考點(diǎn)33空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖、表面積和體積

9種常見(jiàn)考法歸類

善高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（三）等體積法求體積

考點(diǎn)二空間圖形的展開(kāi)圖問(wèn)題（四）已知體積求其他量

考點(diǎn)三最短路徑問(wèn)題考點(diǎn)七空間幾何體的截面問(wèn)題

考點(diǎn)四立體圖形的直觀圖考點(diǎn)八與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

考點(diǎn)五空間幾何體的表面積（-）幾何體的外接球

考點(diǎn)六空間幾何體的體積（二）幾何體的內(nèi)切球

（一）直接利用公式求體積考點(diǎn)九立體幾何中的軌跡問(wèn)題

考點(diǎn)立體幾何中的最值問(wèn)題

（二）割補(bǔ)法求體積I

三解題策略

I.棱柱、棱錐、棱臺(tái)

棱柱棱錐棱臺(tái)

E_iy

大一頂點(diǎn)，，爾、上底面

圖惻棱面?zhèn)让姘豆吕?/p>

例面一-；；，面

形側(cè)棱七6…忠/T-\?

X---修正面

有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是

有一個(gè)面是多邊形，其余各面用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截

定四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公

都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角棱錐，底面和截面之間那部分多面

義共邊都互相平行，由這些面所聞成

形，由這些面所圍成的多面體體

的多面體

結(jié)底面互相平行且全等；側(cè)面都是平底面是一個(gè)多邊形；側(cè)面都是上、下底面互相平行且相似；各側(cè)

構(gòu)行四邊形；側(cè)棱都相等且互相平行三角形；側(cè)面有一個(gè)公共頂點(diǎn)核延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)；各側(cè)面為梯形

特

征

①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱柱、

四棱柱、五棱柱…①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱

②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱垂直維、四棱錐、五棱錐…

于底面的棱柱叫做直棱柱，②正棱錐：底面是正多邊形，①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱臺(tái)、

分

否則叫做斜榜柱.底面是正多邊彩并且頂點(diǎn)與底面中心的四榜臺(tái)、五榜臺(tái)…

類

的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行連線垂直于底面的棱錐.②正棱臺(tái)：由正棱錐截得的枝臺(tái)

四邊形的四棱柱也叫做平行六面③正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等

體.側(cè)棱垂直于底面的平行六面體的三棱錐.

叫直平行六面體.

2.常見(jiàn)四棱柱及其關(guān)系

3.簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系

正

四

棱柱棱

柱

三梭柱

凸

多

面

體

正

方

體

正多面體

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

圓柱圓錐圓臺(tái)球

圖

彩至

定以矩形的一邊所在直線以直角三角形的一條直角用平行于圜錐底面的以半圓的直徑所在直線

義為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋邊所在的直線力旋轉(zhuǎn)軸，平面去救回錐，底面為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所

轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的與截面之間的部分形成的曲面叫做球面，

的旋轉(zhuǎn)體面所圍成的旋轉(zhuǎn)體球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

①母線延長(zhǎng)線交于一

結(jié)①母線互相平行且相①母線相交于一點(diǎn)

點(diǎn)

構(gòu)等，并垂直于底面②軸截面是全等的等腰三

②軸截面是全等的等極面是圓面

特②軸極而是全等的矩形角形

腰梯形

征③側(cè)面展開(kāi)圖是矩形③側(cè)面展開(kāi)圖是扇形

③側(cè)面展開(kāi)因是扇環(huán)

5.簡(jiǎn)單組合體

由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體.其構(gòu)成形式主要有：由簡(jiǎn)單幾何體拼接，或由簡(jiǎn)單幾何

體截去或挖去一部分.

6.立體圖形的直觀圖

（1）概念：直現(xiàn)圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形，立體幾何中通常是在平行投影

下得到的平面圖形.

（2）斜二測(cè)畫法畫水平放直的平面國(guó)形直觀圖的步驟：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和），軸，兩軸相交于點(diǎn)。畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的h軸與y

軸，兩軸相交于點(diǎn)O',且使Nx'O'y=45°（或135°）,它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于4軸或），軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于v軸或y軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為

原來(lái)的一半.

畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面困形的直現(xiàn)圖相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂直的z軸，并且使

乎行于z軸的線段的干行性和長(zhǎng)度都不變.

