高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市鄒城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.已知空間兩點，則兩點間的距離是（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】由題意，故選：B．2.若直線經(jīng)過點，則直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，故選：D．3.甲、乙兩人比賽下棋，下成和棋的概率是，甲獲勝的概率的是，則乙不輸?shù)母怕适牵ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】乙不輸與甲勝是對立事件，則乙不輸?shù)母怕适?，故選：C.4.已知直線與圓相交于兩點，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則弦的長故選：A5.已知空間三點，則點到直線的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，，則，，所以點到直線的距離.故選：D6.甲、乙兩人在一座7層大樓的第一層進入電梯，假設(shè)每個人從第2層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲、乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和為9的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對，組成種等可能的結(jié)果，表格表示如下甲乙234567234567記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是9”，則事件A的可能結(jié)果有6種，即，所以事件A的概率為：，故選：C.7.在正三棱柱中，為棱的中點，與交于點，若，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，取中點，連接，則，，所以是與所成的角或其補角，正棱柱中所有側(cè)棱都與底面上的任意直線垂直，設(shè)，則，所以，，等邊三角形中，，，，在等腰中，，,中，,所以與所成角的余弦值是，故選：B．8.若過直線上一點作圓的兩條切線，切點為，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑四邊形中，，則，整理得，又，PC最小值即為圓心到直線的距離，則.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)直線的交點為，則（）A.恒過定點0,2B.C.的最大值為D.點到直線的距離的最大值為5【答案】ABD【解析】對于選項A，因為直線，即，令，解得，所以恒過定點0,2，故A正確；對于選項B，因為直線滿足，所以，故B正確；對于選項C，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以，則，令，則，所以，且在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；對于選項D，由A可知，直線恒過定點0,2，則點到直線的距離的最大值即為點到定點0,2的距離，即，故D正確；故選：ABD10.某學(xué)校數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各有3名男生、3名女生，假設(shè)物理興趣小組的3名女生為甲、乙、丙，現(xiàn)從數(shù)學(xué)、物理兩興趣小組各隨機選出1名同學(xué)參加比賽.設(shè)事件為“從數(shù)學(xué)興趣小組中選出的是男生”；事件為“從物理興趣小組選出的是女生乙”；事件為“從兩興趣小組選出的都是男生”；事件為“從兩興趣小組中選出的是1名男生和1名女生”，則（）A. B.C.與相互獨立 D.與互斥【答案】BC【解析】A，由題意可得，故A錯誤；B，由題意可得，故B正確；C，由題意可得，，所以與相互獨立，故C正確；D，事件與可能同時發(fā)生，所以不互斥，故D錯誤；故選：BC.11.已知正方體的棱長為2，點滿足，其中，則（）A.存在唯一點，使得平面B.存在唯一點，使得平面C.當(dāng)時，點到平面的距離的最小值為D.當(dāng)時，三棱錐的體積的最小值為【答案】ACD【解析】解：以為原點，所在方向分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示：則對于A，因為，所以，，所以，又因為，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，又因為平面，所以，所以，所以，唯一確定，故正確；對于B，因為，要使平面，則，所以，所以，故點不唯一，故錯誤；對于C，因為，所以三點共線，因為,設(shè)點到平面的距離為，則有，所以，設(shè)到的距離為，則，當(dāng)與重合時，，所以，故C正確；對于D，因為，所以點在以為圓心，為半徑的圓弧上，設(shè)到的距離為因為，當(dāng)點位于圓弧中點時，.所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.若實數(shù)滿足方程，則的最小值為___.【答案】【解析】由實數(shù)滿足方程，可得，則，則的最小值為.故答案為：13.某商場調(diào)查500名顧客的滿意度情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：不滿意一般滿意女性2564男性1536若，則滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為________.【答案】【解析】由題可知：，又因為，所以樣本空間包含樣本點為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，設(shè)“滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客”為事件，則事件包含的樣本點為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，所以，所以滿意的顧客中男性顧客不少于女性顧客的概率為.故答案為：.14.已知正四棱柱為對角線的中點，過點的直線與長方體表面交于兩點，為長方體表面上的動點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】為的中點，即為正四棱柱的中心，由對稱性，為的中點，則，，，，所以，所以，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，長方體中，，設(shè).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接，設(shè)，連接，如圖：則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以平面平面故平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點，方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，，.設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，即令，解得.，設(shè)平面的一個法向量，則，即令，解得，.設(shè)平面與平面的夾角為，故平面與平面夾角的余弦值為.16.在某電視民間歌手挑戰(zhàn)賽活動中，有4位民間歌手參加比賽，由現(xiàn)場觀眾投票選出最受歡迎的歌手，各位觀眾須彼此獨立地在選票上選2名歌手.其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，另外在其他歌手中隨機選1名；觀眾乙、丙對4位歌手沒有偏愛，因此，乙、丙在4名歌手中隨機選2名歌手.（1）求觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手的概率；（2）設(shè)3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的選票數(shù)之和為，求的概率.解：（1）設(shè)事件D表示“觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選2號歌手”，觀眾甲選2號歌手的概率為，觀眾乙未選2號歌手的概率為，從而，故觀眾甲選2號歌手且觀眾乙未選3號歌手的概率為，（2）設(shè)事件A，B，C分別表示“觀眾甲、乙、丙選3號歌手”，由題意得：，，所以故的概率為.17.已知直線經(jīng)過直線的交點，且A3,2?兩點到直線的距離相等.（1）求直線的一般式方程；（2）若點在直線的同側(cè)，且為直線上一個動點，求的最小值.解：（1）由，解得，所以交點①當(dāng)所求直線與直線平行時，直線的斜率為，則所求直線的方程為，即；②當(dāng)所求直線過的中點時，線段的中點坐標(biāo)為1,0，則所求直線垂直于軸，故所求直線方程為，即；綜上所述，所求直線方程為或.（2）因為點在直線的同側(cè)，所以直線的方程為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即點，因，當(dāng)三點共線時等號取到，故最小值為.18.如圖，在矩形中，，沿將折起，點到達點的位置，使點在平面的射影落在邊上.（1）證明：；（2）求點到平面的距離；（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：由點在平面的射影落在邊上可得：平面，又平面，所以，又，且平面平面，所以平面，又平面，故.解：（2）作，垂足為，由已知得：且平面平面，從而平面，且平面，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，即即為點到平面的距離，在直角三角形中，，所以，故點到平面的距離為.（3）在直角三角形中可得，，以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，以過點且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，所以，從而，易知，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z所以，解得：，又直線的方向向量為，因此可得故直線與平面所成角的正弦值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過原點和點，并且圓心在軸上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為圓的動弦，且不經(jīng)過點，記分別為弦的斜率.（i）若，求面積的最大值；（ii）若，請判斷動弦是否過定點？若過定點，求該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.解