2025～2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)講義教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊章節(jié)：3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）part1知識清單知識點一：常見幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型二次函數(shù)模型分段函數(shù)模型冪函數(shù)模型知識點二：對鉤函數(shù)（耐克函數(shù)）Part2教材重點例題與習(xí)題1.設(shè)小王的專項扣除比例、專項附加扣除金額、依法確定的其他扣除金額與3.1.2例8相同，全年綜合所得收人額為x(單位：元)，應(yīng)繳納綜合所得個稅稅額為y(單位：元)．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(2)如果小王全年的綜合所得由117600元增加到153600元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個稅?【答案】解：(1)由個人應(yīng)納稅所得額計算公式，可得t=x?60000?x(8%+2%+1%+9%)?9600?560=0.8x?70160．令t=0，得x=87700．根據(jù)個人應(yīng)納稅所得額的規(guī)定可知，當(dāng)0≤x≤87700時，t=0.所以，個人應(yīng)納稅所得額t關(guān)于綜合所得收人額x的函數(shù)解析式為t=結(jié)合3.1.2例8的解析式?③，可得：當(dāng)0≤x≤87700時，t=0，所以y=0;當(dāng)87700<x≤132700時，0<t≤36000，所以y=t×3%=0.024x?2104.8;當(dāng)132700<x≤267700時，36000<t≤144000，所以y=t×10%?2520=0.08x?9536;當(dāng)267700<x≤462700時，144000<t≤300000，所以y=t×20%?16920=0.16x?30952;當(dāng)462700<x≤612700時，300000<t≤420000，所以y=t×25%?31920=0.2x?49460;當(dāng)612700<x≤912700時，420000<t≤660000，所以y=t×30%?52920=0.24x?73968;當(dāng)912700<x≤1287700時，660000<t≤960000，所以y=t×35%?85920=0.28x?110476;當(dāng)x>1287700時，t>960000，所以y=t×45%?181920=0.36x?213492．所以，函數(shù)解析式為{(2)根據(jù)?④，當(dāng)x=153600時，y=0.08×153600?9536=2752．所以，小王全年需要繳納的綜合所得個稅稅額為2752元．

2.一輛汽車在某段路程中行駛的平均速率v(單位：km/h)與時間t(單位：h)的關(guān)系如圖所示，(1)求圖3.4?1中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義;(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s(單位：km)與時間t的函數(shù)解析式，并畫出相應(yīng)的圖象．【答案】解：(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360．

陰影部分的面積表示汽車在這5h內(nèi)行駛的路程為360km．

(2)根據(jù)圖有s=這個函數(shù)的圖象如圖所示3.若用模型y=ax2描述汽車緊急剎車后滑行的距離y(單位：m)與剎車時的速率x(單位：km/h)的關(guān)系，而某種型號的汽車在速率為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20m.在限速為100km/h的高速公路上，一輛這種型號的車緊急剎車后滑行的距離為50m，那么這輛車是否超速行駛?【答案】解：因為y=ax2，距離y(單位：m)，速率x(汽車在速率為60km/h時，緊急剎車后滑行的距離為20m，則x=60(km/h)，y=20(m)，所以a=20則y=1汽車緊急剎車后滑行的距離為50m，則50=1可得x=3010(km/h)所以這輛車沒有超速行駛．

4.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為150萬元，而每件產(chǎn)品的可變成本為2500元，每件產(chǎn)品的售價為3500元.若該公司所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售出去，則(1)設(shè)總成本為y1(單位：萬元)，單位成本為y2(單位：萬元)，銷售總收入為

總利潤為y4(單位：萬元)，

分別求出它們關(guān)于總產(chǎn)量x(單位：件)(2)根據(jù)所求函數(shù)的圖象，對這個公司的經(jīng)濟效益做出簡單分析．【答案】(1)由題意可得y1=150+0.25x，y2=150(2)畫出y4=0.1x?150的圖像，如圖所示。由圖像可知，當(dāng)x<1500

當(dāng)x=1?500件時，公司不賠不賺;當(dāng)x>1500件時，公司贏利．

5.某人開汽車以60km/h的速率從A地到150km遠處的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速率返回A地.把汽車與A地的距離x(單位：km)表示為時間t(單位：h)(從A地出發(fā)時開始)的函數(shù);再把車速v(單位：km/h)表示為時間t的函數(shù)，并分別畫出這兩個函數(shù)的圖象．【答案】解：根據(jù)題意，汽車與A地的距離xkm表示為時間t

