。

45

正數(shù)集合：｛…}

整數(shù)集合：｛...)

分數(shù)集合：｛...}

無理數(shù)集合:…};

題型2理清兩個集合交叉部分的集合問題

例2（2020?南京建鄴區(qū)校級月考）如圖2-2所示，兩個圈分別表示負數(shù)集合和分數(shù)

集合，請將3,0,?3號-,-5,3.4正確地填入圈中.

JJ

負數(shù)集合分數(shù)集合

圖2-2

練習2

（2020?珠海香洲區(qū)校級月考）把下列有理數(shù)填入相應的集合內(nèi).

341

4-,1,-1.5,葺,0,-8,-7,0.38,-2.2,?20%。

整數(shù)集合］...):

負數(shù)集合:{

分數(shù)集合:{

題型3對無理數(shù)進行估值

例3（2020?廈門集美區(qū)期中）一個正方形的面積是7,估計它的邊長大?。?

4在2~3之間區(qū)在3~4之間C.在4、5之間。.在5%之間

練習3

（2020?興化校級月考）寫出一個比5大的無理數(shù):

3.2冗（答案不唯一）

12

能力培優(yōu)訓練

能力通關(guān)

1.在下列六個數(shù)中:0,4-，-苧，0.101001,-10%,5213,分數(shù)的個數(shù)是（B）

A.23.3C.4D.5

2.（2020?廈門思明區(qū)校級月考）對于-3.14,下列說法正確的是（C）

A.是負數(shù)不是分數(shù)B.是分數(shù)不是有理數(shù)

C是負數(shù)也是分數(shù)D.不是分數(shù)是有理數(shù)

3.（2020?徐州泉山區(qū)校級月考）在七。16166166616666,3.1415926,1000n四

個數(shù)中無理數(shù)有（A）

41個B.2個C.3個D4個

4.在學，0,-1,0.4,n,2,-3,-6這些數(shù)中，有理數(shù)有m個，自然

數(shù)有〃個，分數(shù)有女個，則m-〃-〃的值為（A）

A.3B.2C.1D4

5.若。是一個無理數(shù)，且3＜。＜4,寫出任意一個符合條件的值：兀

6.（2020?揚州祁江區(qū)校級月考）觀察下列各數(shù)據(jù)，按規(guī)律在橫線上填出下一個適當

的粉?_!_23456

雙T'-虧'FXT'"26',一■~37~—,

7.（2020?西安碑林區(qū)校級月考）在5,,0,--二，0.5,7,-1^,102,-17

43o

這些數(shù)中，負分數(shù)有3—個、

8.（六盤水中考）定義:A={8，c,a},B={c},/4L）B={a,b,c},若M={-

1},N={0,1,-1},則MUN={1,0,-1）.

9.（2020?龍巖長汀縣校級月考）把下列各數(shù)分別填入相應的大括號內(nèi)：-7,3.5,-

13I4

3.1415,n,0,書，0.03，?34一，10,-0.23,一弓一.

自然數(shù)集合：{0、10

整數(shù)集合：{（）（）一

-7..1.-4…};

正分數(shù)集合：{書-,

3.5.0.03...);

非正數(shù)集合：{..4

-7.-3.1415.0.-3^-.-0.23.--Y...)*

13

有理數(shù)集合：{-7,3.5,-3.1415,0,f-,0.03,-3$-，10,-0.23,-

~2~…};

巔峰訓練

10.觀察卜列數(shù)：-1,—^―?9，4—，7—?—7~

2343o

(1)請你推測第2019個數(shù)是——念；

（2）如果這一列數(shù)無限排列下去，與哪個數(shù)會越來越接近？

（2）這一列數(shù)無限排列下去，越來越接近（）

素養(yǎng)提升

11.已知有A,B,。三個數(shù)的“家族”.

A：{-1,3.1,-4,6,2.1},

{-4.2,2.1,-1,10,-4-},

O

C:{2.1,-4.2,8,6}.

（1）請把每個“家族”中所含的數(shù)填入圖2-5中的相應部分.

（2）把4,B,。三個數(shù)的“家族”中的負數(shù)寫在橫線上：

（3）有沒有同時屬丁A,B,C三個數(shù)的“家族”的數(shù)?若有，是什么？

(1)如圖6所不.(2)-1.-4.-4.2.—i―(3)有2.1.

