專(zhuān)題1.7平面上的距離教學(xué)目標(biāo)1.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式以及平面上連接兩點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2.探索并掌握點(diǎn)到直線的距離公式，能用點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)兩條平行直線間的距離公式；3.運(yùn)用距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn)到直線的距離公式及兩條平行直線間的距離公式靈活解決一些問(wèn)題．教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式及應(yīng)用，掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式；點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)2.難點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式的推導(dǎo)；運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行直線間的距離公式解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01平面上兩點(diǎn)之間的距離公式1．點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為_(kāi)___|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)________.2．原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)間的距離_____|OP|＝eq\r(x2＋y2).________注意：(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)．(2)已知斜率為k的直線上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)·|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.【即學(xué)即練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A3,?2和點(diǎn)B?1,1A．2 B．3 C．5 D．5【答案】D【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即得.【解析】點(diǎn)A3,?2和點(diǎn)B?1,1之間的距離為故選：DA．1 B．3C．1或3 D．或3【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可解得結(jié)果.故選：C知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式：____d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))________.注意：(1)利用公式時(shí)直線的方程必須是一般式；(2)分子含有絕對(duì)值；(3)若直線方程為Ax＋By＋C＝0，則當(dāng)A＝0或B＝0時(shí)公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解【即學(xué)即練】A．1 B．2 C． D．3【答案】A【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.故選：A.【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.知識(shí)點(diǎn)03兩條平行直線間的距離公式1．兩條平行直線間的距離：指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．2．公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為0，C1≠C2)之間的距離d＝____eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))_______.注意：(1)兩平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離．(2)運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)，必須保證兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相同【即學(xué)即練】【答案】【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式可解得結(jié)果.故答案為:【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式可解得結(jié)果.題型01求平面兩點(diǎn)間的距離【分析】直接根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.【答案】D【分析】直接根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算得到答案.故選：D【答案】或【分析】代入兩點(diǎn)間距離公式，即可求解.故答案為：或A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，答案：C.【答案】2故答案為：2題型02點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B故選：B．【答案】或【分析】由距離公式，解方程得出a的值.故答案為：或.【分析】通過(guò)斜率存在、不存在兩類(lèi)情況討論即可.當(dāng)斜率存在時(shí)，【分析】先求出定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【分析】求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，的最小值即為點(diǎn)P到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果.題型03兩條平行直線間的距離問(wèn)題【答案】C故選：C【答案】A【分析】利用平行線間距離公式計(jì)算即得.故選：A【答案】B故選：B【答案】或2【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.故答案為：2或題型04與距離有關(guān)的最值問(wèn)題A．3 B．2 C． D．4【答案】A【解析】由題意，知點(diǎn)M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，故選：A.A．1 B． C． D．2【答案】B故選：B.【分析】?jī)芍本€平行且垂直于時(shí)，距離最大A． B． C． D．【答案】A故選：AA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C故選：C【答案】C【分析】直線，之間距離介于兩直線重合和兩直線與直線垂直這兩種情況之間，故求出兩種臨界情況即可得到兩直線之間的距離的取值范圍.【解析】當(dāng)直線，與直線垂直時(shí)，它們之間的距離達(dá)到最大，當(dāng)兩直線重合時(shí)其距離為0.故選：C題型05直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【答案】D故選：D.（1）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，具體操作為：在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)，求出各自關(guān)于A對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，然后求出直線方程；【變式1】直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱(chēng)的直線方程為A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【分析】首先設(shè)對(duì)稱(chēng)直線上任意一點(diǎn)Px,y，得到Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2?x,2?y【解析】設(shè)直線l:4x+3y?2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱(chēng)的直線上任意一點(diǎn)P則Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為又因?yàn)??x,2?y在4x+3y?2=0上，所以42?x+32?y故選：B.【變式2】不論實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，直線2a?1x+?a+3y?5=0都過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x?y+3=0A．x?2y?6=0 B．x?2y=0 C．2x?y?9=0 D．2x?y?3=0【答案】D【分析】先求出定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)直線方程為2x?y+b=0，則2?2+35【解析】由2a?1x+?a+3令2x?y=0?x+3y?5=0，解得：x=1,y=2所以M1,2，設(shè)直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)直線方程為：2x?y+b=0則M1,2到直線2x?y+3=0與2x?y+b=0所以2?2+35=2?2+b5，解得：b=3故直線2x?y+3=0關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)直線方程為：2x?y?3=0.故選：D.題型06求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)【典例1】點(diǎn)A1,3關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】2,4【分析】根據(jù)斜率關(guān)系以及中點(diǎn)關(guān)系，即可列方程求解.【解析】設(shè)A1,3關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為x,y則y?3x?1=?1y+32=故答案為：2,4【變式1】若點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在y軸上，則a,b滿(mǎn)足的條件為（）A．4a?3b=0 B．3a?4b=0C．2a?3b=0 D．3a?2b=0【答案】B【分析】由已知，設(shè)點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0,t)，再由垂直直線的斜率關(guān)系和點(diǎn)a,b與點(diǎn)(0,t)的中點(diǎn)在y=2x上，建立方程組，即可得到3a?4b=0.