2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點.下面，我們通過具體例子進行研究.例1已知直線l：3x＋y－6=0和圓心為C

的圓x2＋y2－2y－4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓C

所截得的弦長.分析：思路1：將判斷直線l與圓C的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數(shù)解、有幾個實數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長.思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系：若相交，則可利用勾股定理求得弦長.例1已知直線l：3x＋y－6=0和圓心為C

的圓x2＋y2－2y－4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓C

所截得的弦長.解法2：圓C

的方程x2＋y2－2y－4=0可化為x2＋(y－1)2＝5，因此圓心C

的坐標為(0，1)，半徑為5，圓心C(0，1)到直線l

的距離通過上述解法我們發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系中，要判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2

的位置關(guān)系，可以聯(lián)立它們的方程，通過判定方程組Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2.的解的個數(shù)，得出直線與圓的公共點的個數(shù)，進而判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交，可以由方程組解得兩交點坐標利用兩點間的距離公式求得弦長.我們還可以根據(jù)圓的方程求得圓心坐標與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小，判斷直線與圓的位置關(guān)系，若相交，則可利用勾股定理求得弦長.例2過點P(2，1)作圓O：x＋y=1的切線l，求切線l

的方程.分析：如圖2.5-2，容易知道，點P(2，1)位于圓O：x2＋y2＝1外，經(jīng)過圓外一點有兩條直線與這個圓相切，我們設(shè)切線方程為y－l＝k(x－2)，k為斜率，由直線與圓相切可求出k的值.例2過點P(2，1)作圓O：x＋y=1的切線l，求切線l

的方程.1.判斷下列各組直線l

與圓C

的位置關(guān)系：(1)l：x－y＋1=0，圓C1：x2＋y2=3；

(2)l：3x＋4y＋2=0，圓C2：x2＋y2－2x＝0；

(3)l：x＋y＋3＝0，圓C3：x2＋y2＋2y=0.

2.已知直線4x＋3y－35=0與圓心在原點的圓C相切，求圓C的方程.

3.判斷直線2x－y＋2=0與圓(x－1)2＋(y－2)2=4的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓截得的弦長.

例3圖2.5-3是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱文撐，求支柱A2P2

的高度(精確到0.01m).分析：建立如圖2.5-4所示的直角坐標系，要得到支柱A2P2

的高度，只需求出點P2

的縱坐標.解：建立如圖2.5-4所示的直角坐標系，使線段AB所在直線為x軸，O為坐標原點，圓心在y軸上，由題意，點P，B的坐標分別為(0，4)，(10，0).設(shè)圓心坐標是(0，6)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面確定b和r的值.因為P，B兩點都在圓上，所以它們的坐標(0，4)，(10，0)都滿足方程x2＋(y2－b)2＝r2.于是，得到方程組例4一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處，如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險?解：以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，建立如圖2.5-5所示的直角坐標系.為了運算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標為(0，3)，輪船所在位置的坐標為(4，0).

用坐標法解決兒何問題時，先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論，這就是用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”.第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何要素，如點、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.比較坐標法與向量法，它們在解決幾何問題時，有什么異同點?1.趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.解：根據(jù)題意建立如圖所示的直角坐標系.|OP|＝7.2m，|AB|＝37.4m，則A(－18.7，0)，B(18.7，0)，P(0，7.2).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是解此方程組，得a＝0，b≈－20.7，r≈27.9.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋20.7)2＝27.9(0≤y≤7.2)2.某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過?解：依題意，建立如圖所示的直角坐標系.有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0).設(shè)圓拱橋的拱圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點D

的橫坐標x＝－5代入上式，得y≈3.1.因為船水面以上高3m，3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.3.在一個平面上，機器人從與點C(5，－3)的距離為9的地方繞點C順時針而行，在行進過程中保持與點C

的距離不變，它在行進過程中到過點A(－10，0)與B(0，12)的直線的最近距離和最遠距離分別是多少?

因為d＞r，所以圓C

與直線AB

相離.如圖，過點C

作直線AB

的垂線CH

，垂足為H.直線CH

與圓C

的交點E，F(xiàn)

分別是機器人到直線AB

的最近距離點與最遠距離點.

前面我們運用直線的方程、圓的方程，研究了直線與圓的位置關(guān)系.現(xiàn)在我們類比上述研究方法，運用圓的方程，通過定量計算研究圓與圓的位置關(guān)系.我們知道，兩個圓之間存在以下三種位置關(guān)系：(1)兩圓相交，有兩個公共點；(2)兩圓相切，包括外切與內(nèi)切，只有一個公共點；(3)兩圓相離，包括外離與內(nèi)含，沒有公共點.2.5.2圓與圓的位置關(guān)系例5已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1

與圓C2

的位置關(guān)系.分析：思路1：圓C1與圓C2

的位置關(guān)系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數(shù)解確定；思路2：借助圖形，可以依據(jù)圓心距與兩半徑的和r1＋r2

或兩半徑的差的絕對值|r1－r2|的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系.例5已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8=0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1

與圓C2

的位置關(guān)系.畫出圓C1與圓C2以及方程③表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么?你能說明為什么嗎?本題只要判斷圓C1與圓C2是否有公共點，并不需求出公共點的坐標，因此不必解方程④，具體求出兩個實數(shù)根.例6已知圓O

的直徑AB=4，動點M與點A

的距離是它與點B的距離的2倍試探究點M

的軌跡，并判斷該軌跡與圓O

的位置關(guān)系.分析：我們可以通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担蟮脻M足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M

的軌跡；通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關(guān)系，判斷這個軌跡與圓O

的位置關(guān)系.解：如圖2.5-7，以線段AB的中點O為原點，AB

所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y

軸，建立平面直角坐標系.由AB=4，得A(－2，0)，B(2，0).