O

14

圖6

15

2.3數(shù)軸

知識點1數(shù)軸及其畫法

1.定義

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

2.數(shù)軸的定義包含三層含義

（1）數(shù)軸是一條可以向兩端無限延伸的直線；

（2）數(shù)軸有三要素:原點、正方向、單位長度；

（3）注意“規(guī)定〃二字，是說原點的位置、正方向的選取、單位長度的大小是根據(jù)

實際需要來確定的.

3.數(shù)軸的畫法

（1）畫一條水平的直線；

（2）確定正方向，一般取水平向右為正方向：

（3）確定原點，取適當?shù)拈L度作為單位長度.

如圖2-6所示.

-4-3-2-101234

圖2-6

例1（2020?宣城宣州區(qū)校級月考）如圖2?7所示的是四位同學畫的數(shù)軸，其中正確

的是（D）

1-10123-1-2012-1012

ABCD

知識點2數(shù)軸上的點與有理數(shù).無理數(shù)的關(guān)系

1.有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；如:在如圖2-8所示的數(shù)軸上表示有

理數(shù)2,無理數(shù)兀

2.反之，數(shù)軸上的任意一點都表示一個有理數(shù)或無理數(shù)，即數(shù)軸上的

點與有理數(shù)或無理數(shù)建立一一對應關(guān)系.

例2把卜列六個數(shù)：-2.5,3^—>0,+5,-4,—^―.

16

(1)分別在如圖2-9所示的數(shù)軸上表示出來；

(2)填入相應的大括號內(nèi)-5-4-3-2-1012345

圖2?9

整數(shù)集：｛

負分數(shù)集：｛

練習2

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的一名成員希伯索斯發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).這個發(fā)現(xiàn)引發(fā)

了數(shù)學史上的第一次數(shù)學危機，打破了“萬物皆數(shù)”的局限認識，迎來了數(shù)學的一次飛

躍發(fā)展.下面關(guān)于無理數(shù)的說法錯誤的是(B)

A.面積為4的正方形的邊長是有理數(shù)B.無限小數(shù)是無理數(shù)

C.無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示D.半徑為1的圓的周長是無理數(shù)

知識點3比較兩個數(shù)的大小

1.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的大.

2.正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù).

3.涉及多個數(shù)比較大小時，一般先將各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再根據(jù)數(shù)軸上點的

分布特點進行判斷.

根據(jù)數(shù)軸上點的分布特點可以看出：(1)沒有最大的正教，沒有最小的正數(shù)；(2)沒

有最大的負數(shù)，沒有最小的負數(shù)；(3)最小的正整數(shù)是1,最大的負整數(shù)是-1.

例3比較下列各組數(shù)的大小.

911

(1)6和0；(2)■告和0；(3)5和?2；(4)-4.2,11一,31一,-2,

+7.

17

題型總結(jié)

題型1數(shù)軸上的動點問題

AR（C

例1在數(shù)軸上有三個點A,B,C,如圖2?11所示.-3-2-10123,

圖2-11

（1）將點8向左平移4個單位，此時該點表示的數(shù)是;

（2）將點。向左平移3個單位得到數(shù)小，再向右平移2個單位得到數(shù)〃，則小，〃分

別是多少？

練習1

在數(shù)軸上距原點3個單位長度的點表示的數(shù)是—±3_,己知P是數(shù)軸上表示一4

的一點，把P點向左移動3個單位長度后再向右移動1個單位長度，此時P點表示的

數(shù)是-6.

題型2在數(shù)軸上表示無理數(shù)

例2（1）如圖2?12所示，直徑為1個單位長度的圓，圓上的一點由原點沿數(shù)軸向左

滾動一周（不滑動）到達點A,則4點表示的數(shù)是;（2）若點8表示

-3.14,則8點在A點的邊（填“左”或“右”）；（3）若此圓從表

示1的點沿數(shù)軸滾動一周（不滑動）到達。點，寫出C點所表示的數(shù).

iiii?111t.