注：按照斜二測(cè)畫法得到的平面國(guó)形的直觀圖，其面積是原圖形的乎倍，即56.=陰”嘰S版圖杉=

20S血觀陽(yáng)

7.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面展

開(kāi)圖

側(cè)面積Sauw=2nr/S同憚m=?！盨=

公式Mr十〃)/

其中r,/為底面半徑，/為母線長(zhǎng).

（2）柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體枳

稱

ZL贏、表面積體積（S是底面積,/1是高）

Sc：=M+2S4

Si=c7+2Sa(c'為直截面周長(zhǎng)）

柱體（棱柱

5Mrt=21T2+2^rl=2mr（r+/）

Sh*S帆+2S&V=Sh

和圓柱）0E

2"

s刖=g〃a"+S政

2

3Km=7rr+7rrl=nr{r+/)

推體（棱錐

V=|s/z

Sh&tr.=S帆+S&

和圓錐）

，：%=5m。+。')〃+5匕+5「

5必匕=欣r>1+〃+r'l+H)

臺(tái)體（棱臺(tái)S&<a機(jī)=5帆+S±

一V=|(5±+5T+A/S1J?)/Z

和圓臺(tái)）+S下

€3

球（/?是半

S=47tR2

徑）

8.解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的基本方法：

（1）定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等宓本元素，然后再依據(jù)題意判定：（2）反例法：學(xué)

會(huì)通過(guò)反例對(duì)概念進(jìn)行?辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命邈是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一個(gè)反例即可.（3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的

有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.（4）既然棱（圓）臺(tái)是由樓（圓）錐定

義的，所以在解決棱（陰）臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.

9.最短距離問(wèn)題

研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距

離問(wèn)題.

1。.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的技巧

在原圖形中與工軸或y軸平行的線段在直觀圖中與H軸或，'軸平行，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的直線段可

以先畫出線段的端點(diǎn)再連線，原圖中的曲線段可以通過(guò)取?些關(guān)鍵點(diǎn)，作出在直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后，用平

滑的曲線連接而畫出.

11.解決有關(guān)“斜二測(cè)畫法”問(wèn)題注意點(diǎn)

一般在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用圖形中原有的垂直直線或圖形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，圖形

的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，注意兩個(gè)圖形中關(guān)鍵線段長(zhǎng)度的關(guān)系.

12.求解多面體的表面積

關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如梭柱中的矩形，棱錐中的宜角三角形，枝臺(tái)中的直角梯形等，通過(guò)這

些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過(guò)建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解.

13.求空間幾何體體積的常用方法

求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補(bǔ)法和等積變換法（等體積法）：

公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以直接利用公式進(jìn)行求解

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體枳計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾

割補(bǔ)法

何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積

一個(gè)幾何體無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)化，其體枳總是不變的.如昊一個(gè)幾何體的底面面積和高

較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解..等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變

等體積形，它是通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的?種方法，多用來(lái)解決有關(guān)錐體

法的體積，特別是三棱錐的體積，對(duì)于三棱錐，由于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的

底而，從而可選擇史容多計(jì)算的方式來(lái)求體積：利用“等積性”還可求“點(diǎn)到面的距

禹”.

14.求旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題

注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.直角梯形繞直角腰旋轉(zhuǎn)一周形成的是圓臺(tái)，四分之一圓繞半徑所在的直線旋

特一周，形成的是半球，所以陰影部分繞48旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺(tái)挖去半球，Sa=SgM+SF戚而

+s：，冰缸

15.求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路

求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計(jì)算體積所需要的幾何量.求旋轉(zhuǎn)體的體

積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢記.

16.與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的

思維流程是：

17.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

⑴正方體的棱長(zhǎng)為小球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2/?=小”；

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2K=〃：

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=也a

(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

18.空間兒何體的截面問(wèn)題

作出截面的關(guān)鍵是找到截線，作出截線的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件：(2)三線共點(diǎn)的條件；(3)而

面平行的性質(zhì)定理.

19.立體幾何中的最值問(wèn)題

解決空間圖形有關(guān)的線段、角、距離、面積、體積等最值問(wèn)題，?般可以從三方面著手：

(1)從問(wèn)題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決：

(2)利用空間幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖：

(3)找出問(wèn)題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.解題途徑很多，在函數(shù)

建成后，可用一次函數(shù)的端點(diǎn)法，二次函數(shù)的配方法、公式法，函數(shù)有界法(如三角函數(shù)等)

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.【多選】（2023秋?浙江杭州?高三浙江省桐廬中學(xué)期末）下列命題正確的是（）

A.而個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是極臺(tái)

B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形

C.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

D.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

【答案】BD

【分析】根據(jù)常見(jiàn)幾何體的性質(zhì)與定義逐個(gè)選項(xiàng)辨析即可.

