深圳龍崗街道世紀(jì)學(xué)校初中部中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題模擬匯編一、中考幾何壓軸題1．如圖（1），已知點在正方形的對角線上，垂足為點，垂足為點．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運用：若，正方形在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三點在一條直線上時，則．2．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，在中，，，點在邊上，且，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接、，的值為______；（類比探究）（2）如圖2所示，在（1）的條件下，點為的中點，，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的值會發(fā)生改變嗎？說明你的理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，在鈍角中，，，點在邊的延長線上，，連接．將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，連接，則______（請用含有，的式子表示）．3．在中，于點，點為射線上任一點（點除外）連接，將線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，，得到，連接．（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，當(dāng)，且時，BP與的數(shù)量關(guān)系是___________，與的位置關(guān)系是___________．（2）（猜想證明）如圖2，當(dāng)，且時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．（請選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）（3）（拓展探究）在（2）的條件下，若，，請直接寫出的長．4．在與中，且，點D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點，當(dāng)時，BM的最小值為多少？直接寫出答案．5．綜合與實踐操作探究（1）如圖1，將矩形折疊，使點與點重合，折痕為，與交于點．請回答下列問題：①與全等的三角形為______，與相似的三角形為______．并證明你的結(jié)論：（相似比不為1，只填一個即可）：②若連接、，請判斷四邊形的形狀：______．并證明你的結(jié)論；拓展延伸（2）如圖2，矩形中，，，點、分別在、邊上，且，將矩形折疊，使點與點重合，折痕為，與交于點，連接．①設(shè)，，則與的數(shù)量關(guān)系為______；②設(shè)，，請用含的式子表示：______；③的最小值為______．6．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點、分別在、上，．（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在中，，，點、均在邊上，且，若，求的長．7．△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一點，將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α°，得到線段AE，連接BE．（1）（特例感知）如圖1，若α=90，則BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比探究）如圖2，若α=120，試探究BD+BE與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）（拓展延伸）如圖3，若α=120，AB=AC=4，BD=，Q為BA延長線上的一點，將QD繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段QE，DE⊥BC，求AQ的長．8．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在復(fù)習(xí)線段垂直平分線性質(zhì)時，提出了以下幾個問題，請你幫他們解決：[數(shù)學(xué)理解](1)點是線段垂直平分線上的一點，則的值為；[拓展延伸](2)在平面直角坐標(biāo)系中，點，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為．(3)經(jīng)小組探究發(fā)現(xiàn)，如圖，延長線段到點，使，以點為因心，長為半徑作園，則對于上任一點，都有，請你證明這個結(jié)論：[問題解決](4)如圖，某人乘船以25千米/時的速度沿一筆直的河從碼頭到碼頭，再立即坐車沿一筆直公路以75千米/時的速度回到住處，已知乘船和坐車所用的時間相等請在河邊上確定碼頭的位置．(請畫出示意圖并簡要說明理由)9．（發(fā)現(xiàn)問題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．10．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點A的兩個正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點A的兩個正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點D、E、G三點在同一條直線上時，請直接寫出AE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點A的兩個矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點M，N分別是BD，DE的中點，連接MN，當(dāng)點D、E、G三點在同一條直線上時，請直接寫出MN的長11．如圖1，已知直角三角形，，，點是邊上一點，過作于點，連接，點是中點，連接，．（1）發(fā)現(xiàn)問題：線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；的度數(shù)為______；（2）拓展與探究：若將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（3）拓展與運用：如圖3所示，若繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點落到邊上時，邊上另有一點，，，連接，請直接寫出的長度．12．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點逆時針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時，請直接寫出的值．13．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ABC是等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）解決問題如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運動，同時點M從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運動，當(dāng)其中一個點運動至終點時，另一個點隨之停止運動，連接PM，在PM右側(cè)作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點G，連接PC．設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)△APG為等腰三角形時，直接寫出t的值．14．問題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點為點，，的兩邊分別交直線，于點，，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特例研究：如圖1，當(dāng)點，分別在線段，上，且，時，請直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：________；（2）問題解決：如圖2，當(dāng)點落在射線上，點落在線段上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請通過證明探究出線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，當(dāng)點落在射線上，點落在射線上時，若，，請直接寫出的長和此時的面積．