實數(shù)及其計算基礎(chǔ)知識點

實數(shù)的定義與分類實數(shù)是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。有理數(shù)：能夠精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，包括整數(shù)和分數(shù)。整數(shù)如-3，0，5等；分數(shù)如\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)等。有理數(shù)可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式，例如\(\frac{1}{2}=0.5\)（有限小數(shù)），\(\frac{1}{3}=0.\dot{3}\)（無限循環(huán)小數(shù)）。無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)，例如\(\pi\approx3.1415926\cdots\)，\(\sqrt{2}\approx1.41421356\cdots\)。無理數(shù)不能表示為兩個整數(shù)之比。實數(shù)的性質(zhì)1.有序性：任意兩個實數(shù)\(a\)，\(b\)，有且僅有\(zhòng)(a>b\)，\(a=b\)，\(a<b\)三種關(guān)系中的一種。2.稠密性：任意兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)。例如在\(1\)和\(2\)之間，有\(zhòng)(1.5\)，在\(1\)和\(1.5\)之間又有\(zhòng)(1.25\)等等。3.完備性：實數(shù)集是完備的，即實數(shù)集中任何柯西序列都收斂于一個實數(shù)。簡單理解，對于一系列無限接近的實數(shù)，它們最終會趨向于一個確定的實數(shù)。實數(shù)的運算1.加法與減法-加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得\(0\)；一個數(shù)同\(0\)相加，仍得這個數(shù)。例如\(3+5=8\)，\(-3+(-5)=-8\)，\(3+(-5)=-2\)。-減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。例如\(5-3=5+(-3)=2\)，\(5-(-3)=5+3=8\)。2.乘法與除法-乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與\(0\)相乘，都得\(0\)。例如\(3×5=15\)，\((-3)×(-5)=15\)，\(3×(-5)=-15\)。-除法法則：除以一個不等于\(0\)的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；\(0\)除以任何一個不等于\(0\)的數(shù)，都得\(0\)。例如\(15÷3=5\)，\((-15)÷(-3)=5\)，\(15÷(-3)=-5\)。3.乘方與開方-乘方：求\(n\)個相同因數(shù)\(a\)的積的運算叫做乘方，記作\(a^n\)，其中\(zhòng)(a\)叫做底數(shù)，\(n\)叫做指數(shù)。例如\(2^3=2×2×2=8\)。-開方：-平方根：如果\(x^2=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根，記作\(\pm\sqrt{a}(a\geq0)\)。例如，因為\((\pm2)^2=4\)，所以\(4\)的平方根是\(\pm2\)。-算術(shù)平方根：正數(shù)\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算術(shù)平方根，記作\(\sqrt{a}(a\geq0)\)，\(0\)的算術(shù)平方根是\(0\)。-立方根：如果\(x^3=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，記作\(\sqrt[3]{a}\)。例如，因為\(2^3=8\)，所以\(8\)的立方根是\(2\)。實數(shù)運算的運算律1.加法交換律：\(a+b=b+a\)，例如\(3+5=5+3=8\)。2.加法結(jié)合律：\((a+b)+c=a+(b+c)\)，例如\((2+3)+4=2+(3+4)=9\)。3.乘法交換律：\(ab=ba\)，例如\(3×5=5×3=15\)。4.乘法結(jié)合律：\((ab)c=a(bc)\)，例如\((2×3)×4=2×(3×4)=24\)。5.乘法分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)，例如\(2×(3+4)=2×3+2×4=6+8=14\)。實數(shù)與數(shù)軸每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。例如在數(shù)軸上，\(3\)在\(2\)的右