【詳解】對(duì)A,棱臺(tái)指?個(gè)棱錐被平行于它的底面的?個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何形體，其側(cè)

棱延長(zhǎng)線需要交十一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤：

對(duì)B，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故B正確；

對(duì)C,用平面截圓柱得到的截面也可能是橢圓，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,棱柱的面中，至少上下兩個(gè)面互相平行，故D正確：

故選：BD

2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯(cuò)誤的是（）

A.棱柱的側(cè)棱互相平行

B.以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐

C.正三棱錐的各個(gè)面都是正三角形

D.樓臺(tái)各側(cè)梭所在直線會(huì)交于一點(diǎn)

【答案】C

【分析】根據(jù)相應(yīng)幾何體的定義和性質(zhì)判斷即可.

【詳解】根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知A正確：

當(dāng)以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，所得幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體，故B正確：

正三棱錐的底面是正三角形，其余側(cè)面是全等的等腰三角形，故C錯(cuò)誤；

樓臺(tái)是用平行于底面的平面截極錐而得，故側(cè)樓所在直線必交于一點(diǎn)，D正確.

故選：C

3.【多選】（2023春?甘肅?高三校聯(lián)考期中）下列命題正確的是（）

A.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線

B.兩個(gè)而平行且相似，其余各面都是梯形的多而體是棱臺(tái)

C.以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐母線的定義可判斷A,根據(jù)棱臺(tái)的定義可判斷B,根據(jù)圓臺(tái)的定義可判斷C,根據(jù)平面與

圓柱底面的位置關(guān)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)圓錐的母線的定義，可知A正確：

對(duì)于B,把梯形的腰延長(zhǎng)后有可能不交于一點(diǎn)，

此時(shí)得到幾何體就不是樓臺(tái)，故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,根據(jù)圓臺(tái)的定義，可知C正確：

對(duì)于D,當(dāng)平面不與圓柱的底面平行且不垂直于底面時(shí)，

得到的截面不是圓和矩形，故D錯(cuò)誤

故選：AC

4.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，將裝有水的長(zhǎng)方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾

斜后水槽中的水形成的幾何體是（）

A.棱柱B.棱臺(tái)C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)樓柱的定義進(jìn)行判斷

【詳解】如圖.

G

:?平面AAtDfD//平面BBtCtC,

■:有水的部分始終有兩個(gè)平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形（水面與兩平行平面的交線），因此呈核

柱形狀.

故選:A

5.【多選】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著，是

《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其中將有三條核互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（）

A.“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形：B.“羨除”一定不是臺(tái)體；

C.不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”：D.“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形.

【答案】ABC

【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A：通過(guò)AE//BF//CD,判斷“羨除”一定不是臺(tái)體，判斷B；利用反

證法判斷C：通過(guò)AE,〃凡。兩兩不相等，則“羨除”有：.個(gè)面為梯形，判斷D.

【詳解】由題意知：AE//BF//CD,四邊形ACOE為梯形，如圖所示：

對(duì)于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確：

對(duì)于B：由TAE//BF//CD,所以：“羨除”一定不是臺(tái)體，故B正確；

對(duì)于C：假設(shè)四邊形A麻尸和四邊形BCDF為平行四邊形，則人七〃BF//C。，且=則四邊形

ACDE為平行四邊形，與已知的四邊形ACOE為梯形矛盾，故不存在，故C正確：

對(duì)于D：若AE工BF字CD,貝廠羨除”三個(gè)面為梯形，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

6.（2023春?河南商丘?高三商丘市實(shí)臉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石梵供大家休息，如圖,

每個(gè)石荒都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱徘得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.該幾何體的面足等邊二角形或正方形

B.該幾何體恰有12個(gè)面

C.該幾何體恰有24條棱

D.該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何體的形狀逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】據(jù)圖可得該幾何體的面是等邊三角形或正方形，A正確；該幾何體恰有14個(gè)面，B不正確；該幾

何體恰有24條樓，C正確;該幾何體恰有12個(gè)頂點(diǎn)，D正確.