15．如圖1，在等腰三角形中，點分別在邊上，連接點分別為的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是____，的大小為_____；（2）探究證明把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請求出面積的最大值．16．如圖1所示，邊長為4的正方形與邊長為的正方形的頂點重合，點在對角線上．（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1所示，與的數(shù)量關(guān)系為________；（類比探究）如圖2所示，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，請問此時上述結(jié)論是否還成立？如成立寫出推理過程，如不成立，說明理由；（拓展延伸）若點為的中點，且在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，有點、、在一條直線上，直接寫出此時線段的長度為________17．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機器人開展數(shù)學(xué)活動，在相距150個單位長度的直線跑道AB上，機器人甲從端點A出發(fā)，勻速往返于端點A、B之間，機器人乙同時從端點B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點B、A之間．他們到達(dá)端點后立即轉(zhuǎn)身折返，用時忽略不計，興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為30個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度．②若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為35個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為個單位長度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為x個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為y個單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為x個單位長度，他們第三次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離為y個單位長度，若這兩個機器人在第三次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離y不超過60個單位長度，則他們第一次迎面相遇時，相遇地點與點A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）18．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．19．問題情境：兩張直角三角形紙片中，．連接，，過點作的垂線，分別交線段，于點，（與在直線異側(cè)）．特例分析：（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；拓展探究：（2）當(dāng)，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)時，直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：；②如圖3，當(dāng)時，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；推廣應(yīng)用：（3）若圖3中，，設(shè)的面積為，則的面積為．（用含，的式子表示）20．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E．作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時，請直接寫出tan∠BAE的值．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2解析：（1）證明見解析；；（2）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）或【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證即可得；（3）由（2）證出就可得到，再根據(jù)三點在同一直線上分在CD左邊和右邊兩種不同的情況求出AG的長度，即可求出BE的長度．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；解：由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴故答案為：．（2）如下圖所示連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知在和中，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）解：當(dāng)正方形在繞點旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：當(dāng)三點在一條直線上時，由（2）可知，，∠CEG=∠CEA=∠ABC=90°，，當(dāng)正方形在繞點旋轉(zhuǎn)到如下圖所示時：當(dāng)三點在一條直線上時，由（2）可知，，∠CEA=∠ABC=90°，，故答案為：或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）BE+BD的值不會發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中解析：（1）；（2）BE+BD的值不會發(fā)生改變，理由見解答；（3）2k?sin【分析】（1）只要證明，即可解決問題；（2）如圖2中，作交于，過點作交于．利用（1）中結(jié)論即可解決問題；（3）如圖③中，作交的延長線于，作于．只要證明，可證，即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，，，，，，，，故答案為：．（2）的值不會發(fā)生改變，理由如下：作交于，過點作交于，，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，由（1），知，，，，為邊上的中點，，，，，，，，，，；（3）如圖3中，作交的延長線于，作于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，．．故答案為：．【點睛】本題考查幾何變換綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．3．（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．解析：（1），；（2）成立，不成立，與的關(guān)系為，見解析；（3）2或14【分析】（1）連接AE，證明△ABC、△APE為等邊三角形，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BP=CE，，再求得，即可得，所有．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．選圖2證明：連接，易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此可得，結(jié)論可證；選圖3證明，類比圖2的證明方法即可；（3）分圖2和圖3兩種情況求CE的長即可．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵，且，∴△ABC為等邊三角形，∴，AB=AC，∵，且，∴△APE為等邊三角形，∴，AP=AE，∴，∴；在△BAP和△CAE中，，∴，∴BP=CE，，∵，，，∴∠ABP=30°，∴，∴，∴．故答案為：，．（2）成立，不成立，與的關(guān)系為．