PAGEPAGE1第五單元四邊形第20講多邊形命題點(diǎn)多邊形及其內(nèi)角和、外角和1．(2025·河北T16·2分)已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)均為1，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)B，M間的距離可能是(C)A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.52．(2025·河北T19·3分)平面上，將邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊在一起，如圖，則∠3＋∠1－∠2＝24°．3．(2025·河北T19·6分)如圖1，作∠BPC平分線的反向延長(zhǎng)線PA，現(xiàn)要分別以∠APB，∠APC，∠BPC為內(nèi)角作正多邊形，且邊長(zhǎng)均為1，將作出的三個(gè)正多邊形填充不同花紋后成為一個(gè)圖案．例如，若以∠BPC為內(nèi)角，可作出一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，此時(shí)∠BPC＝90°，而eq\f(90°,2)＝45°是360°(多邊形外角和)的eq\f(1,8)，這樣就恰好可作出兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個(gè)符合要求的圖案，如圖2所示．圖2中的圖案外輪廓周長(zhǎng)是14；在所有符合要求的圖案中選一個(gè)外輪廓周長(zhǎng)最大的定為會(huì)標(biāo)，則會(huì)標(biāo)的外輪廓周長(zhǎng)是21．4．(2025·河北T22·9分)已知n邊形的內(nèi)角和θ＝(n－2)×180°.(1)甲同學(xué)說(shuō)，θ能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，θ也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n；若不對(duì)，說(shuō)明理由；(2)若n邊形變?yōu)?n＋x)邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.解：(1)甲對(duì)，乙不對(duì)．理由：∵θ＝360°，∴(n－2)×180＝360.解得n＝4.∵θ＝630°，∴(n－2)×180＝630.解得n＝eq\f(11,2).∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°.∴甲對(duì)，乙不對(duì)．(2)依題意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180.解得x＝2.

重難點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和與外角和在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°.(1)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9；(2)若將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是1__080°或1__260°或1__440°．【思路點(diǎn)撥】(1)由這個(gè)多邊形的各個(gè)內(nèi)角、外角均相等，可以用內(nèi)角與相鄰?fù)饨腔パa(bǔ)建立方程來(lái)求得外角，再由外角和等于360°求邊數(shù)；(2)一個(gè)多邊形切去一個(gè)角，這個(gè)角有三種位置：一是過(guò)兩個(gè)頂點(diǎn)，二是過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)及邊上任一點(diǎn)，三是過(guò)相鄰兩邊的任意兩點(diǎn)，進(jìn)而得到剩下多邊數(shù)的邊數(shù)，再利用多邊形的內(nèi)角和公式來(lái)求解．【變式訓(xùn)練1】如圖，將一張四邊形紙片沿直線剪開，如果剪開后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等，下列四種剪法中，符合要求的是(B)A．①② B．①③ C．②④ D．③④eq\x(方法指導(dǎo))1．從多邊形(邊數(shù)大于3)剪下一個(gè)角，得到圖形的邊數(shù)可能比原圖形邊數(shù)大1或相等或小1.2．一個(gè)多邊形，若邊數(shù)增加1，則內(nèi)角和增加180°.eq\x(易錯(cuò)提示)多邊形剪下一個(gè)角，有三種情況，容易忽略丟掉其他情況．【變式訓(xùn)練2】(2025·河北模擬)在一個(gè)多邊形中，一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角與其他各內(nèi)角的和為600°.(1)如果這個(gè)多邊形是五邊形，請(qǐng)求出這個(gè)外角的度數(shù)；(2)是否存在符合題意的其他多邊形？如果存在，請(qǐng)求出邊數(shù)及這個(gè)外角的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)設(shè)這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得(5－2)×180－(180－x)＋x＝600.解得x＝120.故這個(gè)外角的度數(shù)是120°.(2)存在．設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)外角的度數(shù)是x°.由題意，得(n－2)×180－(180－x)＋x＝600.整理，得x＝570－90n.∵0＜x＜180，即0＜570－90n＜180.解得4eq\f(1,3)<n<6eq\f(1,3).又∵n為正整數(shù)，∴n＝5或n＝6.當(dāng)n＝6時(shí)，x＝30.故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，這個(gè)外角的度數(shù)為30°.eq\x(方法指導(dǎo))本題注意隱含條件的挖掘，即鄰補(bǔ)角和為180°及凸多邊形的一個(gè)內(nèi)角是小于平角的角．Ｋ1．(2025·云南)一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為(A)A．540° B．450° C．360° D．180°2．(2025·呼和浩特)已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則這個(gè)多邊形是(B)A．九邊形 B．八邊形 C．七邊形 D．六邊形3．(2025·北京)若正多邊形的一個(gè)外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和為(C)A．360° B．540° C．720° D．900°4．(2025·河北模擬)連接多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)的線段把這個(gè)多邊形分成了4個(gè)三角形，則原多邊形是(C)A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形5．(2025·濟(jì)寧)如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P＝(C)A．50° B．55° C．60° D．65°6．(2025·石家莊模擬)有公共頂點(diǎn)A，B的正五邊形和正六邊形按如圖所示位置擺放，連接AC交正六邊形于點(diǎn)D，則∠ADE的度數(shù)為(B)A．144° B．84° C．74° D．54°提示：∠ADE是四邊形ADEB的一個(gè)內(nèi)角．7．(2025·宿遷)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是8．8．(2025·上海)通過(guò)畫出多邊形的對(duì)角線，可以把多邊形內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題．如果從某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線共有2條，那么該多邊形的內(nèi)角和是540度．9．(2025·山西)圖1是我國(guó)古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅(jiān)冰出現(xiàn)裂紋并開始消融，形狀無(wú)一定規(guī)則，代表一種自然和諧美．圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360度．10．一個(gè)機(jī)器人以0.2m/s的速度在平地上按下圖中的步驟行走，那么該機(jī)器人從開始到停止所需時(shí)間為80__s．11．(2025·河北模擬)如圖，多邊形ABCDEF與AGHEMN都是正六邊形，則∠FAN的度數(shù)為(C)A．15° B．20° C．30° D．45°12．(2025·河北模擬)邊長(zhǎng)均為1的等邊三角形和正六邊形按如圖所示擺放，正六邊形保持不動(dòng)，等邊三角形依次繞正六邊形的頂點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较?，?jīng)過(guò)六次旋轉(zhuǎn)，在正六邊形邊上旋轉(zhuǎn)一周，M為正六邊形的頂點(diǎn)，N為等邊三角形的頂點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，M，N兩點(diǎn)的距離一定不能是(D)A．1.9B．2.1C．2.9D．3.113．(2025·河北模擬)看圖回答問(wèn)題：(1)內(nèi)角和為2018°，佳佳為什么說(shuō)不可能？(2)音音求的是幾邊形的內(nèi)角和？解：(1)∵n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°，∴內(nèi)角和一定是180°的倍數(shù)．∵2018÷180＝11……38，∴內(nèi)