故選：B

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質(zhì)，其中一

條是：如果用匕E和尸分別表示簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有如下關(guān)系：V-E+F=2.已知

一個(gè)正多面體每個(gè)面都是全等的等邊三角形，每個(gè)頂點(diǎn)均連接5條楂，則V+E+F=（）

A.50B.52C.60D.62

【答案】D

【分析】根據(jù)多面體的性質(zhì)，結(jié)合歐拉公式進(jìn)行求解即可.

5V=2EV=12

【詳解】由已知條件得出3F=2E,解得?E=30,所以V+E+尸=62.

V-E+F=2尸=20

故選：D.

考點(diǎn)二空間圖形的展開(kāi)圖問(wèn)題

8.（2023秋?黑龍江綏化?高三?？计谀┤鐖D是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重

合的點(diǎn)是,

①A與8②。與E③B與。④C與b

【答案】①②④

【分析】還原正方體即可解決.

【詳解】根據(jù)題意，標(biāo)記下圖，

故答案為：@@@

9.：2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為長(zhǎng)方體，那么線段A8與線段

C。所在的直線（）

A.平行B.相交C.是異面直線D,可能相交，也可能是異面直線

【答案】C

【分析】將展開(kāi)圖還原成長(zhǎng)方體，即可判斷

【詳解】如圖，將展開(kāi)圖還原成長(zhǎng)方體，易得線段AB與線段C。是異面直線,

故選：C

10.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，將小正方體從

如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上

的圖案是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開(kāi)圖找出相對(duì)面，再由其特征得到結(jié)果.

【詳解】由圖①可知，“同心圓”和“圓”相對(duì)，“加號(hào)”和嘴頭”相對(duì),“心形”和“星星”相對(duì).

由圖②可得，小正方體從如圖②所示的位置翻到第6格時(shí)正面朝上的圖案是

故選：C.

考點(diǎn)三最短路徑問(wèn)題

11.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖，圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,四邊形ACOE為該圓柱的軸截面，點(diǎn)B

為半圓弧C。的中點(diǎn)，則在此圓柱的側(cè)面上，從八到8的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）.

C.3D.2

【答案】B

【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，解三角形即得解.

【詳解】解：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，由題得AC=2,8C=4X16=4,

4

所以人3=小？/=2逐?

所以在此圓柱的側(cè)而上，從A到3的躋徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為2石.

12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是辿氏為6m的正/BC,糧堆母線AC

的中點(diǎn)尸處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過(guò)

的最短路程是

m.

【分析】求這只小貓經(jīng)過(guò)的最短距離的問(wèn)題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)的距

離問(wèn)題即可.

【詳解】解：由題意得：

圓錐的底面周長(zhǎng)是6不，則“=黑，解得：〃=180'

IoU

可知圓錐側(cè)而展開(kāi)圖的圓心角是180°，如圖所示：

則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中：AP=3(m),A/3=6(m),/BAP=9(；

所以在圓錐側(cè)而展開(kāi)圖中：/護(hù)=V?云=3#(m)

故答案為：3石

13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如怪，已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)弘=3,一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞

著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A,則螞蟻爬行的最短距離為()

【答案】B

【分析】畫出圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則螞蟻爬行的最短距離為？VT，住二S/W中，解三角形即可.

【詳解】已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半徑是3的扇形，如圖，

一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A的最短距離為A4'，設(shè)NASA=a,

圓錐底面周長(zhǎng)為2乃，所以響，=ax3=2兀，所以與，

在二SA4'中，由SA=SA=3,得

AA'=>]SA2+AA,2-2SA-SA'-cosa

故選：B.

14.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱ABC-AB?中，ZASC=90°,AB=BC=&84=2,

反尸分別是AA、4G的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E到廠的最短路徑長(zhǎng)度為

【分析】分析可得沿樓柱的表面從￡到尸可能經(jīng)過(guò)極44，叫,CC,,AG再分別展開(kāi)直觀圖求解即可.

【詳解】若從E到"經(jīng)過(guò)棱A4則沿棱八蜴展開(kāi)如圖，過(guò)￡作EG_L于G,則/TG=48=拒，”G=1+',

9

故E』+卜用；耳邁.

G

若從E到戶經(jīng)過(guò)棱8片則沿棱BBi展開(kāi)如圖，A七=1

若從E到尸經(jīng)過(guò)棱cc則沿棱cc展開(kāi)如圖，A石，4八2+日,

二歷二甲?

