高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)

'正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾

象限角.

第一象限角的集合為3公360。<a<-36()。+90。/eZ}

第二象限角的集合為{a卜?360°+90°<k?360°+180°,A￡Z}

第三象限角的集合為{。伙?360°+180°<a<h360°+270°,攵￡z}

第四象限角的集合為{ak360°+270。va<h360°+360°，丘Z}

終邊在x軸上的角的集合為{a|a=hl800/eZ}

終邊在)，軸上的角的集合為{a|a=hl80°+90°,&eZ)

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a|a=k-90\kez}

3、與角a終邊相同的角的集合為伊忸=h360。+a,A￡Z}

4、已知a是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分〃等份，再從工軸的

正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則a原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為巳終邊

n

所落在的區(qū)域.

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

6、半徑為r的圓的圓心角。所對弧的長為/，則角。的弧度數(shù)的絕對值是|3=/.

7、弧度制與角度制的換算公式：2^=360°,1°=—,1=|—1?57.3°.

180[7T)

8、若扇形的圓心角為為弧度制)，半徑為人弧長為/,周長為C,面積為S,貝|”=「冏，

C=2r+7,S=^lr=^\a\r2.

9、設(shè)。是一個任意大小的角，。的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(X,)，)，它與原點(diǎn)的距離是

r^r=y]x2+y2>0^,貝ijsina=』，cosa=—,tancr=—(x^O).

10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象

限余弦為正.

II、三角函數(shù)線：sin?=MP,cosa=OM,tana=AT.

12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：0）sin2a+cos2Q=i,

sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2a)；

小sinasinz

(2)----=tancrsiaz=tascas,cfo-s——

cosatava

13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:

(l)sin(2Z〃+a)=sina,cos(2ICTT+?)=cosa,tan(2Z〃+a)=tana(Z￡Z).

(2)sin(乃+a)=-sina,cos(7r+a)=-cosa,tan("+a)=tana.

⑶sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(7r-a)=sina，cos(1一a)=-cosa,tan(〃-a)=Tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

71=cosa,cos(g-a7171

(5)sin|——a=sina.(6)sin一十a(chǎn)—cosa，cos—ba=-sina.

22J2

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

14、函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移閘個單位長度，得到函數(shù)丁=5抽（工+。）的圖象;

再將函數(shù)），=百"1+0）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的石倍（縱坐標(biāo)不變）,

得到函數(shù)y=sin（?E+0）的圖象；再將函數(shù)y=sin（3r+0）的圖象.上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長

（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（s+0）的圖象.函數(shù)y=sinx的

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)》二411/工的圖

CD

象；再將函數(shù)），=sins的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移四個單位長度，得到函數(shù)

co

y=sin（5+°）的圖象；再將函數(shù)），=0m（3丫+0）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到

原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=Asin（5+°）的圖象.

函數(shù)y=Asin(3x+°)(A>0,3>0)的性質(zhì):

27rI（0

①振幅：A；②周期：T=—；③頻率：f=-=——；④相位：a（p?,⑤初相：（p.

（DT271

函數(shù)），=Asin（@x+0）+B，當(dāng)X=X|時(shí)，取得最小值為Xnin；當(dāng)x=W時(shí)，取得最大值為Xnax，

1iT

pi]A=-(ymax-ymin),B=-(ymax+ymin),-=x2-x,(X)<x2).

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

y=sinxy=cosxy=tanx

卜i卜

yy

4

圖象(\(\

0012?(/

定義.TC*r

RRXK7T+—,KeZ>

域

值域[-u][-u]R

當(dāng)x=2k/r+^(ZeZ)當(dāng)x=2kMk￡Z)時(shí)，

時(shí),1

?Vmax-1；ymax-?當(dāng)人-=2左萬十%

最值既無最大值也無最小值

當(dāng))r=2k九-巴(ZcZ)時(shí)，%n=T?

2

wZ)時(shí),ymin=-1.

周期2冗2冗71

性

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

在2k1一工,2%乃+工

22.

在一乃,2Qr](ZwZ)上/

.71.4、

EZ)上是增函數(shù)；tE在K7T---，攵乃4——

單調(diào)22)

是增函數(shù)；在[2攵乃,2攵；:+司X

性

7134

2iCTT+-,2kjr+—wZ)上是增函數(shù).

2-2_(ZwZ)上是減函數(shù).

eZ)上是減函數(shù).

對不樂中心(匕r,O)(AeZ)(兀、

對稱中心攵乃+—,()(/reZ)對稱中心(當(dāng),0)(攵EZ)

對稱jr<2)

性對不長軸x=2笈+5(%eZ)

對稱軸x=eZ)無對稱軸

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度.

零向量：長度為。的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.

相等向量：長度相等且方向相同的向量.

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

a+K=AB+BC=AC

(3)三角形不等式:同一問上卜+5卜同十%.

(4)運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a,②結(jié)合律：(4+5)+1=萬+(5+1)；③白+。=0+4=1.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)汗=(X],yJ,5={x2,y2),則值+日=(玉+%)?

18、向量減法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)"=(%,)，[),萬=(々,%)，則值一行二(不一三,y.

A

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x，yj,(七,％),則屜=(與蒞JT%)?

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：a—b=AC-AB=BC

⑴實(shí)數(shù)4與向量〃的積是一個向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作所.

①|(zhì)蜀=|川同；

②當(dāng)X>0時(shí)，的方向與1的方向相同；當(dāng)％<。時(shí)，然的方向與萬的方向相反；當(dāng)4=0時(shí),

=0.

⑵運(yùn)算律：①義(〃0)=(〃/)汗；②(4+〃)M=/UZ+〃4：③丸(2+/?)=2日+幺5.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=(x,y),則%=2(x,y)=(/U,/ly).

20、向量共線定理：向量少,。0)與5共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)2,使5=4。.設(shè)不=(不乂)，

h=(x,,y2),其中5工0,則當(dāng)且僅當(dāng)玉為一工2)'1=。時(shí)，向量亍、可方工°)共線.

21、平面向量基本定理：如果1、還是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意

向量小有且只有一對實(shí)數(shù)4、不，使值=41+%小(不共線的向量1、1作為這一平面內(nèi)所

有句量的一組基底)

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，P-P2的坐標(biāo)分別是(％,)；)，(電,%)，當(dāng)

耶=7麗時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是十+1為[

1211+41+4)

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴〃?方=|同代0制”“工0,0。《"180。).零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)歹和B都是非零向?qū)?，則①M(fèi)_LB=a?B=0.②當(dāng)7與日同向時(shí)，第5=|同忖；當(dāng)彳

與6反向時(shí)，ab=-|?||/?；無d==同2或同二夜工.③無64同回

⑶運(yùn)算律：?ci-b-b'dx②=q?5)=M?(25)；@(a-\-b^c=dc+bc.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個非零向量M=(x，y),方=(%,%)，則不5=%毛+乂％.

若不二(x,y),則同=f+v，或同=Jf+),2.

設(shè)4=(x，x),5=(i，%)，則示~L5。%工2+y)'2=0.

設(shè)萬、萬都是非零向量，5=,b=(x2,js),。是4與萬的夾角，則

84二簿很_?":廣乜力

同M.

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(Dcos(