h

(從A地出發(fā)時開始)的函數(shù)為：x=圖象如圖：車速v

km/h表示為時間t

h的函數(shù)為：v=圖象如圖：

6.為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過12m3元/超過12m3但不超過6元/超過18m9元/若某戶居民本月交納的水費為48元，求此戶居民本月用水量．【答案】依題可得函數(shù)解析式為y=由48=36+6(x?12)?x=14。即此戶居民本月用水量為14m37.圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象．(1)試說明圖(1)上點A，點B以及射線AB上的點的實際意義;(2)由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖(2)(3)所示.你能根據(jù)圖象，說明這兩種建議是什么嗎?【答案】解：(1)由題意及圖(1)，可知該圖象為一次函數(shù)型，可設(shè)函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，(x≥0)其中x為乘客量，y為收支差額．所以，A點的實際意義為乘客量為0時，該公司支出的總費用，即運營成本；B點的實際意義為乘客量達到某一值時，收支平衡．線段AB上點的意義為乘客量小于某一值時公司虧損．(2)圖2的建議為減少運營成本；圖3的建議可能是提高票價．

Part3綜合練習(xí)一、單選題：在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(

)A.3.50分鐘 B.3.75分鐘 C.4.00分鐘 D.4.25分鐘2.某品種鮮花進貨價5元/支，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格x(元/支)在x∈[5,15]時，每天售出該鮮花支數(shù)p(x)=500x?4，若想每天獲得的利潤最多，則銷售價格應(yīng)定為(

)元．A.9 B.11 C.13 D.15二、多選題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。3.某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x2?200x+80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元A.該單位每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低B.該單位每月最低可獲利20000元C.該單位每月不獲利，也不虧損D.每月需要國家至少補貼40000元才能使該單位不虧損三、填空題4.在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常遇到定義(definition).定義是指對某些對象標(biāo)明符號，指明稱謂，或者揭示所研究問題中對象的內(nèi)涵.對于函數(shù)f(x)，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f(x)=?f(2?x)，則稱f(x)為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，請寫出一個“準(zhǔn)奇函數(shù)”的解析式為

．5.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付

元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為

．四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。6.某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的).已知OA=10米，OB=x米(0<x<10)，線段BA、線段CD與弧BC、弧AD的長度之和為30米，圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值．7.某公司為提高員工的綜合素質(zhì)，聘請專業(yè)機構(gòu)對員工進行專業(yè)技術(shù)培訓(xùn)，其中培訓(xùn)機構(gòu)成本費用為12?000元．公司每位員工的培訓(xùn)費用按以下方式與該機構(gòu)結(jié)算：若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)不超過30，則每人的培訓(xùn)費用為850元；若公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多一人，每位員工的培訓(xùn)費減少10元．已知該公司最多有60位員工可參加培訓(xùn)，設(shè)參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為x，每位員工的培訓(xùn)費用為y元，培訓(xùn)機構(gòu)的利潤為Q元．(1)寫出y與x(x>0,x∈N??(2)當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工為多少人時，培訓(xùn)機構(gòu)可獲得最大利潤？并求最大利潤．8.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)(1)將y表示為x的函數(shù)：(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．9.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)=x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)10.湖北省第二屆(荊州)園林博覽會于2019年9月28日至11月28日在荊州園博園舉辦，本屆園林博覽會以“輝煌荊楚，生態(tài)園博”為主題，展示荊州生態(tài)之美，文化之韻，吸引更多優(yōu)秀企業(yè)來荊投資，從而促進荊州經(jīng)濟快速發(fā)展．在此次博覽會期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放荊州市場．已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入80元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入G(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(萬臺)滿足如下關(guān)系式：G(x)=180?2x,0<x≤20(Ⅰ)寫出年利潤W(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬臺)的函數(shù)解析式；(利潤=銷售收入?成本)(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．11.新冠肺炎疫情發(fā)生后，政府為了支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某地政府決定向當(dāng)?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補助款，其中對納稅額x(萬元)在x∈[4,8]的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案，方案要求同時具備下列兩個條件：①補助款f(x)(萬元)隨企業(yè)原納稅額x(萬元)的增加而增加；②補助款不低于原納稅額的50%.經(jīng)測算，政府決定采用函數(shù)模型f(x)=x4?mx+4((1)當(dāng)使用參數(shù)m=13是否滿足條件，并說明理由；(2)求同時滿足條件①②的參數(shù)m的取值范圍．12.某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：當(dāng)S中x％(0<x<100)的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為f(x)={30,0<x?302x+1800x而公交群體的人均通勤時間不受x影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？(2)求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實際意義．13.若函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間I內(nèi)的任意一個x，滿足f(?x)=?f(x)，則稱函數(shù)f(x)為I上的“局部奇函數(shù)”；滿足f(?x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為I上的“局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=2x+k·2(1)若f(x)為[?3,3]上的“局部奇函數(shù)”，當(dāng)x∈[?3,3]時，求不等式f(x)>3(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[?1,1]上是“局部奇函數(shù)”，在區(qū)間[?3,?1)∪(1,3]上是“局部偶函數(shù)”，F(xiàn)(x)=f(x),x∈[?1,1](ⅰ)求函數(shù)F(x)的值域；(ⅱ)對于[?3,3]上的任意實數(shù)x1，x2，x3，不等式F(x1Part4綜合練習(xí)答案及解析1.【答案】B