理由如下：選圖2證明：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即；又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，．選圖3證明：理由如下：連接，由題意可知：、均為等腰直角三角形，∴，，∴，即，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，；（3）或14．如圖，∵，∴，∵，∴在中，，∴，由（2）知：，∴；如圖，同理可得，∴，∴．綜上：的長為2或14．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練運用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．4．（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB解析：（1）90度；1；（2）的度數(shù)為90度，的值為；（3）BM的最小值為1．【分析】（1）度，利用SAS證明，即可得出，的值為1；（2）度，證明，即可得出，；（3）當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB時，CD最小，此時DE最小，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【詳解】（1）①∵∴∴∵，∴∴，∴∴，∴，的值為1；（2）在中，，令，則，同理令，∴，∴①∵即∴②有①②得∴，∴（3）在中，，∴，當(dāng)CD最小時，即CD垂直于AB時，CD最小，此時DE最小，而，∴，而BM是直角三角形DBE斜邊上的中線，∴【點睛】本題涉及全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、特殊的三角函數(shù)值和直角三角形的性質(zhì)．是一個綜合性比較強的題目，要熟練掌握各個知識點．5．（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形解析：（1）①；或；證明見解析；②菱形，證明見解析；（2）①；②；③【分析】（1）①利用矩形的性質(zhì)與軸對稱的性質(zhì)證明如圖1，連接證明即可得到答案；②如圖1，由①得：再證明四邊形為平行四邊形與可得結(jié)論；（2）①如圖2，連接由折疊可得：再利用勾股定理可得答案；②如圖3，連接交于證明四邊形是菱形，可得從而可得答案；③由②得：可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）①矩形由折疊可得：如圖1，連接由折疊可得：同理：故答案為：，或②如圖1，由①得：矩形四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，（2）①如圖2，連接由折疊可得：矩形，，故答案為：②如圖3，連接交于矩形重合，同理可得：由對折可得：四邊形是菱形，，，故答案為：③由②得：當(dāng)時，最小，最小值為的最小值為：故答案為：【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GA解析：（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；

（2）把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共線．

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF；②成立，理由如下：如圖2，把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，．如圖3，把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中，，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：，即DE=．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，此題運用了類比的思想，一般先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．7．（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點A解析：（1）；（2），見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABE≌△ACD，進(jìn)而可得BE=CD，結(jié)合BD+CD=BC可得BD+BE=BC，再根據(jù)等腰直角三角形中BC=即可證得；（2）過點A作AH⊥BC，根據(jù)∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，，則，由（1）可知BD+BE=BC，由此即可得；（3）過Q點作QF∥AC交BC延長線于點F，先證∠BQF=120°，BQ=QF，進(jìn)而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，，進(jìn)而可證得，再根據(jù)cos∠EBD==cos60°=可求得，進(jìn)而求得，最后根據(jù)AQ=BQ－AB即可得到答案．【詳解】解：（1）理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°∴∠EAB=∠DAC在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD，∵BD+CD=BC∴BD+BE=BC∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=∴BD+BE=；（2）結(jié)論：，理由如下：過點A作AH⊥BC，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠ABC=30°，在Rt△ABH中，cos∠ABH==cos30°=∴BH=AB，∴由（1）同理可知BD+BE=BC，∴；（3）過Q點作QF∥AC交BC延長線于點F，∴∴∠QFC=∠QBF=30°，∠BQF=120°∴BQ=QF由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，∴cos∠EBD==cos60°=∵，∴AQ=BQ－AB=．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)圖形的判定及性質(zhì)以及能夠作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．8．（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點為圓心，為半徑作，則與河邊的交點為所求點的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求解析：（1）1；（2）或；（3）見解析；（4）以的中點為圓心，為半徑作，則與河邊的交點為所求點的位置，畫出示意圖見解析；簡要理由見解析．【分析】（1）直接利用垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)求出的長，再根據(jù)，即可求出點的坐標(biāo)；（3）連接，根據(jù)推出，從而推出，證明，即可證明；（4）在線段上作點，使，在線段的延長線上作點，使，以的中點為圓心，為半徑作，則與河邊的交點為所求點的位置.同（3）證明即可證明結(jié)論.【詳解】（1）∵點是線段垂直平分線上的一點，∴，∴，故答案為：1；（2）∵∴，∵，∴，∴點的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（3）如圖，連接，∵，，∴，∵的半徑為，∴，∴.∴，∴.∵，∴，∴.∴.（4）如圖，在線段上作點，使，在線段的延長線上作點，使.以的中點為圓心，為半徑作，則與河邊的交點為所求點的位置.簡要理由:由于水路速度為陸路速度的，且時間相等，所以水路的距離必為陸路距離的，即需，連接，同(3)可證，∵，，∴，∴，∴，同理可得，∴又∵，由此，得.【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確的理解題意畫出圖形和作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.9．