1.已知圓C：x2＋y2=4，圓C：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系.

2.已知圓C1

：x2＋y2＋2x＋3y＋1=0，圓C1：x2＋y2＋4x＋3y＋2=0，證明圓C1

與圓C2

相交，并求圓C1與圓C2

的公共弦所在直線的方程.

復(fù)習(xí)鞏固1.判斷直線4x－3y=50與圓x2＋y2=100的位置關(guān)系.如果有公共點，求出公共點的坐標.

方法二：聯(lián)立得方程組消去y，得x2－16x＋64＝0，解得x＝8，所以y＝－6.所以直線4x－3y＝50與圓x2＋y2＝100有且只有一個公共點(8，－6)，所以直線4x－3y＝50與圓x2＋y2＝100相切.2.求下列條件確定的圓的方程，并畫出它們的圖形：(1)圓心為M(3，－5)，且與直線x－7y＋2=0相切；

(2)圓心在直線y=x

上，半徑為2，且與直線y=6相切；解：因為圓心在直線y＝x

上，所以可設(shè)圓心坐標為(a，a).因為圓的半徑為2，且與直線y＝6相切，所以|a－6|＝2，解得a－4或a－8，所以圓心坐標為(4，4)或(8，8).所以圓的方程為(x－4)2＋(y－4)2＝4或(x－8)2＋(y－8)2＝4.圖略.

解：設(shè)圓心坐標為(a，b)，則圓心與點(3，4)的連線垂直于直線2x－3y＋6＝0，且圓心到直線2x－3y＋6＝0的距離等于半徑，所以解得所以圓的方程為(x－1)2＋(y－7)2＝13或(x－5)2＋(y－1)2＝13.圖略.3.求直線l：3x－y－6=0被圓C：x2＋y2－2x－4y=0截得的弦AB

的長.

5.求與圓C：x2＋y2－x＋2y＝0關(guān)于直線l：x－y＋1=0對稱的圓的方程.

7.求經(jīng)過點M(2，－2)以及圓x2＋y2

－6x=0與x2＋y2=4交點的圓的方程.解：方法一：如圖.聯(lián)立方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＝－4得方程組

方法二：設(shè)經(jīng)過圓x2＋y2－6x＝0與x2＋y2＝4交點的圓的方程為x2＋y2－6x＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1).①把點M

的坐標(2，－2)代入①式，得22＋(－2)2－6×2＋λ[22＋(－2)2－4]＝0，解方程，得λ＝1.把λ＝1代入方程①并化簡得x2＋y2－3x－2＝0.所以經(jīng)過點M

以及圓x2＋y2－6x＝0與x2＋y2＝4交點的圓的方程為x2＋y2－3x－2＝0.綜合運用8.求圓心在直線x－y－4=0上，并且經(jīng)過圓x2＋y2＋6x－4=0與圓x2＋y2＋6y－28=0的交點的圓的方程.解：方法一：如圖，設(shè)圓x2＋y2＋6x－4＝0和圓x2＋y2＋6y－28＝0相交于點A，B，解方程組得所以

A(－1，3)，B(－6，－2).因此，弦AB

的垂直平分線的方程是x＋y＋3＝0.將x＋y＋3＝0與x－y－4＝0聯(lián)立，解得

9.求圓x2＋y2－4=0與圓x2＋y2－4x＋4y－12=0的公共弦的長.

10.求經(jīng)過點M(3，－1)，且與圓C：x2＋y2＋2x－6y＋5=0相切于點N(1，2)的圓的方程.

11.如圖，某臺機器的三個齒輪，A與B合，C與B也合.若A輪的直徑為200cm，B輪的直徑為120cm，C輪的直徑為250cm，且∠A=45°.試建立適當?shù)淖鴺讼?，用坐標法求出A，C兩齒輪的中心距離(精確到1cm).解：以A

為原點，直線AB

為x

軸，建立如圖所示的直角坐標系.xy由已知，得A(0，0)，B(160，0).xy點C在以點B為圓心，以圓C

與圓B的半徑和為半徑的圓上，方程為(x－160)2＋y2＝1852.①又點C

在直線AC

上，結(jié)合∠CAB＝45°可知直線AC

的方程為y＝x.①式與y＝x

聯(lián)立，解得x≈183.5.所以點C

的坐標為(183.5，183.5)，A，C

兩齒輪的中心距離|AC|＝183.52＋183.52≈260(cm).12.已知A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)三點，點P在圓x2＋y2＝4上運動，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2

的最大值和