-4-3-2-101234

圖2-12

練習2

數(shù)軸上一動點A向左移動3個單位長度到達點B,再向右移動6個單位長度到達

點C,若點C表示的數(shù)為3,則點A表示的數(shù)為（B）

46A0C.-6D.-2

練習3

如圖所示，半徑為1個單位長度的圓片上有一點A與數(shù)軸上的原點重合，線段

AB是圓片的直徑，將圓片沿數(shù)軸滾動，點B第一次到達數(shù)軸上點C的位置，點C表

示的數(shù)是―-3.14或3.14—（兀取3.14）

-4-3-2-101234

題型3確定數(shù)軸上覆蓋點問題

例3把長為202()個單位長度的線段AB放在數(shù)軸上，能覆蓋多少個整數(shù)點？

練習4

長為2019.5個單位長度的木條放在數(shù)軸上，最多能覆蓋_2020_個整數(shù)點.

練習5

有幾滴墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中標出的數(shù)值，推算墨跡蓋住的整數(shù)點rr

—8—個.

5.8[提示:在-8和-3之間的整數(shù)有-7,-6,-5,-4,共4個，在4和9之間的

整數(shù)有5,6,7,8,共4個，4+4=8.]

題型4利用數(shù)軸解決實際問題

例4一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了3km到達小剛家，繼續(xù)向東走了4km到達

小紅家，又向西走了10km到達小英家，最后回到超市.

(1)請以超市為原點，以向東為正方向，用1個單位長度表示1km,畫出數(shù)軸，

并在數(shù)軸上分別表示出小剛家、小紅家、小英家的位置.

(2)小英家距小剛家有多遠？

(3)貨車一共行駛了多少千米？

練習6

一條東西走向的商業(yè)街上，依次有書店(記為A)、冷飲店(記為B)、鞋店(記

為C),冷飲店位于鞋店西邊50m處，鞋店位于書店東邊60m處，王平先去書店，

然后沿著這條街向東走了3()m至D處，接著向西走5()m到達E處.

(1)以A為原點、向東為正方向畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示出上述A,B,C,D,

F的位置；

(2)若在這條街上建一家超市，使超市與鞋店C分居E點兩側(cè)，且到E點的距

離相等，則超市在冷飲店的什么方向?距離多遠？

6.解：(1)數(shù)軸如圖8所示，圖中的A,B,C,D,E即為所作.

(2)鞋店C到E的距離為60+20=80(m),超市在數(shù)軸上表示的數(shù)為?100,

超市到冷飲店的距離為10+100=110(m).答:超市在冷飲店的西邊110m的地方.

,、q、,

70-30-20-1001020304050607080?

圖8

19

能力培優(yōu)訓練

能力通關(guān)

1.（2019?吉林中考）如圖2-16所示，數(shù)軸上蝴蝶所在點表示的

數(shù)可能為（D）一鬻-----『

A.3B.2C.1D.-1圖2T6

2.（2020?長沙雨花區(qū)校級月考）在數(shù)軸上，到表示-2的點的距離是6個單位長度

的點表示的數(shù)是（C）

A.4B.-8C4或-8D.9

3.（2020?高郵月考）學校、小明家、書店依次坐落在一條南北走向的大街上，學校

在小明家南邊20m,書店在小明家北邊100m.小明同學從家里出發(fā)，向北走了50

m,接著又向南走了70m,此時小明的位置是（C）

A.家B.書店C.學校D不在上述地方

4.（2020?南寧江南區(qū)校級月考）數(shù)軸上表示數(shù)-3和表示數(shù)7的兩點之間的距離是

―10—.

5.（2020?孝義期中）如圖2?17所示，半徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向左

滾動一周，圓卜?的一點由原點達到。，點0'表示的數(shù)是2n_.

0,0

圖2T7

6.（2020?重慶九龍坡區(qū)校級月考）數(shù)軸上A,8兩點對應的數(shù)分別為-2和m,且

線段AB=3,則m=_-5或1_.

7.（2020?赤峰第牛特旗校級期中）如圖2?18所示，小明寫作業(yè)時，不慎將墨水滴

在數(shù)軸_L,根據(jù)圖中數(shù)值，請你確定墨跡蓋住部分的整數(shù)共有—3_個，分別

是__0.1.2_.