（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等解析：（1）；（2）①，證明見解析；②；（3），【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合等量代換即可求解；（2）①根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；②由全等三角形的性質(zhì)得，然后利用等量代換即可求解；（3）首先證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，和，即可求解．【詳解】（1）∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE∴AC-CD=BC-CE，即AD=BE∴AD=BE；（2）①AD=BE證明：∵和均為等邊三角形∴CA=CB，CD=CE，∴∴∴AD=BE②∵∴設(shè)BC和AF交于點O，如圖2∵∴，即∴；（3）結(jié)論，證明：∵，AB=BC，DE=EC∴，∴∴，∴∵∴【點睛】本題考查了幾何變換綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵證明全等和相似，并且分類討論．10．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點G在線段DE上時，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點E在線段DG上時，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點G在線段DE上時，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點M，N分別是BD，DE的中點，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點E在線段DG上時，同理可求：BE＝16，∵點M，N分別是BD，DE的中點，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．11．（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)解析：（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、角的和差即可求出的度數(shù)；（3）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再分別在和中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）在中，，點是中點，，同理可得：，，在中，，，，又，，，，，，，；（2）結(jié)論成立，理由如下：如圖，分別取AB的中點為M，取AD的中點為N，連接FM、CM、EN、FN，，，又點是中點，是的中位線，，，同理可得：，，繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，，，同理可得：，，在和中，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；（3）如圖，過點G作，交AE延長線于點F，在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，，在中，，，，則在中，．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形解析：（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4【分析】（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．【詳解】解：（1）；60°解答如下：如圖１，與為等邊三角形，，在與中，，故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．（2）不成立理由如下：與為等腰直角三角形，，，，即：，在與中，故（1）中的結(jié)論不成立；（3）的長度為2或4；①點在直線上方時如圖4，，，②點在直線下方時，如圖5，∥根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，，故答案為綜上可得的長度為2或4【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的三邊關(guān)系、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合性比較強，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，從而證明三角形全等是解答該小問的關(guān)鍵．（2）根據(jù)等腰直角三角形的三邊關(guān)系，證明兩個三角形相似是解答第二問的關(guān)鍵，重點掌握相似三角形的判定方法．（3）解答本題時，首先要認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)過程中滿足題意的兩種情況，其次證明過程可參考上面的證明過程，最后如何判定四邊形為矩形也是解答最后一題第二種情況的關(guān)鍵．13．（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，解析：（1）；（2）結(jié)論成立，見解析；（3）1或2【分析】（1）問題發(fā)現(xiàn)：通過角的關(guān)系可證△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得到線段的關(guān)系；（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結(jié)論；（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長，當(dāng)G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，代入計算即可；當(dāng)G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，則△APG為等邊三角形，代入計算得到t．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)AB，CE，BD，DC之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴．故答案為：．（2）拓展探究（1）中的結(jié)論成立，∵AB＝AC，∠B＝α，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，∵∠ADE＝α，∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴；（3）解決問題∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∵∠PMG＝30°，∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BPM＝∠CMG，又∠B＝∠C＝30°，∴△PBM∽△MCG，∴，由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，如圖1，過點A作AH⊥BC于H，∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BC＝2BH＝4cm，∴MC＝（4t）cm，∴，即CG＝3t，當(dāng)G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，如圖2，此時AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，∴4﹣3t＝t，解得：t＝1，當(dāng)G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，如圖3，此時∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，此時AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，∴3t﹣4＝t，解得：t＝2，∴當(dāng)△APG為等腰三角形時，t的值為1或2．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握分類的思想方法是解題的關(guān)鍵．14．（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）解析：（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可證得，得到，，進(jìn)而求出，得到，在中，，，即．