高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市錢塘聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某學(xué)校有男生700名、女學(xué)生400名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何的空間想象能力方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法 C.系統(tǒng)抽樣法 D.分層抽樣法【答案】D【解析】由于男女生兩個(gè)不同的群體在空間想象能力方面有差異，最適合采用的是分層抽樣法，故選：D2.若，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，若共面，則存在，使，則，無(wú)解，故不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若共面，則存在，，則，無(wú)解，故不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若共面，則存在，使，則，無(wú)解，故不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若共面，則存在，使，則，解得，故共面，故D正確.故選：D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)下列敘述中正確的是（）①點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是②點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A.①② B.①③ C.②④ D.②③【答案】C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則②正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則③錯(cuò)誤；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故④正確，故正確的命題的序號(hào)是②④，故選：C.4.已知數(shù)據(jù)，，，滿足：，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變C.若，則數(shù)據(jù)，，的第80百分位數(shù)為15 D.方差變小【答案】C【解析】由，可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列的前10項(xiàng)，原來(lái)的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；原來(lái)的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，所以平均數(shù)不變，故B正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故C錯(cuò)誤；原來(lái)的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：C.5.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．6.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，若直線與橢圓交于點(diǎn)，滿足，則離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由橢圓焦距為，故，故直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)在軸上方，有，即，又，則，此時(shí)，不符，故舍去；若點(diǎn)在軸下方，有，即，又，則，則，故.故選：C.7.已知，，為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，圓為以為直徑的的外接圓，若圓的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，是外接圓的直徑，所以，根據(jù)球的截面性質(zhì)：平面，，球的表面積.故選：A8.已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得，半徑，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，易知直線，恒過(guò)點(diǎn)，直線恒過(guò)，且，則，即，點(diǎn)軌跡，圓心為，半徑為，但是去掉點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，位置關(guān)系如圖：，連接,由易知，，故B正確．故選：B．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B.當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上C.橢圓的焦距可能為6 D.橢圓的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方和為定值【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，解得，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，橢圓方程為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確；由A知，由可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)，所以，由，解得，不符合，故舍去，若，可得，橢圓方程為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，，所以，由，解得，不符合，故舍去，故不存在焦距為6的橢圓，故C錯(cuò)誤；由，，故橢圓的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方和為定值，故D正確.故選：BD.10.某次考試的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對(duì)的得6分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)不得分.若答案是兩項(xiàng)，選對(duì)一項(xiàng)得3分，選對(duì)兩項(xiàng)得6分，答案是三項(xiàng)，選對(duì)一項(xiàng)得2分，選對(duì)兩項(xiàng)得4分，選對(duì)三項(xiàng)得6分.”已知某選擇題的正確答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，下列表述正確的是（）A.甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得3分的概率是B.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得6分的概率是C.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，但不選四項(xiàng)，能得分的概率是D.丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，但不選四項(xiàng)，能得分的概率是【答案】ABC【解析】甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為，隨機(jī)事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率為，故A正確.乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，共有6個(gè)基本事件，分別為：，隨機(jī)事件“能得6分”中有基本事件，故“能得6分”的概率為，故B正確.丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，共有基本事件10個(gè)，分別為：選兩項(xiàng)有，選三項(xiàng)有，隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件有，故“能得分”的概率為，故C正確；丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，但不選四項(xiàng)，由C與A可知共有14種選法，能得分的選法有共3種，故能得分的概率是，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一，下列幾個(gè)結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)【答案】ABD【解析】對(duì)A：將代入，可得，即，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，代入方程可得，所以，即曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，所以，解得，則只能取整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，即曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，根據(jù)對(duì)稱性，可得曲線還經(jīng)過(guò)，，故曲線一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，有，即，解得，有，故曲線在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，故曲線上軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)，根據(jù)對(duì)稱性可得，曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，，則直線傾斜角為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，若的傾斜角為，則，又，故.故答案為：.13.已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若面積為2，則值是__________.【答案】【解析】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，由面積為2，可得，解得，圓心到直線的距離為，解得.故答案為：.14.如圖，已知矩形,為邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，使得點(diǎn)在平面上的投影在上，且直線與平面所成角為30°，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【解析】如圖所示，過(guò)作于，由題意得，面,，設(shè)，，在四邊形中，可得，故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線.（1）若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；（2）若直線，且直線與直線之間的距離為，求直線的方程.解：（1）直線的斜率，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程是，即；（2）設(shè)直線，則直線與直線之間的距離，解得或，所以直線的方程是或.16.如圖，在平行六面體中，，（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)（1）證明：以為基底向量，則，又，所以，所以，所以；（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以的長(zhǎng)為.17.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓.已知平面直角坐標(biāo)系中，，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)作（1）的切線，求切線方程；（3）若點(diǎn)在（1）的軌跡上運(yùn)動(dòng)，另有定點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）設(shè)Px,y，由，得，整理得，，即，則點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，符合題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則，解得，所以切線方程，即.綜上所述，切線方程為或.（3）點(diǎn)到圓心的距離為，所以，即，即的取值范圍為.18.將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，，得到幾何體，已知，，，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）證明：平面；（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求直線與平面所成角.（1）解：取的中點(diǎn)，連接，由題意可得是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則，且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，所以；（2）證明：在上取點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)榍叶荚谄矫鎯?nèi)，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?；?）解：取的中點(diǎn)，連接，則，且，由（1）得，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又，所以，，連接，則，，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為3，則的最小值為，此時(shí)，，則，設(shè)平面的法向量為，，取，則，，即，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即，直線與平面所成角為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為，，（1）求橢圓的方