高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州十校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)的虛部的定義可知：的虛部為.故選：.2.設(shè)全集，集合，集合，集合，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，故故選：A3.已知非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所?故選：C.4.已知命題是無(wú)理數(shù)是無(wú)理數(shù)；命題，使得是奇數(shù)，則（）A.和都是真命題B.和都是真命題C.和都是真命題D.和都是真命題【答案】D【解析】對(duì)于命題，若是無(wú)理數(shù)，但是是有理數(shù)，所以命題是假命題，則是真命題；對(duì)于命題由，因?yàn)楹褪莾蓚€(gè)連續(xù)的整數(shù)，則必是偶數(shù)，故命題是假命題，則為真命題.故選：D.5.在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】B【解析】由于的展開式中的系數(shù)是，而.故選：B.6.已知，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】，令，可得：，易知對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值0，故選：A7.某公司有12名員工，其中4名是經(jīng)理，8名是普通員工.現(xiàn)在需要從12名員工中選出6人組成一個(gè)至少有2名經(jīng)理的項(xiàng)目小組，則不同的選擇方案共有（）A.560種 B.616種 C.672種 D.728種【答案】C【解析】“至少有2名經(jīng)理”包含三種情況：有2名經(jīng)理，有3名經(jīng)理，有4名經(jīng)理，情況一，選2名經(jīng)理和4名員工，選法有：種；情況二，選3名經(jīng)理和3名員工，選法有：種；情況三，選4名經(jīng)理和2名員工，選法有：種；所以不同的選擇方案共有：.故選：C.8.已知滿足,且當(dāng)時(shí),，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可知函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，又，由累加法可得：，又，所以，故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.若，則C.，則D.若，則的最大值為2【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對(duì)于C，由可得，當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，，所以，即，故C正確；對(duì)于D，由題意可得，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意取不到最大值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量滿足：，則相互獨(dú)立B.已知隨機(jī)變量，若，則.C.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)D.一組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，殘差為1【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，，，故，即，則相互獨(dú)立，A正確；B選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，若，故和關(guān)于對(duì)稱，故，B正確；C選項(xiàng)，由題意得，解得，展開式的通項(xiàng)公式為，,,令，解得，又，故，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，將代入中得，解得，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故殘差為，D正確.故選：ABD11.在四棱錐中,面，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.點(diǎn)到平面的距離為C.三棱錐與三棱錐的外接球半徑之比為D.與面交于點(diǎn)則【答案】ABD【解析】因?yàn)槊嫠砸詾樵c(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，又面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，對(duì)于A，，，所以，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，由可得，令，可得，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槊?，所以三棱錐的外接球的球心為中點(diǎn)，又，所以其外接球半徑為；因?yàn)椋?，，所以，又面所以三棱錐的外接球的球心為的中點(diǎn)，，所以其外接球半徑為，所以外接球半徑之比為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，，由可得，令，則，因?yàn)?，解得，所以，故D正確.故選：ABD非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答卷紙對(duì)應(yīng)的橫線上.12.在中，，則的值是______.【答案】【解析】由正弦定理，所以，又，所以，所以，即，即，即，所以.故答案為：13.某班級(jí)男女生比例，現(xiàn)調(diào)查學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），得到男生樣本數(shù)據(jù)平均值為3，方差為4，女生樣本數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為2，則該班級(jí)全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的方差的值是______.【答案】【解析】由題，該班全體學(xué)生周末在家學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為，所以方差.故答案為：.14.在中，是BC的中點(diǎn)，是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交線段AB、線段AC分別于點(diǎn)，記的面積為，四邊形GDCF的面積為，則的最小值______.【答案】【解析】如圖，不妨記的面積為，的面積為，設(shè)，因是BC的中點(diǎn)，是AD的中點(diǎn)，則，則，因三點(diǎn)共線，故，即.由圖知，，，則，于是，，因，故得，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求；（2）求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間.解：（1）;（2）則的最小正周期，由，，解得的單調(diào)增區(qū)間為.16.在中，分別是角所對(duì)的邊，點(diǎn)在邊上，且滿足.（1）求的值；（2）若，求.解：（1）法代入，得，，，故，，.法2.，由正弦定理得，代入，得，故，為直角三角形，則，代入，得，所以.（2）法1.中，由正弦定理得，中，由正弦定理得，，，可得，由（1），，所以.法2.Rt中，，，，由余弦定理，，.17.如圖，在矩形中，為AD的中點(diǎn)，，將沿BE翻折至的位置，點(diǎn)在上，且（1）求證：平面；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.解：（1）連接BD交CE于點(diǎn)，連接FG，因?yàn)椋?，平面，平面，平面；?）平面平面，平面平面，取中點(diǎn)O，則平面，所以平面，因?yàn)?，所以，，過C作的平行線為z軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示則，，，，所以，設(shè)平面的法向量，則，則平面的一個(gè)法向量，由上可取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角大小為，則由圖可得二面角的余弦值為.18.已知（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）已知有四個(gè)零點(diǎn)，且，求；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值，最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，綜上可得，不等式的解集為.（2）由題可得，即有4個(gè)根，即方程或，由對(duì)稱性得，.（3），當(dāng)時(shí)，，故，同理，當(dāng)時(shí)，，（i），（ii），當(dāng)時(shí)，，（i），（ii），綜上所述：（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)時(shí)，，（3）當(dāng)時(shí)，，（4）當(dāng)時(shí)，，（5）當(dāng)時(shí)，.19.《狼來了》是家喻戶曉的寓言，講述牧童屢次謊稱“狼來了”以逗弄村民，結(jié)果當(dāng)狼真的出現(xiàn)時(shí)，村民因?qū)掖问茯_而不再響應(yīng)，導(dǎo)致羊群遭受損失的故事.假設(shè)在一片草場(chǎng)上有若干村民和一名牧童.每當(dāng)牧童呼救時(shí)，只有當(dāng)認(rèn)為應(yīng)當(dāng)營(yíng)救的村民數(shù)目不少于全體村民的一半時(shí)，全體村民才會(huì)趕來營(yíng)救.若每位村民獨(dú)立作出“救”與“不救”的決策，其營(yíng)救意愿均為，求解下列問題：（1）當(dāng)村民數(shù)為4時(shí)，求具有救援意愿的村民人數(shù)的期望；（2）當(dāng)村民數(shù)為時(shí)，求全體村民趕來營(yíng)救的概率；（3）假設(shè)村民數(shù)為2，牧童呼救時(shí)撒謊概率為.在正常情況下，每位村民的營(yíng)救意愿為；但若他們因虛假呼救而白跑，則下次的營(yíng)救意愿降為.記牧童第次呼救時(shí)，村民白跑的概率為，求的表達(dá)式.解：（1）當(dāng)村民數(shù)為4時(shí)，每位村民的營(yíng)救意愿相互獨(dú)立且概率都為，設(shè)愿意營(yíng)救的村民人數(shù)為，則滿足二項(xiàng)分布，即，所以救援人數(shù)的期望值.（2）當(dāng)村民數(shù)為2n時(shí)，全體村民趕來營(yíng)救的條件是至少人選擇營(yíng)