圖2-18

8.如圖2-19所示，點A表示的數(shù)是-4,單位長度是1.

（1）在數(shù)軸上表示出原點O;

（2）指出點B所表示的數(shù)；3

（3）在數(shù)軸上找一點C,它與點3的距離為2個單位長度，那么點。表示什么

數(shù)？

/I0H

圖9

（3）①當點。在點8的左側(cè)時，3?2二1.②當點C在點B的右側(cè)時，3+2=5,

因此，點。表示的數(shù)為1或5.

20

巔峰訓練

9.數(shù)軸上到原點的距離小于3：個單位長度的點中，表示整數(shù)的點共有_7_個.

9.7[提示:畫出數(shù)軸如圖1()所示.從數(shù)軸上可以看到表示整數(shù)的點有：-3.-2,-

1.0.1.2,3,共7個.]

10.A,8為數(shù)軸上的兩點，4點對應的數(shù)為-10,8點對應的數(shù)為90.

(I)請寫出與A,6兩點距離相等的M點對應的數(shù)；

(2)當電子螞蟻。從8點出發(fā)時，以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時另一只

電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以2個單位長度/秒的速度向右運動，經(jīng)過多長時間

2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距35個單位長度？

10.解：(I)借助數(shù)軸可知與A、8兩點距離相等的歷點對應的數(shù)為40.(2)相遇前:

(100-35).(2+3)=13(秒).相遇后：135+100).(2+3)=27(秒)，

則經(jīng)過13秒或27秒，2只電子螞蟻在數(shù)軸上相距35個單位長度.

素養(yǎng)提升

11.如圖2?20所示，在紙面上有一個數(shù)軸，折疊紙面.

[111I1111」」.

-5-4-3-2-1012345

圖2-20

(1)若1表示的點與-1表示的點重合，則?3表示的點與_3_表示的點重合；

(2)若?1表示的點與4表示的點重合，那么8表示的點與_-5一表示的點重合.

12.一個機器人從數(shù)軸上的原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每前進3步后退2步的程序運

動，設(shè)該機器人每秒前進或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，Xn表示第

〃秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應的數(shù).如X1表示第1秒時機器人在數(shù)軸上的

位置所對應的數(shù).以下結(jié)論，①右-3;②乂4-4;③X205>X204；④X2022<X

2023o其中，正確的有—①④_(填序號).

21

2.4絕對值與相反數(shù)

知識點1絕對值

1.絕對值的概念:數(shù)軸上表示一個數(shù)的點與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

2.絕對值的表示方法:通常我們將數(shù)a的絕對值記為|a|.

-5-4-3-2-1012345

AB

圖2-21

如圖2-21所示，點A到原點的距離為3,即點A表示的數(shù)-3的絕對值為3,記

作|-3|=3;同理點B表示的數(shù)2的絕對值為2,即|2|二2.

3.絕對值是運算，這種運算是求數(shù)軸上的點到原點的距離.

4.絕對值是〃距離〃，表示一個數(shù)的點離原點越遠，這個數(shù)的絕對值越大；反之，

距離原點越近，這個數(shù)的絕對值越小.

例1在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并寫出它們的絕對值.

95

-3,2,--y-t4,-0.5,不.

（2020?長沙開福區(qū)校級月考）滿足3二2的數(shù)不有（4）

A.1個B.2個C.3個D.無數(shù)個

練習2

（2019?大連中考）-2的絕對值是（B）

428.；C.--YD.-2

知識點2相反數(shù)

1.相反數(shù)的概念

符號不同、絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù).0的相

反數(shù)是0.例如2與?2互為相反數(shù)，其中2是-2的相反數(shù)，?2是2的相反數(shù)，n的

相反數(shù)是-兒

2.相反數(shù)的表示方法

表示一個數(shù)的相反數(shù)，可以在這個數(shù)的前面添一個〃-〃號.

如-2的相反數(shù)可以表示為-（-2）,而我們知道-2的相反數(shù)是2,所以-（-2）=2.

一般地，a的相反數(shù)是-a,?a的相反數(shù)是a,即-（-a）=a.

22

3.任何數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個，正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正

數(shù)，0的相反數(shù)是0.

