高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙南名校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閟in3000=-sin600=-,利用誘導(dǎo)公式可知．選D2.的值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】.故選：B3.若圓臺(tái)的軸截面為底角為60°的等腰梯形，且圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為6，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)是上下底面圓心，，連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為,在直角三角形中，,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為,由圓臺(tái)的側(cè)面積公式可得；故選：C.4.已知為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則至少與，中一個(gè)平行B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】A【解析】對(duì)于A，由線面平行的性質(zhì)可得若，，則m至少與，中一個(gè)平行，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，則或相交，故D錯(cuò)誤.故選：A5.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故選：D.6.已知在平行四邊形中，，，且，，則的值為（）A.-3 B.-6 C.-9 D.-12【答案】C【解析】在平行四邊形中,，,因?yàn)椋?，所以，兩式相減可得，所以.故選：C.7.在中，，的角平分線交于點(diǎn)D，的面積是面積的4倍，則的值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，即，在中，作邊上高，垂足為，則，故選：A8.水平桌面上放置了4個(gè)完全相同的半徑為1的小球（不疊起），四個(gè)小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個(gè)小球相切．用一個(gè)半球形容器（容器壁厚度不計(jì)）罩住這四個(gè)小球，則這個(gè)半球形容器表面積（不包含底面圓）的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖，4個(gè)小球球心構(gòu)成的正方形為，中心為，由題意，，半球形容器的球心為O，顯然當(dāng)半球形容器與4個(gè)小球都相切時(shí)球O的半徑最小，半球形容器與球的切點(diǎn)為，連接ON，則小球的半徑，球O的半徑；所以半球形容器表面積（不包含底面圓）的最小值為，故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，，則下列敘述中正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則【答案】AB【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，，因?yàn)?，兩邊同乘以，不等?hào)的方向不變，得，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以，，兩邊同乘以并化?jiǎn)得，所以，故B正確；對(duì)于C：時(shí)不等式左邊無(wú)意義，不能比較.當(dāng)時(shí)做如下分析：，符號(hào)不確定，故結(jié)論不確定，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D：若，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.在中，角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若為銳角三角形，則B.若，，有兩解，則C.若，則是的垂心D.若，，為的外心，則的值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若為銳角三角形，設(shè)為等邊三角形，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，由正弦定理，因?yàn)橛袃山?，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以點(diǎn)P是的垂心，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑸榈耐庑?，則，設(shè)為中點(diǎn)，則，，同理，又，，所以，故D正確；故選：BCD11.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），，定義：，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則恒成立B.對(duì)任意，都有恒成立C.存在，有成立D.對(duì)任意，都有恒成立【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，則，則，故A正確；對(duì)于B，，，，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，，，，，由絕對(duì)值不等式可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，，由，，得恒成立，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．【答案】【解析】因?yàn)榕c共線，所以，得，故答案為：13.甲船在島的南偏東方向處，兩地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同時(shí)乙船自島出發(fā)向北偏東的方向航行，兩船均以每小時(shí)30千米的速度航行．則兩小時(shí)后，甲、乙兩船的距離為_(kāi)______千米．【答案】【解析】設(shè)兩小時(shí)后，甲、乙兩船的位置分別為處，由題意可知，所以，由余弦定理可得：，即，所以，故答案為：14.如圖1，“折扇”又名“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其平面圖是如圖2的扇形，其中，，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），記在方向上的投影向量為，則的取值范圍是________．【答案】【解析】設(shè)，則，為在方向上的投影向量，所以，所以，由，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù)，，其中為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，設(shè)，，求的值．解：（1）由題意，因?yàn)閦是純虛數(shù)，所以有，解得.（2）因?yàn)?，所以，，則，所以，.則.16.已知向量與的夾角為，且，，若，．（1）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)取最小值時(shí)，求向量與夾角的大?。猓海?），，∴∴（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以向量與夾角的大小為30°．17.如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，，．（1）求證平面；（2）若平面，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，若，，，請(qǐng)?jiān)趫D中作出四棱錐過(guò)點(diǎn)的截面（保留作圖痕跡），并求出截面周長(zhǎng)．解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，，∵，分別為、的中點(diǎn)；∴，∵平面，∴平面，又∵為的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，∵，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）連接交于點(diǎn)，連接．∵平面，平面平面，∴，∴．又，∴，∴．（3）設(shè)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，，，，則四邊形為所求截面．證明過(guò)程如下：∵，∴，∴．又∵，．∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．故共面，故四邊形為所求截面．∵，，，，，在中，∵，∴故∴，故，所以截面周長(zhǎng)為．18.已知分別為斜三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且滿足.（1）求角的值；（2）記邊上的高為，（i）若，求的值；（ii）求的取值范圍.解：（1）由及正弦定理可得：.在中，∵，∴，代入上式化簡(jiǎn)可得：.∵，∴，即，∴.又∵，∴，∴或，即或.又為斜三角形知，∴.（2）（i）由（1）知.∵面積，邊上的高，∴.由余弦定理可知：，即，即，∴或.所以或.（ⅱ）由，得，∴.∵，∴，∴.19.對(duì)集合，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于，，則稱集合有下界，實(shí)數(shù)的最大值為函數(shù)的下確界，記作．（1）記函數(shù)，的值域?yàn)椋?；?）已知函數(shù)（i）記集合，若，求實(shí)數(shù)α的取