4.旋轉(zhuǎn)軸

晶體結(jié)構(gòu)中存在的對稱性必須與點(diǎn)陣的周期性相適應(yīng).如下定理是這個(gè)原則的體現(xiàn).

定理:晶體中的對稱軸(旋轉(zhuǎn)軸,螺旋軸)的軸次n只限于n=1,2,3,4,6.

證明：如圖2.10所示,設(shè)點(diǎn)陣點(diǎn)A1,A2，A3,A4相隔為a,有一個(gè)n重旋轉(zhuǎn)軸通過點(diǎn)陣點(diǎn)。因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)陣點(diǎn)周圍環(huán)境都相同,每一對稱操作都存在對應(yīng)的逆操作，以α作半徑轉(zhuǎn)動(dòng)角α＝2π／n，將會(huì)得到另一點(diǎn)陣點(diǎn)。繞A2點(diǎn)順時(shí)針方向轉(zhuǎn)α角，可得點(diǎn)陣點(diǎn)B1;繞A3點(diǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)α角,可得點(diǎn)陣點(diǎn)B2。B1和B2線平行于A1和A4線，B1和B2間的距離必須為a的整數(shù)倍，設(shè)為ma，m為整數(shù)，得a+2cosα＝macosα=(m-1)／2，|(m-1)／2|≤1滿足這方程的α值只能為0o，60o，90o，120o，180o，360o。這就證明點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中旋轉(zhuǎn)軸的軸次只有1，2,3，4，6五種。二,三,四,六次旋轉(zhuǎn)軸的國際符號分別為2，3，4，6；熊夫利符號分別為C2，C3，C4，C6.4.12（C2）旋轉(zhuǎn)軸

一般地，Cn

軸k(k＝1，2，…，n)次對稱操作的矩陣表示為

結(jié)晶學(xué)中，公式中的n只等于2，4.

旋轉(zhuǎn)軸2（C2）的對稱操作是旋轉(zhuǎn)2（C2）。如果2（C2）軸與z軸重合，其矩陣表示為:

等效點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),(-x,-y,z).

2(C2)投影圖的圖示表示如圖4.24（C4）旋轉(zhuǎn)軸

除非特別說明，我們所討論的4（C4）旋轉(zhuǎn)軸總是與z軸平行。4（C4）的矩陣表示為等效點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z),(-y,x,z),(-x,-y,z),(y,-x,z).4（C4）是4階。

4（C4）投影圖的圖示表示

4.36（C6）旋轉(zhuǎn)軸

結(jié)晶學(xué)總是在六角坐標(biāo)系中討論3，6重軸.六角坐標(biāo)系中X，Y軸交角為1200，且與Z軸垂直.6（C6）旋轉(zhuǎn)軸永遠(yuǎn)與z軸平行。任意點(diǎn)（x,y,z）在6（C6）的作用下，運(yùn)動(dòng)到（x-y,x,z）的位置，如下圖所示。即

六角坐標(biāo)系中兩個(gè)等效點(diǎn)位置易知

6（C6）的投影圖圖示表示

顯然，6（C6）的階次為6。4.43（C3）旋轉(zhuǎn)軸

因?yàn)?2(C26）=3(C3）;64(C46）=32（C23）,當(dāng)對6(C6)的表示方法熟悉了,那么3(C3）的表示方法也就明白了.5.螺旋軸

螺旋軸對應(yīng)的對稱操作是旋轉(zhuǎn)和平移的聯(lián)合對稱操作.螺旋軸的國際符號是nm,它沒有熊夫利符號,nm

的基本操作是旋轉(zhuǎn)2π/n再沿軸的方向平移m/n個(gè)單位矢量.各螺旋軸的圖示符號42螺旋軸的投影圖圖示表示42螺旋軸的矩陣表示為:各等效點(diǎn)坐標(biāo)：(x,y,z),（-y,x,1/2+z）,(-x,-y,z),(y,-x,1/2+z).

那么42螺旋軸的階次如何?因?yàn)?2螺旋軸包含有平移，無論操作多少次，都不會(huì)回到出發(fā)點(diǎn)，所以42螺旋軸的階次是∞.所有包含平移的對稱元素都是無窮階的.6.反軸

反軸有三,四,六次反軸(習(xí)題7說明了為什么沒有二次反軸).反軸的國際符號為，對應(yīng)的熊夫利符號為S65,S43,S35.

反軸的圖示符號

三重反軸投影圖的圖示表示

的距陣表示為等效點(diǎn)坐標(biāo)(x,y,z);(y,y-x,-z);(y-x,-x,z);(-x,-y,-z);(-y,x-y,z);(x-y,x,-z).

請同學(xué)們注意,三個(gè)反軸的熊夫列符號有不同的表示方法.例如周公度(P349)的熊夫列符號分別是C3i,S4,C3h.

兩者之間有一微小差別.S65和C3i是相同的;和S4有相同的四個(gè)等效點(diǎn),只是它們作用于一任意點(diǎn)后,沒有得到另一相同的等效點(diǎn).和C3h也是這樣.本課程中可認(rèn)為這些熊夫列符號通用.

以上我們討論的對稱性中只有一部分可能在晶體的理想外形中表現(xiàn)出來，這些對稱性稱之為宏觀對稱性。

獨(dú)立的宏觀對稱元素只有1（E）,2（C2）,3（C3）,4C4）,6（C6）,（S43）,m（

）和ī(i)。

晶體的微觀對稱性由平移和宏觀對稱元素組合而成,