4.若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0（或a=-b）;反之，若a+b=0（或a=-b）,

則a與b互為相反數(shù).

例2⑴（2019?常州中考）-3的相反數(shù)是（）

A.-Y~B.-C.3D.-3

（2）在如圖2-23所示的數(shù)軸上，若A,B兩點到原點的距離

相等，則點8所表示的數(shù)是（）——f

1-10123

A.-3B.-2C.-D.6圖2-23

知識點3化簡一介含多重符號的數(shù)

根據(jù)相反數(shù)的意義，我們可以化簡一個含多重符號的數(shù).把一個含多重符號的數(shù)化成

單一符號，化簡的結(jié)果是正還是負，由該數(shù)前面的“?”號決定，與“+”號無關(guān).

例3下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

4+（-2）和-（+2）A-（-0.5）和+（+0.5）

C.-（-告）司+（-告）D.-（-9）和-[+（-9）]

練習3

（2020?揚州江都區(qū)期末）-2的相反數(shù)是（）

A.-2B.2。

3.8[提示：因為-2+2=0,所以-2的相反數(shù)是2.]

23

練習4

化簡下列各數(shù)的符號.

(1)-(+4)；(2)-(-7.1)；

(3)-[+(-5)]；(4)-[-(-8)].

知識點4絕對值的性質(zhì)

1.絕對值的性質(zhì)：(1)正數(shù)的絕對值是它本身；(2)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；

(3)0的絕對值是0.

2.求一個數(shù)的絕對值，首先要分清這個數(shù)是正數(shù)、負數(shù)、還是0,然后才能正確

地寫出它的絕對值.用式子表示:當a>()時，|a=a；當a=()時，|a|=0；當av()時，|a|

=-a.

3.根據(jù)絕對值的概念和性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)，任何一個數(shù)的絕對值都是正數(shù)或0,即對

于任意數(shù)a,總有同加，這個特征叫做絕對值的非負性.

例4求下列各數(shù)的絕對值：等，-2.5,-(-3),0.

知識點5會用絕對值比較兩個負數(shù)的大

根據(jù)數(shù)軸上表示兩個正數(shù)的點都在原點的右邊，并且表示絕對值較大的正數(shù)的點

在另一個點的右邊；所以兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)大；

2.比較兩個負數(shù)大小

根據(jù)數(shù)軸上表示兩個負數(shù)的點都在原點的左邊，并且表示絕對值較大的負數(shù)的點

在另一個點的左邊.所以兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)小.

步驟：(1)求出這兩個數(shù)的絕對值；(2)比較兩個絕對值的大小；

(3)根據(jù)“絕對值大的反而小〃作出判斷.

例5比較下列兩組數(shù)的大小.

(1)-54-與-(2)--和-W.

4□/o

練習5

求下列各數(shù)的絕對值：-12,3,-(-7),|-9.6|.

5.解：|-12|二12.3|=3.|?(-7)|=7,|-9.6|=9.6.

練習6

(2020?南通海安期末)比較大小：-；______&(填“>”“v”或“二").

6、<

24

題型總結(jié)

題型1絕對值的計算

例1計算.

(1)I-8|+|-4|；(2)-(-3.5)-|-—；

(3)-3-^-4-I-1-^-x|-1^-；(4)|-5|+|-10|v|-2|.

練習1

計算.

(1)I-10|+|-5|；=15.(2)|?6|川-3|；=2.

(3)|-6.5|-|-5.5|；=1.(4)|-5|+|-10|-|-9|；=6.

(5)|-3x|-6|-|-7x|+2|.=4.

例2若1-m|+n-2\=0,則m+〃的值為

練習2

如果。是有理數(shù)，那么I。1+2019的最小值是_________.

2.2019［提示:因為|a20,所以㈤+2019因為19,所以㈤+

25

題型3數(shù)形結(jié)合比較大小

例3已知〃>0,b<0,且|/?|<4,試比較4,/?,-4,-/?的大小.

26

練習3

（2020?無錫期末）有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則化簡|a+b|

的結(jié)果正確的是（）

F0bA

A.a+bB.a-bC.-a+bD.-a-b

3.O[提示:H據(jù)題意可知〃+〃v0.+力|（a+b）=-