（3）過點作，可求得，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積，【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴,,∴．（2）不成立．理由如下：如圖1，分別過點作于點，于點，易證得，則，．∵，，∴．∵，∴，則，∴，∴，即．在中，，∴，即．（3），．解法提示：如圖2，過點作，可求得．同（2）可證，可求得．在中可求出，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積為．【點睛】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確理解三角形全等判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點分別為的中點＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)解析：（1）相等，；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.【分析】（1）根據(jù)＂點分別為的中點＂，可得MNBD，NPCE，根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出．（2）先求出，得出，根據(jù)MNBD，NPCE，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代換求出，即可求解．（3）根據(jù)，可知BD最大值，繼而求出面積的最大值．【詳解】由題意知：AB=AC，AD=AE，且點分別為的中點，∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC∴MN=NP又∵M(jìn)NBD，NPCE，∠A=，AB=AC，∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C=根據(jù)三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB，∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C=．是等邊三角形．理由如下：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得在ABD和ACE中．點分別為的中點，是的中位線，且同理可證且．在中∵∠MNP=，MN=PN是等邊三角形．根據(jù)題意得:即，從而的面積．∴面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了三角形中點的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識；正確掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．16．【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即解析：【問題發(fā)現(xiàn)】；【類比探究】上述結(jié)論還成立，理由見解析；【拓展延伸】或．【分析】問題發(fā)現(xiàn)：證出AB∥EF，由平行線分線段成比例定理得出，即可得出結(jié)論；類比探究：證明△ACE∽△BCF，得出，即可的結(jié)論；拓展延伸：分兩種情況，連接CE交GF于H，由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，AC=AB=4，GF=CE=CF，GH=HF=HE=HC，得出CF=BC=2，GF=CE=2，HF=HE=HC=，由勾股定理求出AH==，即可得出答案．【詳解】問題發(fā)現(xiàn)：AE=BF，理由如下：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，CE=CF，，∴，∴，∴AE=BF；故答案為：AE=BF；類比探究：上述結(jié)論還成立，理由如下：連接，如圖2所示：∵，∴，在和中，CE=CF，CA=CB，∴，∴，∴，∴AE=BF；拓展延伸：分兩種情況：①如圖3所示：連接交于，∵四邊形和四邊形是正方形，∴，AC=AB=4，GF=CE=CF，，∵點為的中點，∴，GF=CE=2，GH=HF=HE=HC=，∴∴AG=AH+HG=；②如圖4所示：連接交于，同①得：GH=HF=HE=HC=，∴，∴AG=AH-HG=；故答案為：或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．17．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個機器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個機器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時相遇點距點A為m個單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點第二次相遇地點剛好在點B時，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點與點A之間的距離為30個單位長度，∴相遇地點與點B之間的距離為150﹣30＝120個單位長度，設(shè)機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為v＝4v，∴機器人甲從相遇點到點B所用的時間為，機器人乙從相遇地點到點A再返回到點B所用時間為，而，∴機器人甲與機器人乙第二次迎面相遇時，機器人乙從第一次相遇地點到點A，返回到點B，再返回向A時和機器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時相遇點距點A為m個單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點與點A之間的距離為35個單位長度，∴相遇地點與點B之間的距離為150﹣35＝115個單位長度，設(shè)機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為，∴機器人乙從相遇點到點A再到點B所用的時間為，機器人甲從相遇點到點B所用時間為，而，∴機器人甲與機器人乙第二次迎面相遇時，機器人乙從第一次相遇地點到點A，返回到點B，再返回向A時和機器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時相遇點距點A為m個單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c剛好在點B時，設(shè)機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時，點P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時，即當(dāng)50＜x＜75，此時，第二次相遇地點是機器人甲在到點B返回向點A時，設(shè)機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，由題意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，綜上所述，相遇地點與點A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案為：0＜x≤12或48≤x≤72．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、兩點間的距離、一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，難度較大，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．18．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點，是，的中點，，，點，是，的中點，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時，的面積最大，且在頂點上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時，面積最大，點在的延長線上，，，．【點睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運用；解