第頁第6講函數(shù)的概念及其表示知識點目錄知識點目錄TOC\o"1-1"\h\u1481【知識點1】函數(shù)的概念 218604【知識點2】函數(shù)的解析式 44735【知識點3】分段函數(shù) 7基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域．(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．3．函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．4．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．常用結(jié)論1．直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點．2．在函數(shù)的定義中，非空實數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．3．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．知識點1知識點1知識點知識點【知識點1】函數(shù)的概念函數(shù)的含義及判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個要求：①A，B是非空的實數(shù)集；②第一個集合A中的每個元素在第二個集合B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．(2)兩個函數(shù)滿足定義域和對應(yīng)關(guān)系相同時，才是同一個函數(shù)．典型例題典型例題例1：【例1】（2025?五華區(qū)校級模擬）已知集合，，下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成函數(shù)的是A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，則，按照對應(yīng)關(guān)系，集合中每個元素，在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，故正確；對于，取，則，故錯誤；對于，取，則，故錯誤；對于，，，按照對應(yīng)關(guān)系，集合中每個元素，在集合中都有唯一元素與之對應(yīng)，故正確．故選：．【例2】（2023?青羊區(qū)校級模擬）給出下列4個函數(shù)，其中對于任意均成立的是A． B． C． D．【答案】【分析】從函數(shù)的定義出發(fā)進行分析，任意只能對應(yīng)唯一的，否則不滿足，由此可排除選項，，．【解答】解：對于，取，則，取，則有，故不成立；對于，取，則，取，則，故不成立；對于，取，則（6），取，則（6），故不成立；對于，令，，則由，可得，即，故，故成立．故選：．【例3】（2025?廣東模擬）函數(shù)的定義域為A．，， B．，， C．， D．，【答案】【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0，聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則，解得且．函數(shù)的定義域為，，．故選：．【例4】（2025?揚州校級模擬）已知函數(shù)的定義域為，，則函數(shù)的定義域為A．， B．， C． D．【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，列出方程組，即可求得答案．【解答】解：因為的定義域是，，所以，根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法，在函數(shù)中，，解得且，則定義域為．故選：．【例5】（2025?泉州模擬）函數(shù)的值域為A．， B．， C． D．，【答案】【分析】求出函數(shù)定義域，再利用單調(diào)性求出值域．【解答】解：函數(shù)的定義域為，，又在，上單調(diào)遞增，，故的值域為，．故選：．知識點2知識點2知識點知識點【知識點2】函數(shù)的解析式函數(shù)解析式的求法(1)配湊法．(2)待定系數(shù)法．(3)換元法．(4)解方程組法．典型例題典型例題例1：【例6】（2025?臺灣四模）若為二次函數(shù)且，，則的解析式為．【答案】．【分析】利用待定系數(shù)法和對應(yīng)思想的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)，由于，所以，又因為，所以，故，解得，所以．故答案為：．【例7】（2025?重慶模擬）設(shè)定義域為的函數(shù)滿足：，都有且為常數(shù)），則函數(shù)．【答案】．【分析】由已知函數(shù)關(guān)系，運用賦值法可求解．【解答】解：定義域為的函數(shù)滿足：，都有，由①，令可得②，在②中，令，則③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，則由③④⑤⑥可得，，即，因，則．故答案為：．【例8】（2025?河北模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，試寫出一個滿足上述條件的的解析式：．【答案】（答案不唯一）．【分析】根據(jù)函數(shù)的遞推關(guān)系，可猜想函數(shù)為，驗證即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，中間符號為“”，前后兩個代數(shù)式中間符號為“”，類比兩角差的余弦公式，但，猜測的一個解析式為．檢驗，，，，滿足題意，又，滿足題意，故的一個解析式為．故答案為：（答案不唯一）．【例9】（2025?昆明模擬）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當且僅當時，，則當時，的解析式為．【答案】．【分析】利用奇函數(shù)的定義，將求時的解析式轉(zhuǎn)化為時的情況，直接代入已知解析式即可．【解答】解：設(shè)時，，，因為是奇函數(shù)，所以，所以當時，．故答案為：．【例10】（2024?懷仁市校級四模）已知集合，，，函數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，存在，，使得，則的解析式可以是．（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）【答案】．【分析】先將表示出來，再賦值即可．滿足（1），且一次項系數(shù)不為零的所有一次或者二次函數(shù)解析式均正確．【解答】解：，令，則，，取，則．故答案為：．知識點3知識點3知識點知識點【知識點3】分段函數(shù)分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗．典型例題典型例題例1：【例11】（2024?羅山縣二模）若，則的值為A．0 B．1 C．2 D．【答案】【分析】利用函數(shù)的解析式知道當時是以2周期的周期函數(shù)，故（2），再代入函數(shù)解析式即得【解答】解：當時，（2），當時即（2）故選：．【例12】（2022?上虞區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)，則（1），若（a），則實數(shù)的取值范圍是．【答案】；，，．【分析】依據(jù)分段函數(shù)的定義去求（1）的值；分類討論關(guān)于的不等式組，去求的取值范圍．【解答】解：函數(shù)，（1），（1）；（a）或，解得或，若（a），則實數(shù)的取值范圍是，，．故答案為：；，，．【例13】（2020?西城區(qū)校級模擬）函數(shù)，滿足的的取值范圍A． B． C．或 D．或【答案】【分析】分和兩種情況解不等式，解指數(shù)不等式時，要化為同底的指數(shù)不等式，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解．【解答】解：當時，即，，，，當時，即，，綜上，或，故選：．【例14】（2020?寶雞二模）若，則（3）．【分析】先求出（3）來，再求（3），一定要注意定義域選擇好解析式．【解答】解：（3）（3）故答案為．【例15】（2021?市中區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】由