若從￡到/，經(jīng)過(guò)棱八G則沿棱4G展開(kāi)如圖，由題意，為等腰直角二角形，四邊形八CGA為正方

形，故△AAG為等腰直角三角形，故四邊形A4GA為直角梯形.又=后，AC、=2叵,故

歷=；（四+2虛）=孚.

故沿棱柱的表面從E到戶的最短路徑長(zhǎng)度為逑.

2

故答案為：迪

2

考點(diǎn)四立體圖形的直觀困

15.（2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)水平放置的三角形乂30的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角

形A'8'O',若ZM'=ZTO=1,那么原三角形A8。的周長(zhǎng)是（）

B.4+2&

C.2a+2D-6+2

【答案】B

【分析】由斜二測(cè)畫法原理將直觀圖轉(zhuǎn)化為原圖，根據(jù)原圖運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可得：A'O'=B'O'^+(BW)2=VP+l2=y/2,

由直觀圖可得原圖，如圖所示，可知：ZAOB=90°,BO=B'O'=\,AO=2^0'=242,

可得A3=〃O，+AC2=J『+僅可=3，

所以原三角形A8。的周長(zhǎng)4O+AO+A3=l+2&+3=4+2應(yīng).

16.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形0A8C的斜二測(cè)畫法的直

觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形O'A'8'C,則原四邊形048。的面積是（）

【答案】B

t分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則求出4QB。，判斷QABC的形狀，確定。4_LO3,由此求出原四邊形0ABe的

面積.

［詳解】在正方形OWB'C中可得=忘40'=2x12，

由斜二測(cè)畫法可知BO=2Po=4叵,AO=A'（7=2,

n.OALOB,OA//BC,AB!ICO,

所以四邊形048c為平行四邊形，

所以5伽"=80人0=4及x2=8拉.

故選：B.

17.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）如圖，一個(gè)用斜二測(cè)畫法畫出來(lái)的三角形是一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正三角形，則

原三角形的面積是（）

【答案】c

【分析】利用斜二測(cè)畫法中邊長(zhǎng)的比例關(guān)系求出面積的比.

【詳解】,：S^AB-C=^-a2sin60°=^-a2,

24

/.SAA8C=2V2SAABC=半〃，

故選：C.

【點(diǎn)睛】斜二測(cè)直觀圖的面積與原圖形的面積比為」產(chǎn)二也，

2V24

原圖形的面積與直觀圖的面積比為辿.

1

18.（2023秋?上海浦東新?高三上海市川沙中學(xué)校考期末）有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形

的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.ZA8C=45,A8=AO=I,OC1BC,則這塊菜地的面積為

【答案】2+立

2

【分析】利用直觀圖中的信息，求出6C的長(zhǎng)度，從而得到原平面圖形中的氏度，利用梯形的面積公式求解

即可.

【詳解】

過(guò)A作AE_L8C于E,

在直觀圖中，ZA8C=45,AB=AD=\,DCIBC,

所以EC=T,BE=也,RC=\+—,

22

故原平面圖形的上底為1,下底1+土，高為2,

2

所以這塊菜地的面積為S=gx（l+I+爭(zhēng)x2=2+冬

故答案為：2+也.

2

19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如佟，VA'O"是水平放置的△AO8的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋,

已知O'為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)W、8'均在坐標(biāo)軸匕且^AOB的面積為12,則O'5’的長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】畫出△AOB的原圖，根據(jù)三珀形△AOZ?的面積為12可得答案.

【詳解】畫出的原圖為直角三月形，且。4=OW=6,

因?yàn)?o8xO4=12,所以O(shè)B=4,

2

所以O(shè)B=，O4=2.

2

故選:B.

20.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）如圖所示，△ABC是水平放置的△ABC的直觀圖，則在△ABC的三邊及中線

【答案】D

【詳解】因?yàn)锳B與y釉重合，BC與x釉重合，所以AB=2AH,BC=BC.所以在直角△ABC

中，AC為斜邊，故AB<AD<AC,BC<AC.

故選D.

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖，其底面48C水平放置的直觀圖（斜二

測(cè)畫法）為A'B'C,其中。4'=。7<=。（7=1,則此三棱柱的表面積為（）

A.4+4拒B.8+40C.8+4。D.8+80

【答案】C

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的“三變”"三不變''可得底面平面圖，然后可解.

