高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省麗水市五校高中發(fā)展共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線(xiàn)方程的斜截式為：，所以直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，所以，因?yàn)椋?故選：D.2.已知空間向量，，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.外離 D.相交【答案】D【解析】，，，因此兩圓相交，故選：D．4.已知雙曲線(xiàn)的焦距為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：，且焦點(diǎn)在軸上，即，可得，所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：C.5.在正方體中，和分別為和的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于分別是的中點(diǎn)，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，所以是異面直線(xiàn)和所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)異面直線(xiàn)和所成的角為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，，則.故選：A.6.如圖，太陽(yáng)灶是一種將太陽(yáng)光反射至一點(diǎn)用來(lái)加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線(xiàn)的一部分，已知太陽(yáng)灶的口徑（直徑）為4m，深度為0.5m，則該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（）A.0.25m B.0.5m C.1m D.2m【答案】D【解析】以該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)此拋物線(xiàn)方程為，依題意點(diǎn)在此拋物線(xiàn)上，所以，解得，則該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.故選：D.7.已知橢圓分別為左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓方程可知：，可得，在中，由余弦定理可得，即，解得，因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，則，可得，所以的長(zhǎng)為.故選：A.8.已知EF是棱長(zhǎng)為8的正方體的一條體對(duì)角線(xiàn)，空間一點(diǎn)M滿(mǎn)足，AB是正方體的一條棱，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中點(diǎn),,則，所以．所以在以為球心，為半徑的球面上，如圖，可知在上的投影數(shù)量最小值為，所以的最小值為，所以的最小值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知是空間中不共面的三個(gè)向量，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋匀齻€(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋匀齻€(gè)向量共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤；因?yàn)槭强臻g中不共面的三個(gè)向量，對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)，顯然不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，方程無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)使得該式成立，所以不共面，可以作為基底向量，故C正確；故選：BC.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線(xiàn)，則（）A. B.C.以為直徑的圓與相切 D.【答案】CD【解析】直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可得，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；拋物線(xiàn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)Ax1,y直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程消去可得，則，得，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，中點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，則以為直徑的圓與相切，所以C選項(xiàng)正確；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，所以D選項(xiàng)正確．故選：CD．11.已知線(xiàn)段是圓的一條動(dòng)弦，，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)B.直線(xiàn)與圓恒相交C.直線(xiàn)，的交點(diǎn)在定圓上D.若為中點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€(xiàn)，即，令，解得，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€(xiàn)，即，令，解得，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓可得，即點(diǎn)圓外，所以直線(xiàn)與圓不一定相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得，解得，消去可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，所以，而圓的圓心，半徑為，則圓心到弦的距離為，即，即點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，由選項(xiàng)C可知，點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，兩圓圓心距為，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以準(zhǔn)線(xiàn)方程是.13.已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_．【答案】【解析】由題設(shè)，在的平分線(xiàn)上，在的平分線(xiàn)上，如下圖所示，若面，連接，顯然，，由都在面內(nèi)，則面，由面，則，故為等腰直角三角形，由面，則，即的長(zhǎng)度是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由題設(shè)有，故，則.14.已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若過(guò)三點(diǎn)的圓恰與軸相切，則的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】由已知可得：，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為，過(guò)三點(diǎn)的圓恰與軸相切，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以經(jīng)過(guò)過(guò)三點(diǎn)的圓的圓的方程為，在圓上，所以，整理得：，所以，所以，化為：，由，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求直線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)到直線(xiàn)距離為2，求直線(xiàn)的方程．解：（1）由，解得，可得兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)為,當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，設(shè)的方程為，把點(diǎn)代入求得，可得的方程為．（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線(xiàn)的方程為，滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為2．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求得，故的方程為，即．綜上，直線(xiàn)的方程為或．16.如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，設(shè)，，．（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，求的值．解：（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，．（2），由（1）得．17.已知圓圓心在直線(xiàn)上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和2,3.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）自點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)射到軸上，被軸反射，其反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)與圓相切，求光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．解：（1）設(shè)圓的方程為，可得解得所以圓的方程為，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)方程是，設(shè)的方程為，即，因?yàn)榉瓷涔饩€(xiàn)所在的直線(xiàn)與圓相切，故對(duì)稱(chēng)圓與入射光線(xiàn)相切，所以對(duì)稱(chēng)圓心到的距離為圓的半徑1，則，從而可得，故光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是或．18.如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與平面所成角正弦值為，求的值.（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接，．如圖①所示，，分別為，中點(diǎn)，且，且，即四邊形為平行四邊形，又平面,平面，平面.（2）證明：取中點(diǎn)記為，連結(jié),，如圖②所示，由等腰三角形得：,,且平面,平面,平面,（3）解：由（2）得，為平面與平面所成二面角的平面角，設(shè)則，則，即平面與平面所成二面角的平面角為如圖建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè),設(shè)平面的法向量為，由取，則，且令與平面所成線(xiàn)面角為，由,得：,解得：（舍去）,所以.19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)是橢圓上不在軸上的任意一點(diǎn)，射線(xiàn)，分別與橢圓交于點(diǎn)，．（1）求橢圓的方程；（2）求內(nèi)切圓面積的最大值；（3）設(shè)，，的面積分別為，，．求證：為定值．解：（1）將點(diǎn)和代入橢