【解答】解：由實驗數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p=at2+bt+c的圖象過點(3,0.7)，(4,0.8)分別代入解析式，得{0.7=9a+3b+c,.8=16a+4b+c,所以p=?0.2=?0.2(t?3.75)所以當(dāng)t=3.75時，可食用率p最大．故選B．2.【答案】D

【解答】解：當(dāng)銷售價格為x元/支時，每支獲利(x?5)元，于是每天獲得的利潤f(x)=500可知當(dāng)x∈[5,15]時，f(x)隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=15時，f(x)取得最大值，即每支鮮花的售價為15元時，所獲得利潤最大．故選D．3.【答案】AD

【解答】解：由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為yx當(dāng)且僅當(dāng)12x=80000x，即設(shè)該單位每月獲利為S，則S=100x?y=100x?=?1因為400≤x≤600，所以當(dāng)x=400時，S有最大值?40000元．故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能不虧損．故選AD．4.【答案】fx=x?13(答案不唯一，只要f【解答】解：對于函數(shù)fx，使得x取定義域內(nèi)的每一個值，都有f即函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(1,0)因為fx=x?13或所以“準(zhǔn)奇函數(shù)”的解析式可以為fx故答案為：fx=x?13(答案不唯一，只要f5.【答案】130；15

【解答】解：①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，即有顧客需要支付140?10=130(元)；②在促銷活動中，設(shè)訂單總金額為m元，當(dāng)0<m<120時，顯然符合題意；當(dāng)m?120時，可得(m?x)×80%?m×70%，即有x?m可得x?120則x的最大值為15元．故答案為：130；15．6.【答案】解：(1)根據(jù)題意，可算得弧BC=x?θ(m)，弧∴2(10?x)+x?∴θ=2x+10(2)依據(jù)題意，可知y=S化簡得：y=?x∴當(dāng)x=52答：當(dāng)x=52米時銘牌的面積最大，且最大面積為2257.【答案】解：(1)依題意，得當(dāng)0<x≤30時，y=850；當(dāng)30<x≤60時，y=850?10(x?30)=?10x+1150，∴y=(2)當(dāng)0<x≤30，x∈N*時，所以當(dāng)x=30時，Q取得最大值，Qmax當(dāng)30<x≤60，x∈N??*=?10x所以當(dāng)x=57或58時，Q取得最大值，Qmax∵21060>13500，∴當(dāng)公司參加培訓(xùn)的員工人數(shù)為57或58時，培訓(xùn)機構(gòu)可獲得最大利潤21060元．8.【答案】解：(1)設(shè)矩形的另一邊長為am，則y=45x+180x?2由已知ax=360，得a=360所以y=225x+360(2)因為x>0，所以225x+360所以y=225x+3602x即當(dāng)x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．

9.【答案】解：(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)=60；當(dāng)20<x≤200時，設(shè)v(x)=ax+b

，再由已知得200a+b=020a+b=60，解得a=?1故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)=60,0≤x?20(2)依題意并由(1)可得f(x)=60x,0?x?20,當(dāng)0≤x?20時，f(x)為增函數(shù)，故fx?f當(dāng)20<x≤200時，f(x)=1所以，當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值?10000綜上，當(dāng)x=100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值100003即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

10.【答案】解：(Ⅰ)W(x)=xG(x)?80x?50=?2(Ⅱ)當(dāng)0<x≤20時W(x)=?2x∴W(x)當(dāng)x>20時W(x)=?10(x+1+≤?10×2當(dāng)且僅當(dāng)x+1=900x+1即∴W(x)∵1360>1150，∴當(dāng)年產(chǎn)量為29萬臺時，該公司獲得的利潤最大為1360萬元．

11.【答案】解：(1)當(dāng)m=13，f(x)=x∵f′(x)=1∴f(x)在x∈[4,8]為增函數(shù)滿足條件①，又∵f(4)=74<2=12綜上所述，當(dāng)參數(shù)m=13時不滿足條件．(2)函數(shù)模型f(x)=x4∵f′(x)=1(i)當(dāng)m≥0時，f′(x)>0滿足條件①，(ii)當(dāng)m<0時