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在y軸上，設(shè)點(diǎn)a,b關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(0,t)，則有b?ta?0×2=?1b+t故選：B.【變式2】已知直線l:2x?y?6=0，則點(diǎn)M1,1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為A．?1,5 B．5,?1 C．?5,1 D．1,?5【答案】D【分析】由對(duì)稱(chēng)可知直線MN⊥l，且MN中點(diǎn)在l上，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)，可得方程組，解方程組即可.【解析】設(shè)Na,b，則MN中點(diǎn)Pa+12由M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線l:2x?y?6=0對(duì)稱(chēng)，且kl則2×b?1a?1=?1即N5,?1故選：BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A故選：A題型07直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題【典例1】直線x?2y+1=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的直線方程是____________【答案】x+2y?3=0【分析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為Px,y，利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到點(diǎn)P關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P′2?x,y【解析】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為Px,y，該點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P則y=y0x+x0∴2?x?2y+1=0?x+2y?3=0，故答案為：x+2y?3=0【變式1】已知直線l1:x?y+3=0,l0:x?y?1=0，若l1關(guān)于lA．x?y?3=0 B．x?y+5=0C．x?y+3=0 D．x?y?5=0【答案】D【分析】根據(jù)條件判斷l(xiāng)2//l0，可設(shè)l2:x?y+m=0，利用對(duì)稱(chēng)性可知l1【解析】因?yàn)閘1//l0，所以l2//l因?yàn)橹本€l1,l2關(guān)于直線l0對(duì)稱(chēng)，所以l1與由兩平行直線間的距離公式，得|3?(?1)|2=|m?(?1)|2，解得所以直線l2的方程為x?y?5=0故選：D.【變式2】若兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0之間的距離是25，則直線l【答案】x?2y?13=0【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【解析】因?yàn)橹本€l1：x?2y+m=0m>0與l2所以n=?2×2=?4，又兩條平行直線l1：x?2y+m=0m>0與l2：2x+ny?6=0所以|2m+6|4+16=2即直線l1：x?2y+7=0，l2：設(shè)直線l1關(guān)于直線l2對(duì)稱(chēng)的直線方程為則|?3?7|5=|?3?c|故所求直線方程為x?2y?13=0，故答案為：x?2y?13=0題型08光線反射問(wèn)題【典例1】已知點(diǎn)A1,2，直線l:x?y+3=0,光線通過(guò)點(diǎn)A，經(jīng)直線l反射，其反射光線通過(guò)點(diǎn)B【答案】4x?y+8=0【分析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x?y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′m,n，再根據(jù)斜率及中點(diǎn)在直線上求出【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x?y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′由題意得n?2m?1解得m=?1n=4，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為所以反射光線所在直線斜率為4?0?1+2直線方程為4x?y+8=0．【變式1】已知一條光線從點(diǎn)4,0發(fā)出被直線x+y?10=0反射，若反射光線過(guò)點(diǎn)0,1，則反射光線所在的直線方程為（）A．x?2y+2=0 B．3x?2y+2=0 C．2x?3y+3=0 D．2x?y+1=0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出發(fā)光點(diǎn)關(guān)于直線x+y?10=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再借助光的反射定律求出反射光線所在直線的方程.【解析】設(shè)點(diǎn)4,0關(guān)于直線x+y?10=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,b)，則a+42+b因此反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)(10,6)，方程為y=6?110?0x+1故選：A.【變式2】如圖所示，已知點(diǎn)A(2,0),B(0,2)，從點(diǎn)P(1,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是________________【答案】10【分析】求出P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q和它關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T，則QT的長(zhǎng)就是所求路程．【解析】依題意，直線AB方程為x+y=2，設(shè)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(a,b)，則ba?1=1a+12+b2=2，解得a=2b=1QT=(?1?2)2而△PMN的周長(zhǎng)為|MP|+|MN|+|NP|=|MQ|+|MN|+|NT|=|QT|=10所以光線所經(jīng)過(guò)的路程是10．故答案為：10.題型09將軍飲馬問(wèn)題求最值A(chǔ)． B． C． D．【答案】C【分析】找出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)特殊情況路徑最短，用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.即與重合時(shí)，將軍飲馬的總路程最短，故選：C(1)定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，使兩點(diǎn)在直線異側(cè)，三點(diǎn)共線最短；(2)定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的最大值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，使兩點(diǎn)在直線同側(cè)，三點(diǎn)共線最短A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短進(jìn)行求解即可.故選：B.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C設(shè)飲馬點(diǎn)為，如下圖示，故選：CA．3 B．5 C．9 D．25【答案】B故選：B【答案】C【分析】根據(jù)直線有無(wú)斜率，分類(lèi)討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，故選：C【答案】D故選：D.A． B． C． D．【答案】C【分析】?jī)蓷l直線相互平行，的最小值是平行線之間的距離.故選：C【答案】B故選：BA． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合直線方程即可求解.故選：C．7．（多選）下列四個(gè)命題中真命題有（）【答案】AC故選：AC8．（多選）2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱(chēng)出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A2,4，軍營(yíng)所在位置為B6,2，河岸線所在直線的方程為A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是7x?y?10=0B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為13C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是x?6y+6=0D．“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為5【答案】ABD【分析】由題意畫(huà)出圖形，則由三角形三邊關(guān)系可知點(diǎn)C為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，A,C,B1三點(diǎn)共線滿(mǎn)足題意，其中點(diǎn)B1為點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)于A，由根據(jù)BB1【解析】如圖所示：由題意可知A,B在x+y?3=0的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x+y?3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B1A,C,B1三點(diǎn)共線滿(mǎn)足題意，點(diǎn)則a+62+b+22?3=0對(duì)于A，直線AB1的斜率為k=4??32?1對(duì)于B，聯(lián)立7x?10?y=0x+y?3=0，解得x=138對(duì)于C，由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)C138,118，直線CB的斜率為k=2?11對(duì)于D，AC+CB=AC+故選：ABD.【答案】ABC【分析】根據(jù)定點(diǎn)判斷方法、直線垂直關(guān)系、勾股定理、三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.故選：ABC.【答案】15或5.【分析】根據(jù)條件,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于的方程,再求出的值.故答案為：15或5.【分析】判斷兩直線平行，即可判斷的最小值為平行直線與的距離，根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.則兩直線斜率均為2，且兩直線不重合，故答案為：【答案】的最小