【詳解】由斜二測(cè)畫法的“三變”“三不變”可得底而平而圖如圖所示，其中3=2。3=2"=2,所以

AB=AC=6所以此三棱柱的表面積為S=2X；X2X2+（2+2逐）x2=8+4石.

故選:C

22.【多選】（2023?湖北黃14黃岡中學(xué)校考三模）如圖所示，四邊形AWC。'是由斜二測(cè)畫法得到的平面

四邊形八88水平放置的直觀圖，其中，AO'=5,CD'=CB'=2,點(diǎn)P在線段C'D上，戶對(duì)應(yīng)原圖中的

點(diǎn)。，則在原圖中下列說(shuō)法正確的是（）

A.四邊形A8C。的面積為14

B.與相同向的單位向量的坐標(biāo)為（-汾

C.A。在向量A5上的投影向量的坐標(biāo)為

D.I3P4+麗|的最小值為17

【答案】ABD

【分析】根據(jù)直觀圖可得四邊形A8CD為直角梯形，從而可求得原圖形的面積，即可判斷A：以點(diǎn)。為坐

AB

標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)與48同向的單位向量為由，即可判斷B；根據(jù)AO

ABADAB/r,

在向量而上的投影向量的坐標(biāo)為下耳一.洞即可判斷C：設(shè)尸（O,y）,ye[0,4],根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)

表示及模的坐標(biāo)表示即可判斷D.

【詳解】解：由直觀圖可得，

四邊形A8co為直角梯形，且AO=5,CD=4,BC=2,

則四邊形ABCD的面積為(2一')"4=14,故A正確：

2

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直帶坐標(biāo)系，

則D(0,0),A(5,0),C(0,4),B(2,4),

則AB=(-3,4),

AB134、

所以與A3同向的單位向量的坐標(biāo)為同=「子,｝故B正確；

4。=(-5,0),

ABADAB15(-3,4)(912)

則AD在向量A8上的投影向量的坐標(biāo)為一[^「?阿二彳工’片二「不彳/故C錯(cuò)誤:

設(shè)尸(Qy),y?o,4],

則PA=(5,—)，),PB=(2,4—.y),

則3%+P8=(17,4—4y),

\iPA+PB\=而、(4-4?,

當(dāng)y=l時(shí)，|3PA+Pq取得最小值17,故D正確.

故選：ABD.

考點(diǎn)五空間幾何體的表面積

23.（2023秋?遼寧錦州?高三統(tǒng)考期末）如圖，扇形048中，OA1OB,04=2,將扇形繞。B所在直線旋

轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為

【分析】根據(jù)題意得到幾何體為以。為圓心，04=2為半徑的半個(gè)球體，再求其表面.枳即

t詳解】將扇形繞。8所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體為以。為圓心，Q4=2為半徑的半個(gè)球體.

幾何體的表面積為:x4^x2?+71x2?=\2n.

故答案為：12兀

24.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為|”,則

該圓錐的側(cè)面積為（）

A.1B.2冗C.37rD.4九

【答案】C

【詳解】底面圓周長(zhǎng)為2兀,計(jì)算母線長(zhǎng)為3,再計(jì)算側(cè)面積得到答案.

女=4.

【分析】底面網(wǎng)周長(zhǎng)為2兀，母線長(zhǎng)為五，側(cè)面積為:;X2TIX3=3兀.

T2

故選：c

25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，斜三棱柱AB。-中，底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為

2,必48=414c=45。，則該斜三棱柱的側(cè)面積是.

【答案】2+2^/272+2

【分析】過(guò)點(diǎn)4作8A/_LAA于"，證出VC\Mg..84M,得出CM_LA4,,證得AA_L平面3cM,得出

AA.LBC,結(jié)合/V\〃CG再證明出CC,1BC,得出平行四邊形8CC4為矩形，即可計(jì).算出斜三棱柱的側(cè)

面積.

【詳解】過(guò)點(diǎn)8作8例于M,如圖所示，

B

,/C4M=N8AM=450,CA=I3A,AM=AM.

..△EM

:.MC=MB=—,

2

NCMA=NBMA=90，即CM_LAA,，

乂?：CMcBM=M,

，例，平面BCM,

又，8Cu平面8cM,

r.AA|J,BC,

又?.?AA〃CG，

:,CC\1BC,

.??平行四邊形BCC冏為矩形，

???該斜三棱柱的側(cè)面積為:2x^x24-1x2=272+2,

2

故答案為：2夜+2.

