/湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．1 C． D．i2．下列說法不正確的是（

）A．零向量加一個零向量還是零向量B．零向量減一個零向量還是零向量C．零向量乘一個零向量還是零向量D．零向量乘零還是零向量3．平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)，在下圖兩種分布形態(tài)中，分別對應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對應(yīng)關(guān)系是（）A．為中位數(shù)，為平均數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)B．為平均數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)C．為中位數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)D．為平均數(shù)，為中位數(shù)，為中位數(shù)，為平均數(shù)4．一組數(shù)據(jù)5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23的上四分位數(shù)（即第75百分位數(shù)）為（

）A．7 B．7.5 C．18 D．195．已知，是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（

）A．存在兩條不同直線a，b，使，，，B．存在兩條不同直線a，b，使，，，C．存在兩條異面直線a，b，使，，，D．存在兩條平行直線a，b，使，，，6．如圖，點為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

7．類比思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去的一種思維方法.在平面幾何中，有如下命題“正三角形的高為，是內(nèi)任意一點，到三邊的距離分別為，，，則為定值”.證明如下：設(shè)正三角形邊長為，高，到三邊的距離分別，，，則：，即：，化簡得，，∴（定值）.類比此命題及證明方法，在立體幾何中如圖，正四棱錐中，，側(cè)面與底面的夾角為.若點是正四棱錐內(nèi)任意一點，點到平面，平面，平面，平面，平面的距離分別為，，，，，則（

）

A． B． C． D．8．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，若、、的面積分別記為、、，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限C． D．為純虛數(shù)10．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則如下判斷正確的是（

）A．若，則是鈍角三角形B．若，則為等腰三角形或鈍角三角形C．若，則是銳角三角形D．若，，則符合條件的有兩個11．已知棱長為的正四面體（棱長都相等的三棱錐）的高為，外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，現(xiàn)有棱長為的正四面體的內(nèi)切球的表面積為，且表面密封，下列說法正確的是（

）A．側(cè)棱與平面所成的角的正切為B．正四面體的外接球的體積為C．若有一個小正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意旋轉(zhuǎn)，則小正四面體的棱長的最大值為D．若有一個小正方體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意旋轉(zhuǎn)，則小正方體的棱長的最大值為三、填空題12．已知一組數(shù)據(jù)分別是1，4，2，3，，它們的平均數(shù)是3，則對于以下數(shù)據(jù)：的方差是13．如圖，四個邊長均相等的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊上有10個不同的點，，記，若，則等邊三角形的邊長為.

14．如圖，在直角梯形中，，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個幾何體.則該幾何體的表面積為；一只螞蟻在形成的幾何體上從點A繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點A，則螞蟻爬行的最短路程為.四、解答題15．某高校體檢隨機抽取100名學(xué)生，測得他們的身高（單位：cm），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求和頻率分布直方圖中身高在175cm及以下的學(xué)生人數(shù)；(2)估計該校100名學(xué)生身高的下四分位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.(3)已知落在區(qū)間的樣本平均數(shù)是173，方差是8，落在區(qū)間的樣本平均數(shù)是178，方差是6，求兩組樣本成績合并后的平均數(shù)和方差.參考公式：若總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則.16．如圖，已知平行四邊形的三個頂點，，的坐標(biāo)分別是，，.(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)求向量與向量所成角的余弦；(3)求向量與向量上的投影向量的坐標(biāo).17．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別為線段，上的點，，，.

(1)求證：平面.(2)在線段上是否存在一點，使平面平面?請說明理由.(3)若四棱錐的體積為1，求三棱柱的體積.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面為梯形，，平面平面，且，.(1)若平面與平面相交于直線，求證：；(2)求證：；(3)求二面角的余弦值.19．法國數(shù)學(xué)家費馬在給意大利數(shù)學(xué)家托里拆利的一封信中提到“費馬點”，即平面內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.托里拆利確定費馬點的方法如下：①當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，滿足的點O為費馬點；②當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.請用以上知識解決下面的問題：已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點M為的費馬點，且(1)求角C；(2)求；(3)已知在中，若點P為平面上任意一點，求的最小值；

湖北省武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號12345678910答案ACADCDABABDBD題號11答案BC1．A【詳解】由，虛部為.故選：A2．C【詳解】由向量的運算性質(zhì)，零向量乘一個零向量是數(shù)量零，而兩個零向量的加減、數(shù)乘（乘以0）均為零向量.故選：C3．A【詳解】解：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組頻率的中間值乘頻數(shù)再相加之和，結(jié)合兩個頻率分布直方圖得：為中位數(shù)，為平均數(shù)，為平均數(shù)，為中位數(shù)．故選：A．4．D【詳解】把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列得：3，5，7，8，9，10，12，15，18，20，21，23，因為，所以第75百分位數(shù)是第9，10兩個數(shù)的平均數(shù)，為19.故選：D5．C【詳解】對于A，若交于直線，空間存在直線都平行于，滿足前提，但不成立，故不是充分條件；對于B，若交于直線，在內(nèi)取兩條直線都平行于直線，則，，滿足前提，但不成立，故不是充分條件；對于C，若交于直線，，，則（否則相交），同理，，則，故不可能異面，與前提矛盾，此時，是充分條件；對于D：若交于直線，在內(nèi)取，在內(nèi)取，滿足前提，但不成立，故不是充分條件；故選：C6．D【詳解】對于A選項，如圖①所示，在正方體中，

