高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省部分重點中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：必修第二冊第六章~第八章8.4節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（），且為純虛數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由題知，，則.又是純虛數(shù)，則且，得.故選：D.2.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，，則（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】由余弦定理知，所以.故選：A.3.下列說法正確的是（）A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺C.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D.用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面【答案】D【解析】各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，A錯誤；有兩個面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面體不一定是棱臺，只有當(dāng)梯形的腰延長后交于一點時，這個多面體才是棱臺，B錯誤；直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是兩個圓錐的組合體，C錯誤；用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面，D正確.故選：D4.用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形的直觀圖如圖所示，其中，，，則梯形的面積為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】由題意該梯形為直角梯形，如圖，其中，，，，，所以梯形的面積.故選:C5.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程（）的一個根，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題知，整理得，即解得所以在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，位于第二象限.故選：B.6.已知向量，，且向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為向量在向量上的投影向量為，即，所以，又，則，又，則，所以.故選：B.7.已知的內(nèi)角的對邊分別為，，是上靠近的三等分點，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為是上靠近的三等分點，所以，所以，在中，由余弦定理得，即，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又在中，,因此，即，所以的取值范圍為.故選：C.8.對任意兩個非零向量，，定義新運算：，表示向量，的夾角.若非零向量，滿足，向量，的夾角，且和都是集合中的元素，則的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意，，而，，則，，于是，顯然存在，，則，因此，即，則，顯然，即，從而，因此，又存在，使得，即，解得，則，所以的取值集合為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.空間內(nèi)任意三點確定一個平面B.若直線l不平行于平面，則直線l與平面有公共點C.若直線l與平面相交，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l異面D.若空間四點中，無三點共線，則經(jīng)過其中三點的平面有4個【答案】BC【解析】空間中不共線的三點確定一個平面，A錯誤；若直線l不平行于平面，則直線l與平面相交或在平面內(nèi)，B正確；若直線l與平面相交，則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l異面，C正確；若空間中四點共面，則經(jīng)過其中的三點的平面只有1個；若空間中的四點不共面，設(shè)這四點為A，B，C，D，由于無三點共線，則過A，B，C三點確定一個平面，過B，C，D三點確定一個平面，過A，B，D三點確定一個平面，過A，C，D三點確定一個平面，所以經(jīng)過其中三點的平面有4個，故D錯誤.故選：BC.10.已知，都是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于選項A：設(shè)，，顯然滿足，但，A錯誤；對于選項B：設(shè)，（），由，得，所以，則當(dāng)，時，設(shè)，則，所以，解得，所以，，則；當(dāng)時，則或，若，則，則，若，則，則，因此，B正確；對于選項C：設(shè)，（），由得，故，而，故C正確；對于選項D:取，，滿足，所以，，則，D錯誤.故選：BC11.在中，角、、的對邊分別為、、，，則下列說法正確的是（）A.B.C.若是直角三角形，則D.若是銳角三角形，是線段上一點，則的最小值為【答案】BCD【解析】對于A選項，由及余弦定理得，即，A錯誤；對于B選項，由及正弦定理得，即，所以，即，所以，B正確；對于C選項，由上知，所以、均不為直角，進而，則，代入，得.因為為銳角，所以所以，，所以，C正確；對于D選項，過作，垂足為點，則.又在之間運動時，與的夾角為鈍角，因此要求的最小值，應(yīng)在之間運動，即，又，當(dāng)時，取最小值為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正方體中，與異面的棱有________條.【答案】6【解析】如圖，正方體中，與異面的棱有，，，，，共6條.故答案為：6.13.將3個邊長為4的正方形沿鄰邊的中點剪開分成兩部分（如圖左）；將這六個部分接于一個邊長為的正六邊形邊上（如圖），若拼接后的圖形是一個多面體的表面展開圖，則該多面體的體積是________.【答案】32【解析】折成的多面體如圖①所示，將其補形為正方體，如圖②，所求多面體的體積為正方體的一半，又由已知可得正方體的棱長為4，故.故答案為：3214.如圖，已知點在點的正北方向，點、點分別在點O的正西、正東方向，且，，，則的面積為________.【答案】【解析】由且A，B為三角形的內(nèi)角，，可知為銳角，，，如圖作A關(guān)于O的對稱點D，且D在線段上，連接，則，即，故，所以，在中，，即，在中，，即，所以.綜上，，，則，，兩式相減，得，即，所以的面積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，其中i是虛數(shù)單位，.（1）求；（2）設(shè)（），若，證明：.（1）解：由復(fù)數(shù)的四則運算法則，得，則解得；（2）證明：因為，，，所以可化為，即，所以，整理得，得證.16.在一個如圖所示的直角梯形內(nèi)挖去一個扇形，M是梯形的下底邊上的一點，將所得平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周.（1）說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征；（2）求所得幾何體的表面積和體積.解：（1）該幾何體是上半部分為圓錐，下半部分為圓柱體挖去一個半球體的組合體.（2）由圖可知圓錐的高為2，母線長為4，圓柱的高為，底面半徑為，所以表面積，體積.17.已知向量，，且.（1）求實數(shù)m的值；（2）若，，求的最小值.解：（1）因為，，所以，.因為，所以，解得或.（2）由，知，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3.18.已知銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，，，為外接圓的圓心.（1）求；（2）求的取值范圍；（3）求和面積之差的最大值.解：（1）由正弦定理及，得.因為，所以，則，所以，得到，又，則，所以，得到.（2）由正弦定理，得.因為為銳角三角形，所以，得，所以，則，所以，即的取值范圍為.（3）設(shè)外接圓的半徑為，則，且，即.因為，，所以，，所以，由（2）知，令，則，所以當(dāng)時，取得最大值.19.如圖，已知中，，，直線過的重心P，與線段，分別交于點M，N，設(shè)，（，）.（1）證明：為定值，并求出此定值；（2）求的取值范圍；（3）記，的周長分別為，，設(shè)，記，求的取值范圍.解：（1）因為，，則，，因為點P是的重