26.（2023春?上海浦東新?高三上海巾建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖一個(gè)正六棱柱的茶葉盒，底面邊長(zhǎng)為ICcm,

高為20cm,則這個(gè)茶葉盒的表面積為cm2.

【答案】300（4+73）

【分析】根據(jù)棱柱表面積的求法，結(jié)合已如求茶葉盒的表面積.

【詳解】由題設(shè)，一個(gè)底面的面枳為，=6xgxl0xl0xsin60o=150Gcm,

一個(gè)側(cè)面矩形面積為S,=10x20=200cm2,

所以茶葉盒的表面積為26；+6S]=300（4+百）cnr.

故答案為：300（4+x/3）

27.（2023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△SAB是圓錐S。的一個(gè)軸截面，C。分別為母線SA,SB的

中點(diǎn)，5'。=2",。。=2,則圓錐SO的側(cè)面積為（）

A.4兀B.4岳iC.8兀D.8a兀

【答案】D

【分析】根據(jù)軸截面求出底面半徑和母線長(zhǎng)，再根據(jù)側(cè)面枳公式可求出結(jié)果.

【詳解】如圖：

因?yàn)镃D=2,所以AB=4,則圓錐底而半徑r=2>

SA=ylS02+0A2=728+4=4x/2,即母線/=4-，

所以圓錐SO的側(cè)面枳S=兀〃=2x4G；1=8拒兀.

故選:D

28.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在《九章和術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，已知某“塹

堵”的底面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為2,則該“塹堵”的表面積為（）

A.2應(yīng)+2B.2>/2+3C.4應(yīng)+4D.4&+6

【答案】D

【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，該“望堵”的表面積為S&=（2拒+2）x2+2xgxQ5x&=4應(yīng)+6.

故選：D.

29.12023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)ARC是球0的小圓。|上的三點(diǎn)，若48=6C=C4=3>/5,OO,=4,

則球。的表面積為（）

A.（AnB.l（X）7iC.I44nD.200n

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求出小圓的半徑「，由平面ABC,結(jié)合勾股定理，可求得球O的半徑，計(jì)算其

表而枳得答案.

【詳解】因?yàn)锳"=AC=C4=36,所以乂BC是正三角形，。I是其外接圓圓心，所以/8C的外接圓半

徑r=0狀=,、孝乂36=3,球O的半徑R=JOO；+產(chǎn)=J42+32=5,所以球。的表面積為

4兀*=4兀x25=100冗.

故選：B.

30.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形

式，依其平而有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多見(jiàn)于亭閣式建筑.如故宮中和殿的屋頂為

四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，設(shè)正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°,

則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為（）

A.當(dāng)B.fC.…

【答案】D

【分析】由側(cè)面為等邊三角形，結(jié)合面積公式求解即可..

【詳解】設(shè)底面棱長(zhǎng)為2as>0）,正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60。，則側(cè)面為等邊三角形,

則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為f（2。）*4_R

故選：D

31.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐

（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形邊長(zhǎng)的比值為叵出，

4

則以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面枳與該四棱錐的側(cè)面枳之比為（）

A.2B.-C.；D.4

42

【答案】B

【分析】設(shè)底面的正方形的邊長(zhǎng)為4x,由極錐的性質(zhì)求棱錐的高，由比確定以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方

形面積與該四棱錐的側(cè)面積之比.

【詳解】如圖P-4BC。為正四棱柱，莊為側(cè)面三角形PAO底邊上的高，

設(shè)AD=4x,

由已知側(cè)面三角形抬。底邊上的心與底面三方形邊長(zhǎng)的比值為苴土1,

4

所以PE=（行+1卜，

連接設(shè)其交點(diǎn)為O,

因?yàn)樗倪呅蜛8C。為正方形，所以O(shè)為ACBD的中點(diǎn)，

因?yàn)镻A=PB=PC=PD,

POLACJO1BD,又人?！?0=0,AC,8/）u平面A3CO,

所以尸。工平面A3C。，又O￡u平面A8CQ,

所以尸O_LOE,即△FOE為以尸石為斜邊的直角三角形，

因?yàn)镻E=（6+1卜，OE=2x,

所以PO=,心+］）2%2_以2=亞瓦之，

所以以四棱錐P-ABCQ的高為邊長(zhǎng)的正方形面積S'=(2石+2日，

四棱錐P