且，因為分別為的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面平面，所以平面，同理可證平面，因為平面，所以平面平面，因為平面，故平面,故A滿足；對于B選項，如圖②所示，連接，

在正方體中，且，因為分別為的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為分別為的中點，則，所以，因為平面平面，所以平面，故B滿足；對于C選項，如圖③所示，在正方體中，取的中點，連接，

因為且分別為的中點，所以且，故四邊形為平行四邊形，則，因為分別為的中點，所以，則，所以四點共面，因為且，則四邊形為平行四邊形，所以，因為分別為的中點，則，所以，因為平面平面，所以平面故C滿足；對于D選項，如圖④所示，在正方體中，取的中點，連接，

因為且分別為的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，因為分別為的中點，所以，故，所以四點共面，同理可證，故，同理可得，反設(shè)平面，因為，且平面，則平面，但與平面有公共點，這與平面矛盾，故平面，故D不滿足.故選：D.7．A【詳解】連接交于點，取的中點，連接，由正四棱錐的幾何特征可得為的中點，且底面，，，，因為為的中點，所以，，所以即為面與底面所成角的平面角，即，，則，，所以，，，由，所以.故選：A.

8．B【詳解】∵是的垂心，延長交與點，，同理，∴，又，∴，又，∴，不妨設(shè)，，，其中，，∴，化簡整理得，解得（負(fù)值舍），所以.故選：B9．ABD【詳解】，則，故A正確；，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，故B正確；為純虛數(shù)，不能比較大小，故C錯誤，D正確.故選：ABD10．BD【詳解】對于A：因為，與的夾角為B的補角，所以B為銳角，不能確定的形狀，A錯誤；對于B：因為，，，，所以或，當(dāng)時，，為等腰三角形，當(dāng)時，，，為鈍角三角形，所以為等腰三角形或鈍角三角形，B正確；對于C：因為，所以，所以，故為銳角，但無法判斷角A，B的范圍，C錯誤；對于D：因為，所以，故符合條件的有兩個，D正確.故選：BD.11．BC【詳解】

如圖所示，設(shè)點在平面內(nèi)的射影為點，則平面，即為側(cè)棱與平面所成的角.∵平面，∴.由題知，，，∴在中，，，∴側(cè)棱與平面所成的角的正弦值為，正切值為，故選項A錯誤；∵棱長為的正四面體的內(nèi)切球的表面積為，∴由題可知，解得，即正四面體的內(nèi)切球的半徑.∴正四面體的外接球的半徑，體積為，故選項B正確；當(dāng)小正四面體的外接球為正四面體的內(nèi)切球時，小正四面體的棱長取得最大值，∴，即，故選項C正確；當(dāng)小正方體的外接球為正四面體的內(nèi)切球時，小正方體的棱長取得最大值，∴，即，故選項D錯誤.故選：BC.12．8【詳解】由題意，故，所以，，，，的方差為，數(shù)據(jù)，，，，的方差是.故答案為：813．3【詳解】設(shè)等邊三角形邊長為，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，直線的斜率為：，方程為：，設(shè)，因為在上，所以，且，依題意，，所以，解得（負(fù)的舍去），即等邊三角形的邊長為3.

故答案為：3.14．12【詳解】如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個上底面半徑為，下底面半徑，母線長的圓臺，其表面積為.將圓臺的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個扇環(huán)，因為圓臺上下底面半徑的關(guān)系為，所以，，又∵，∴，∴，設(shè)，則的弧長，解得，連接，為等邊三角形，∴所以螞蟻從點A繞著圓臺的側(cè)面爬行一周，回到點A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行的最短路程為12.故答案為：；12.15．(1)，70（人）(2)168(3)，【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得，身高在175cm及以下的學(xué)生人數(shù)（人）.（2）的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，所以該校100名生學(xué)身高的下四分位數(shù)即分位數(shù)落在，設(shè)該校100名生學(xué)身高的分位數(shù)為，則，解得，故該校100名生學(xué)身高的下四分位數(shù)約為168.（3）由頻率分布直方圖知，這100名學(xué)生的身高在的有人，身高在的有人，所以，總方差16．(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè).∵，，，∴，.又四邊形是平行四邊形，∴，∴，即，解得.∴頂點的坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，，∴向量與向量所成角的余弦為.（3）∵，，∴向量與向量上的投影向量的坐標(biāo)為.17．(1)證明見解析(2)存在，理由見解析(3)【詳解】（1）證明：因為，分別為線段上的點,,所以.又因為，所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）取的點，，連接，.則.因為平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又因為，，平面，所以平面平面，故在線段上存在一點，使平面平面.

（3）由題意可得，則得,所以.故三棱柱的體積為.18．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）由，平面，平面，得平面，又平面，且平面與平面相交于直線，所以.（2）在平面內(nèi)作于H，∵平面平面，平面平面，∴平面，平面，則又平面，平面，則，又且都在平面內(nèi)，故平面，又平面，則.（3）若是的中點，連接，由（2）知，，，由平面，平面，則，而，平面，于是平